高考数学一轮复习教书用书 第六章 平面向量、复数.pdf

主题三 4二 几何与代数第六章平面向量、复数（必修第二册）第1节 平面向量的概念及线性运算西课程标准要求1.向量概念通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；理解平面向量的几何表示和基本要素.2.向量运算借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义；了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.:必备知识,课前回顾 归成材办实四基 一 ft知识梳理1.向量的有关概念向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的运度（或模）.（2）零向量:长度为。的向量,其方向是任意的.单位向量:长度等于1个单位长度的向量.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则X a平行四边形法则交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求两个向量差的运算a三角形法则a-b=a+(-b)数乘求实数人与向量a的积的运算|入 a|二|人|a|;当人0时，入a的方向与a的 方向相同;当入0时，入a的方 向与a的方向相反;当人二0时，入a=0入(U a)=(A p)a;(入+u)a=A a+P a;入(a+b)=X a+A b向量a(aWO)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使得b=入a.提醒:当aWO时,定理中的实数人才唯一,否则不唯一.阕重要结论 f 1 f f1.P为线段AB的中点,0为平面内任意一点QP.（4B）2.若G为4AB C的重心，则有f f f Gj4+G B+G C=q.AG=3（AB+AC）.3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量的和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量P,P 尸2（0与PR不共线）,f f f总有P=UPVP2,u+v=l,即总可以用其中两个向量的线性组合表 示第三个向量，且系数和为L5.对于任意两个向量a,b,都有：（1）I|a|-|b|ab|a|+|b|;la+b RIa-b=2（|a+|b）.6.设a,b是两个不共线的向量,则Xia+yib与x2a+y2b共线的充要条件 是 Xiy2-x2yi=0.对者自测1.（必修第二册P2 3习题6.2 T9改编）如图,D,E,F分别是4AB C各边 的中点，则下列结论错误的是（D）f fA EF=CDAB,.与DE共线C.D与CD是相反向量D.延金14c解析:初二5A。故D错误.故选d.2.（必修第二册P2 2习题6.2 T4改编）已知下列各式:AB+BC+CA.f f f f（2）AB+MB+B0+0Mf f f f。4。3+叫 AB_AC+BD_CD其中结果为零向量的个数为（B）A.1 B.2 C.3 D.4解析：中加+比+以二；中AB+MB+BO+OM-AB+q-AB.中0A+03+。+。二。4。二以；中4B_AC+BZ）_CD=C3+8C=0 故正确.故选B.f f f f f3.如图所示，已知AC=3 B C,力二%0B=b,则下列等式成立的是A比coA.c=2b-2aB.c=2 b-aC.c=2 a-b3 1D.c=2a-2b解析：因为4c二3,0A=a,0B=b,所以f f f-3f f 3 f f 3 1 3 1OCOA+AC=OA+iAB=OA+i(0瓦04)与。匕。aQa.故选 A.4.设a与b是两个不共线的向量，且向量a+Xb与-(b-2 a)共线，则 入=.解析:法一 依题意知向量a+入b与2 a-b共线,设a+入b=k(2 a-b),则 f 12Jt=0,i i有(1-2 k)a+(k+入)b=0,所以&+入=0,解得 k=2,入=-2.法二 由题意a+ab与2 a-b共线,a,b不共线,所以2人-1义(-1)=0,1X 二一2.1答案:与5.已知|a|二2,|b|=5,则|a+b|的取值范围是.解析:当a与b方向相同时，|a+b|=7;当a与b方向相反时，|a+b|=3;当a与b不共线时,3|a+b|o.故选D.2.如图所示,在4AB C中，点。是B C的中点,过点。的直线分别交AB,ACf f f f所在直线于不同的两点M,N,若二m四/Ln1,则m+n的值为()AcA.1 B.2 C.3 D.4解析:法一连接AO.由于。为B C的中点,f 1 T故=51+元)同理,丽=:&(5 二)0 由于向量麻产。共线，故存在实数入使得却=入*,即11一1二11-(2-m)AB+2j4C=2 AAB+A(2-)AC.-111 1 1 1由于做AC不共线,故得屋1工人且5二人(2-h),消去入，得(m-2)(n-2)=mn,化简即得m+n=2.故选B.法二当MN与直线B C重合时,.二侬,AC=AN此时m=15 n=15所以m+n=2.故选 B.3.设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2 b平行,则实数入=.解析:法一 因为向量a,b不平行,所以a+2 b W0,又向量入a+b与a+2 b 平行,则存在唯一的实数口，使入a+b=u(a+2 b)成立，即入a+b二口 a+2 b,则得11=2 H解得入二口二2.1 1 1法二由题意，匚5,所以人与.1答案：之备选例题CS D已知四边形AB CD是平行四边形，点E在CB的延长线上,B C=3,AE=AB=1,N C=30。,若形及.+丫.，则 x=,y=.解析：因为AB二AE二1,ZAB E=ZC=3 0,由余弦定理得B E=,因为B O 3,所以B C=B E,所以盛=4此所以+盛=/-浮位=T遍二 代犯于松则X=l,y=-T.乌答案：1与例2设两个非零向量a与b不共线.若ka+b与a+kb共线，则 k=.解析：因为ka+b与a+kb共线,则存在实数入，使ka+b二人(a+kb),即(k-入)a=(入k-l)b.又a,b是两个不共线的非零向量,所以k-入二入k-l=0.消去入，得卜2-1=0,所以k=l.答案：1选题明细表灵活小强龙教偎就课时作业知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的概念1,613平面向量的线性运算2,3,4,8向量共线5,7,911综合问题10,12,1415A级基础巩固练1.设a是非零向量，入是非零实数，则下列结论正确的是（B）A.a与入a的方向相反B.a与人2 a的方向相同C.|-Xa|a|D.|-入a|N|人|a解析:对于A,当人0时,a与人a的方向相同，当入0时,a与入a的方 向相反,A不正确,B正确;对于C,|-Xa|=|-X|a|,由于|-人|的大小 不确定，故I-入a|与|a|的大小关系不确定,C不正确;对于D,|人|a是 向量，而I-aa|表示长度,两者不能比较大小,D不正确.故选B.f f f2.矩形AB CD的对角线相交于点0,E为AO的中点,若腌=入型口加（入，口为实数），则入2+d=（A）A.8 B.i5C.1 D.W1 1 I I 1 Q解析联/叱叫/弓叫彳（叫%1核加3所以入=4 口=4所以X 2+p 2=也故选A.3.在等腰梯形AB CD中，他二-2切,凶为B C的中点，则.二（B）B,演典A,W+Wc.皿皿D.皿解析:因为皿-2卬 f f所以AB=2 DC.又m是B C的中点，所以缜=5（丝+=2（AB+AD+DC）=iAB+iAO 故选 b.f f f f f4.设D为AAB C所在平面内一点产=3 CD,若皿入叫口 AC则入_u=（A）5 4 4 5A.-3 B.-3 C.3 D.3 f f解析：由30=3。,可知B,C,D三点在同一直线上,如图所示.根据题意及图形,可得皿AC+CD=4C+3（4C_6）=_洌+豺C,所以入=4 14 5口二3,所以人-口=-33二-3.故选 A.A5.（多选题）已知等边三角形AB C内接于O O,D为线段0A的中点,E为线段B C的中点，则口.（AC）2 1 4 IA.产+理B,产-产1 2 1C.即wD,网+出解析:如图所示，已知B C中点为E,BD=BA+AD=BAAE=BA+1 1 112fl3_BA_ 34M3cl叫部.故选AC.6.（多选题）在AAB C中，下列命题正确的是（B C）A AB ACJBCB AB_BC_CA_qC.若（AB+AC）（AB_4C）二0,则4abc为等腰三角形D.若4c 0,则4AB C为锐角三角形解析：由向量的运算法则知加-4JCB,4B+8C+以二0,故A错,B对;因为（愈+4）.=AB2_AC2=o所以介=止,即由二画，所以4AB C为等腰三角形,故C对；f f因为4c.AB）。，所以角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形,故D错.故选B C.7.已知向量eb e2是两个不共线的向量,若a=2 e巳与b=ex+入e?共线,则入=.解析:法一 因为a与b共线，所以a=xb,f x=2,所以h*=-L1故人=-2.1 1 1法二由已知不工,所以入=-2.1答案：-58.如图所示,已知N B=30,ZA0B=90，点C在AB上,O CLAB,若用通S来表示向量凡则.二f f f _1-f 3 1解析：由题意易知。CQ+4CQ+*眼 见*（OBQ）4 OA+-OB答案利4彳03 f f f f f9,已知 a,b 不共线，4=a,O fl=b,0C=c,O fl=d,0=e,设 t R,如果3 a二c,2 b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由.f f解：由题设知，c=2 b-3 a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条 f f直线上的充要条件是存在实数k,使得C旦kCD,即(t-3)a+b=-3 ka+2 kb,整理得(t-3+3 k)a=(2 k-t)b.ft-3+3k=0,因为a,b不共线，所以有I t-2k=0,6解得t=S.6故存在实数使C,D,E三点在一条直线上.B级综合运用练10.(多选题)设点M是4AB C所在平面内一点,则下列说法正确的是(ACD)f 1 f 1 fA.若4M=54s+5A，则点M是边B C的中点 f f fB.若网2肛4Q则点M在边B C的延长线上 f f fC,若叫则点M是aabc的重心D.若4M=x+yAQ且x+y=2则AMB C的面积是AAB C的面积的万f 1 f 1 f解析:若4M=5 AB+5 A，则点M是边B C的中点，故A正确；f ff f f f f ff若Aig血AC AM ABAB AC 即隗CB则点M在边CB的延长线上,故B错误；f f f f f fAM=_BM_CM gpAM+BM+CM=0则点M是AAB C的重心,故C正确；如图,M=x+y,C,且 x+y=2,f f f可得 2AM f f设侬=2.,则M为AN的中点，1则AMB C的面积是4AB C的面积的万,故D正确.故选ACD.fn.(多选题)设a,b是不共线的两个平面向量，已知PQ=a+s in a b,f其中a (0,2 n),QK=2 a-b.若P,Q,R三点共线,则角a的值可以为(CD)爪 5n 7门 11元A.万 B.V C.D.6 解析：由题意 1义(-l)-2 s in Q=0,s in a=2.又 a (0,2 五)，故 Q 的 7w 11.天值可为彳或丁.故选CD.12.在直角梯形AB CD中,A=90。，B=3 0。，AB=2避,B C=2,点E在线段CD f f f上,若限回+口”则U的取值范围是.解析：由已知可得AD=1,CD=8,所以藁=20。f f因为点E在线段CD上，所以班=入DC g w入W1).因为 AE=AD+DE,又4f=AD+口 AB=AD+2 口 DC=ADDE学 9所以T二1,即1因为0W入1,所以0W u 解:在4AB C中，因为胆a,AC=b,所以3 C=4C_AB=b-a,f f f f 工 1 3 1AD=AB+D=AB+*B C=a+，b-a)=a+b,BE=BA+AEABAC=_a f 1 证明：因为BE二-a+b,2 bf.ba.af._abad2 3 1 1 1=-a+(*a+*b)=-2 a+b1 1=2(-a+b),所以BF笈E 3F与BE共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.14.经过AO AB的重心G的直线与O A,0B分别交于点P,Q,设=nA 位而,m,nR.(1)证明:m+n为定值;(2)求m+n的最小值.证明：设二a,叫反f 2 1f 1由题意知。GV*5(0AB)=3(a+b),PQ=Q-0P=nb-ma,PG=OG_OP_m)Jb 由P,G,Q三点共线得，存在实数入，使得PQd PRi i即 nb-ma=入(m)a+父入 b,=入(：)，n=X,从而I 3i i消去入得m+n=3.1 1解:由(1)知，二十口,111于是 m+n=3(m+n)(m+n)=1nmi 43(2+m+)3(2+2)=32 4当且仅当m=时,m+n取得最小值,最小值为C级应用创新练15.已知Ai,A2,A3为平面上三个不共线的定点,平面上点M满足 公乂二叔公企+4备）（入是实数），且乂4+乂及+乂匈是单位向量,则这样的点乂有（C）A.0个B.1个C.2个D.无数个解析：法一 由题意得，=-入（+）,=+所以M41+M42+M43=（i.3入江公企+公企）,如图所示,设d为A2A3的 中点，所以（1-3入）（AiAz+AA是与AD共起点且共线的一个向量,显然直 线A山与以4为圆心的单位圆有两个交点，故人有两个值,即符合题意 的点M有两个.故选C.法二 以&为原点建立平面直角坐标系（图略），设 A2（a,b）,A3（m,n）,则公企+公企=（a+叫b+n）,所以 M(入(a+m),人(b+n),所以M4i二(入(a+m)，-入(b+n),“4=(a-X(a+m),b-入(b+n),(m-入(a+m),n-a(b+n),所以融4+乂4+乂小二(3入)g+m),(i-3入)(b+n).因为M41+M42+M43是单位向量，所以(3人宣包+皿产+饼子口，因为Ab A2,A3是平面上三个不共线的定点，所以(a+m)2+(b+n)20,所以关于人的方程有两解,故满足条件的M有 两个.故选C.第2节 平面向量基本定理及坐标表示 63课程标准要求1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.必备知识课前回顾回归教材夯实四基帙.知识梳理1.平面向量基本定理(1)定理:如果eb e,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人,入2,使a=入言1+入盘.(2)基底：不共线的向量eb e2叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a=(xi,yi),b=(x2,y2),则a+b=(X1+X2,yf),a-b=(x-x2 f y-y2),入 a=(入 Xi,入 yj,|a|=.向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.一设 A(xb yj,B(x2,y2),则初二3-Xi,wb,AB =V(x2xi)2+(y2i)23 平面向量共线的坐标表示设 a=(xb yj,b=(x2,y2),其中 a WO,b WO,a,b 共线=型二迎3.阕重要结论1若a与b不共线,且入a+口 b=0,则入=口=0.2.已知P为线段AB的中点，若A(X1,y)B(X2,y则P点坐标为*l+*2 F 1+72(三,).3.已知 AB C 的重心为 G,若 A(xi,yj,B(x2,y2),C(x3,y3),则 xi+xz+xr F l+Fz+FmG(33对点自测L(必修第二册P3 3练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l-1),1 3则向量5a6b=(D)A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:因为 a=(l,1),b=(l,-1),1 113 3 3所以至二 2),2 b=(2-2),1 3 13 13所以至与b二(2-2 2+2)=(-1,2),故选 D.2.(必修第二册P3 3练习T5改编)若P必1,3),P2(4,0)且P是线段PR 的一个三等分点，则点P的坐标为(D)A.(2,2)B.(3,-1)C(2,2)或-1)C(2,2)或 1)解析：由题意可知后外二一3).若始3 则P点坐标为(2,2);T 2 T若叱卢尸2,则P点坐标为(3,1).故选D3.已知向量 a=(2,3),b=(-l,2).若 ma+nb(m,nR)与 a-2 b 共线,则 m n解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2 m-n,3 m+2 n).a-2 b=3)-2 X(-1,2)=(4,-1).因为(ma+nb)/(a-2 b),所 以-(2 m-n)-4(3 m+2 n)=0,所以 2 m+n=0,m 1所以w.答案：-24.已知口 AB CD的顶点A(-2),B(3-1),C(5,6),则顶点D的坐标为(4=5x,11=6-叭解得解析:设D(x,y),则由初二口。,得1)二(5.x,6-y),即3=L ly=5.答案：(1,5)关键能力课堂突破类分考点这实四算反靛T平面向量的坐标运算1.已知0为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(l,1),C(2,3),平1=214C,则向量的坐标是BCOB解析：由点C是线段AB上一点，|B C|=2|Aq,设点 B 的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),(2-x=-2,(x=4即13=Y,解得ly=7 所以向量B的坐标是(4,7).答案：(4,7)2.如图所示，以eb e2为基底，则a=.解析：以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则 ei=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令 a=x ei+y e2,即(-3,1)=产二T,x=_2x(l,o)+y(-1,1),则(所以ly=L 即 a=-2 ei+e2.答案：-2 ei+e?3.已知 A(2,4),B(3,T),C(-3,-4).设45=a,3C=b,=c,且C=3 c G=-2 b.(1)求 3 a+b-3 c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;而(3)求M,N的坐标及向量的坐标.解：由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).(1)3 a+b-3 c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-2 4)=(6,-42).(2)法一 因为 mb+nc=(-6m+n,-3 m+8n),(-6m+w=5,(m=1,所以 l3m+87i=5,解得 In=-1.法二因为a+b+c=O,所以 a=-b-c,又因为a=mb+nc,所以 mb+nc=-b-c,m=-1,所以71=-l.设0为坐标原点，因为CM二=3 c,T所以麻二3 c+二 24)+(-3,-4)=(0,20).所以 M(0,2 0).又因为血okoib,所以0N=-2 b+二(12,6)+(-3,-4)=(9,2),而二所以N(9,2),所以(9,-18).R题后悟通向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.阂考点二平面向量基本定理及其应用CfflD如图,在正方形AB CD中,M,N分别是B C,CD的中点,若北二入期十口 8用,则入+口=,解析:法一由质二近讪量血而，得融入山+口旗二 x （人-2）AB+（2+u）”又AC二AB+AZJ +p,=1,ft=刍.?所以2 解得1 5所以入+*法二 以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1,则网的5）产也（-G（i,1）,*-1 1因为4c二入口区川二（入.2 y 5 2+H）,/1,6入一孤=1,A=1,-+n=1,a=4所以J产解得I 5所以入+口二5.答案:M解题策略1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.3.建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.针对训练1.如果eb e2是平面a内一组不共线的向量,那么下列四组向量中，不 能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.1 与 ei+e2B.G i22 e1+2 e2C.ei+e2 6i62D.ei+3 e2 与 6ez+2 ei解析:法一 选项A也设ei+e2=入eb(1=K则11=0,无解；选项 B 中，设 e2 e2二人(ei+2 ez),(A=l,则I-2=2九无解；选项 C 中，设 ei+e2=入(0102)，A=l,则11=I无解;选项D中，e1+3 e2=z(6e2+2 e1),所以两向量是共线向量.故选D.法二 只有D项的e1,e2的对应系数成比例.故选D.一2.如图,A,B分别是射线O M,O N上的点,给出下列向量:4+2 q3一1一2%0B；*%0B；鼻40B,若这些向量均以0为起点,则终 点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()A.B.C.D.解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的 一对有序实数U,V,使得P二u+vB成立,且u+v=l.可以证明当点p位于阴影区域内的充要条件是满足p=u“+vq且 u 0,v0,u+vl.因为1+21,所以点P位于阴影区域内，故正确；同 理正确;而错误.故选B.岐唐点三共线向量的坐标表示及其应用口角度-利用向量共线求参数融刁已知向量a=(2,l),b=(x,-1),且a-b与b共线，贝)x的值为.(2)已知向量 a=(l,2)5b=(2,-2),c=(l,入).若 c(2 a+b),则入解析：(1)因为 a=解 1),b=(x,-1),所以 a-b=(2-x,2),又因为a-b与b共线，所以(2-x)X(-1)-2 x=0,所以x=-2.由题意得2 a+b=(4,2),因为c=(1,入)，且c (2 a+b)，所以4人-2=0,即入=2.答案：(1)-2(2)2解题策略如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(xi,yi),b=(x2,y2),则 ab 的充要条件是 Xiy2-x2yi=0.口角度二 利用向量共线求向量或点的坐标在ZXAB C 中，已知点 0(0,0),A(0,5),B(4,3),OCOA OD=20B AD与B C交于点M,则点M的坐标为.解析:因为点。(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(0,i),同理点D(2/).设M的坐标为(x,y),则4M二(x,y-5),而川L(2-5),因为A,M,D三点共线,所以仙与.共线，7所以-2 x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20,T 5 T 5 7而&二(x,y-),CB=(4-0,3-)=(4,解析:设 B(x,2 x),则斯二(x-3,2 x).一因为加a,所以x-3=2 x,即x=-3.所以 B(-3,-6).答案：(-36)2.平面内给定三个向量a=2),b二(-l,2),c=(4,1).若d满足(d-c)/(a+b),且|d-c|二百,求 d 的坐标.解:设 d=(x,y),则 d-c=(x-4,y-1),百又 a+b=4),|d-c|-,：4(又-4)-2(广1)=0,所以GT)2+(y-l)2=5,pt=3,(x=5,解得ty=T或=3.所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).备选例题一CS D 在平行四边形 AB CD 中,A(1,2),B(-2,0),AC=(2,-3),则点 D 的 坐标为()A.(6,1)B.(-6,-1)C.(0,-3)D.(0,3)解析:他二(-3,-2)二DQ 所以4ZL4C+CD二二 T),则 d(6,1).故选A.CS 0D向量a,b,c在正方形网格中，如图所示,若c=入a+u b(入，口金R),则()A.1 B.2 C.3解析：以0为坐标原点,建立平面直角坐标系,设每个小正方形边长为1,可得 a=(-l,1),b=(6,2),c=(-l,-3).因为 c=入 a+u b(入，u R),01=-A+6/x,所以1T-2眄1 1解得人=-2,P=-2所以14.故选D.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与0B的交点P的坐标 为.解析:法一 设0为坐标原点，由0,P,B三点共线，可设尸二入二（4入，4入），则色PQ二（4入-4,4入）.又正儿退（2,6）,由AP与AC共线,得由入-4)X 6-4 X X(-2)=0,3 T 3 T解得入v,所以P与%（3,3）,所以点P的坐标为(3,3).法二设点P(x,y),0(0,0),则P二(x,y),因为(4,4),且尸与方共线，所以上*即x=y.又仙二(x-4,y),AC=(-2,6),且初与A。共线,所以(x-4)X 6-y X(-2)=0,解得 x=y=3,所以点P的坐标为3).答案：3)课时作业选题明细表灵活今强考教提他知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的坐标运算1,7,8平面向量基本定理及应用2,4,5,910共线向量的坐标表示及其应用3,613综合问题11,12,1415A级基础巩固练1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(D)A210B _2_xA.2)B.(-2,-2)c.(1,1)D.(-1,-D解析：因为A(2,2)1(1,1),所以二(-1,-1).故选。.2在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)A.i=(0,0),02=(1,2)B.ei=(1,2),02=(5,-2)C.6i=(3,5),02=(6,10)D.ei=(2,3),2=(2,3)解析:对于A,C,D都有e1e2,所以只有B成立.故选B.3.设向量a=(m,2),b=(1,m+1)，且a与b的方向相反,则实数m的值为(A)A.-2 B.1C.-2或1 D.m的值不存在解析：向量 a=(m,2),b=(l,m+1),因为 a/b,所以 m(m+1)=2XI,解得 m=-2或m=l.当m=l时,a=(l,2),b=(l,2),a与b的方向相同,舍去；当 m=-2时,a=(-2,2),b=(1,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.4.在平面直角坐标系xO y中,已知A(1,O),B(O,1),C为第一象限内一 f f f点，N AO CW且0C=2,若丝入见 口庞,则入+口等于(A)V2 V2A.2 B.C.2 D.4解析：因为0C=2,ZAO C=*C为第一象限内一点,所以C（1,2）,又儿=+初所以*,6)=入所0)+p(0,1)=(X,u),所以入i=播,所以入+u=2位故选A.5.（多选题）设0是平行四边形AB CD的两条对角线AC,B D的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是（AC）A AD与AB b与B CCd与位 d.OD与解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,他与他不共线可作为基底;对于B P力与巳。为共线向量，不可作为 基底;对于&以与DC是两个不共线的向量，可作为基底;对于D,。与在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.BA6.（多选题）已知向量4=（1广3）甲广l）,=（m+l,m-2）,若点A,B,C能构成三角形，则实数ni可以是（AB D）A.-2 B.2C.1 D.-1解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形,因为4s=44=(2广1).(L-3)=(L2)C=4=(m+Lm-2)-(L-3)=(m,m+1)假设 A,B,C 三点共线，则1X(m+1)-2 m=0,即m=l.所以只要mWl,则A,B,C三点即 可构成三角形.故选AB D.7.已知向量 a二句，3),b=(-2,k),且(a+2 b)(3 a-b),则实数k=.解析:法一 a+2 b=(-3,3+2 k),3 a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2 k),解得k=-6.法二 若a,b不共线，则a+2 b与3 a-b不共线，这与(a+2 b)/(3 a-b)矛盾,故a,b共线，所以k-3义(-2)=0,解得k=-6.答案:-68.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反，且|b|=10,则向量b的 坐标为.解析:法一 不妨设向量b的坐标为(-3叫4m)(ni0),则 1b|/(3my+(4m)2=o,解得m=-2（m=2舍去）,故 b=（68）.W 3 4法二 与a方向相反的单位向量是同=(S-S),3 4故 b=10-M)=(6广8).答案：(6,-8)9.如图，已知在AO CB中,A是CB的中点,D是将以分成2：1的一个内 分点，DC和0A交于点E,设04=a,0B=b.用a和b表示向量叫叫若E=入求实数人的值.T 2 T解：由题意知,A是B C的中点，且D=13由平行四边形法则,7曰 0B j_O C_OA1 寸 十 一N，所以 a=2 a-B=2 a-b,T T 2 5DC=OC_OD=(2 a-b)-3 b=2 a-3 b.T(2)由题意知,EC/DC故设EC=xDC.因为应工充_O E=(2 a-b)-入 a=(2-入)a-b,尻=2 a=b.5所以（2-入）a-b=x（2 a孙）.因为a与b不共线，由平面向量基本定理,(2B=2乂“T_5得(I*解得B级综合运用练10.已知在 RtAAB C 中，ZB AC=90,AB=1,AC=2,D 是ZkAB C 内一点,且 xZDAB=60,设皿入+口 A。（入，口金R）,则&等于（A）2V3 行A.T B.1C.3 D,2百解析:如图，以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0,2）,因为N DAB=60,所以设D点的坐标为(m,8m)(mWO).血=(m,姆n)-入3+Li”C=入(1,0)+u(0,2)=(入，2 u),则入=m,且 u用二3%9 2V3所以4号.故选A.11.如图,在 RtAAB C 中，ZAB C=2,AC=2 AB,ZB AC 的平分线交4AB C 的 外接圆于点D,设他二a/Jb,则向量制等于（C）A.a+b B.2 a+b1 2C.a+2 b D.a+b解析:设圆的半径为r,.在 RtAAB C 中，N AB C旦 AC=2 AB,所以 N B AC与,ZACB=6,又N B AC的平分线交4AB C的外接圆于点D,.所 以 ZACB=ZB AD=ZCAD=6,则根据圆的性质得B D=CD=AB,1又因为在 RtAAB C 中，AB=2 AC=r=0D,所以四边形AB DO为菱形，T 1所以 A1MB+A0二a+5b.故选 C.12,已知0为坐标原点，向量0人(1,2),星(_2,一1),若2牝瞿则曲二.解析:因为2Ap贝，所以2(d-西=0瓦办,所以 2OP=OA+OB所以 0P=5%二(-2 2)答案:大13.已知 a=(l,0),b=(2,1).当k为何值时,ka-b与a+2 b共线;若松二2+3 B C=a+mb且A,B,C三点共线，求m的值.解：(l)kab=k(l,O)1)=(k2,-1),a+2 b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2 b共线，所以 2(k-2)-(-1)*5=0,即 2 k-4+5=0,得 k=-2.法一因为A,B,C三点共线，所以4s二人BC,即 2 a+3 b=入(a+mb),f 2=X,3所以匕=mA,解得m=2.法二 AB=2 a+3 b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+mb=(1,0)+m(2,l)=(2 m+l,m),因为A,B,C三点共线,所以他/不3所以 8m-3(2 m+l)=0,即 2 m-3=0,所以 m=2.14.如图，已知平面内有三个向量OC其中04与O B的夹角为 L120。，”与的夹角为30。，且|4|二|03仁1,1|二28若O C=AO A+口03(入，pR),求入+口 的值.解:法一如图,作平行四边形O B E1,则。C=。+。41 因为04与0B的夹角为120。，4与0C的夹角为30。，所以N B QO 90在 RS O B iC 中,N 0CB i=3 0。，|西=2佟 所以1。叫二2,1比，一所以1e二联1二4,所以a二4。，+2哽所以a=4,U=2,所以X+11=6.法二 以0为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A（1,O）,B（巨9），C百）.由 二入 04 口 OB3=入-”得入=4,“=”解得1*=2：所以入+口=6.C级应用创新练15.若a,8是平面内一组基底,向量Y=xQ+yB(x,yG R),则称(x,y)为向量丫在基底a,B下的坐标，现已知向量a在基底 P=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为.解析：因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以 a=-2 p+2 q=(2,4),令 a=xm+yn=(-x+y,x+2 y),所以1需二:即已：所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).答案：(0,2)第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用 回课程标准要求1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.5:必备知识,课前回顾 历成材夯实四基ft知识梳理1.向量的夹角 一已知两个非零向量a和b,0是平面上任意一点,作人8 0B=b,则N AO B就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是0,上.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为。，则数量|a|b|c os 9叫做a 与b的数量积,记作a b,即a b二a b c os。.规定:零向 量与任一向量的数量积为0,即0 a=0投影、投影向量T T设a,b是两个非零向量,必刊CZ)=b,我们考虑如下变换:过 版的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为4,B i,得到I,我们称上述变换为向量a向向量b投影,Ai/叫做向量a在向量b上的投影向量投影向量的表示a在b上的投影向量为-通在6上的投影向量的模为3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a b=b a;(2)数乘结合律：(入 a)b二入(a b)/a(入 b)(入 R)；(3)分配律：a (b+c)=a b+a c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a=(xb yi),b=(x2,y2),9=.结论几何表示坐标表示三重要结论模a|=1a=数量积aa|b b=CO S 0a b=xix2+yiy2夹角c os 9=CO S 0=Jq+或.Jk+为a_Lba b=0乂位2+丫田2=0a/b1a b=a bXiy2=X2 yi|a b|与|a|b|的关系i b|a|b1xix2+yiy2 是B C边上的中线，则愈 AC=AD2-B D2.2.两个向量a,b的夹角为锐角oa b 0且a,b不共线；两个向量a,b的夹角为钝角Qa b 所以 412 V(AB+AC)2=i(|AB|2+|AC|2+2ABAB.AC)1 13=4X(l+9+2 XlX3 Xc os 60)Rt E所以|M1|二W答案:三关键能力课堂突破美寺考点旗实四襄族考点T平面向量数量积的基本运算 1.已知在矩形AB CD中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,B C的中点，则靛送(B)A.8 B.10C.12 D.14 解析:法一（定义法）根据题意，得F 以7二（m+建）.（DC+C