极点配置和观测器的设计方案.pptx

2024年3月29日u5.1 反馈控制结构反馈控制结构 u5.2 系统的极点配置系统的极点配置u5.3 状态解耦状态解耦 u5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法 u5.5 带状态观测器的反馈系统带状态观测器的反馈系统 u5.6 MATLAB在控制系统综合中的应用在控制系统综合中的应用 第第5章章 极点配置与观测器的设计极点配置与观测器的设计2024年3月29日l综合与设计问题综合与设计问题，即在已知系统结构和参数，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。l一般说来，这种控制规律常取反馈形式。一般说来，这种控制规律常取反馈形式。l经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了闭环极点，以改善系统性能；而在状态空间的分析综合中，除了利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供利用输出反馈以外，更主要是利用状态反馈配置极点，它能提供更多的校正信息。更多的校正信息。l由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要由于状态反馈提取的状态变量通常不是在物理上都可测量，需要用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。用可测量的输入输出重新构造状态观测器得到状态估计值。l状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的主要内容。主要内容。2024年3月29日5.1 反馈控制结构反馈控制结构 则闭环系统则闭环系统 的结构如图的结构如图 5-1 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律5.1.1 状态反馈状态反馈2024年3月29日状态空间表达式为：状态空间表达式为：2024年3月29日5.1.2 输出反馈输出反馈当当时，输出反馈系统动态方程为时，输出反馈系统动态方程为2024年3月29日5.1.3 状态反馈系统的性质状态反馈系统的性质 定理定理5-1 5-1 对于任何常值反馈阵对于任何常值反馈阵K K，状态反馈系统，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控。能控的充分必要条件是原系统能控。证明证明 对任意的对任意的K K阵，均有阵，均有上式中等式右边的矩阵上式中等式右边的矩阵 ，对任意常值都是非奇异的。，对任意常值都是非奇异的。因此对任意的因此对任意的 和和K K，均有，均有 说明，状态反馈不改变原系统的能控性说明，状态反馈不改变原系统的能控性 2024年3月29日 完全能控能观，引入反馈完全能控能观，引入反馈例例 系统系统：不难判断，系统不难判断，系统仍然是能控的，但已不再仍然是能控的，但已不再能观测。能观测。则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为2024年3月29日 定理定理 5-2 5-2 给定系统给定系统通过状态反馈通过状态反馈任意配置极点的充任意配置极点的充完全能控完全能控。要条件要条件5.2.1 5.2.1 能控系统的极点配置能控系统的极点配置 5.2 5.2 系统的极点配置系统的极点配置 所谓所谓极点配置极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。望的动态性能。2024年3月29日证证:只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 必能将它变为能控标准形必能将它变为能控标准形 这里，这里，为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有，2024年3月29日引入状态反馈引入状态反馈则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 2024年3月29日 其中，显然有其中，显然有系统系统的闭环特征方程为的闭环特征方程为2024年3月29日同时，由指定的任意同时，由指定的任意 个期望闭环极点个期望闭环极点 可求得期望的闭环特征方程可求得期望的闭环特征方程通过比较系数，可知通过比较系数，可知 2024年3月29日由此即有由此即有又因为又因为所以所以 2024年3月29日K阵的求法阵的求法n根据能控标准形求解根据能控标准形求解q求线性变换求线性变换P P阵，将原系统变换为能控标准阵，将原系统变换为能控标准形。然后根据要求的极点配置，计算状态形。然后根据要求的极点配置，计算状态反馈阵反馈阵q将将 变换为变换为n直接求直接求K K阵方法阵方法q根据要求极点，写出希望闭环特征多项式根据要求极点，写出希望闭环特征多项式q令令q求解求解2024年3月29日解：解：因为因为例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 ，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能能配置闭环特征值。配置闭环特征值。任意任意2024年3月29日1)1)由由得得2)2)由由得得3)3)2024年3月29日4)4)5)5)6)6)2024年3月29日解法解法2 2：直接法：直接法解：设所需的状态反馈增益矩阵解：设所需的状态反馈增益矩阵k k为为因为经过状态反馈因为经过状态反馈 后，闭环系统后，闭环系统 特征多项式为特征多项式为的的2024年3月29日比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有 ：8,812,42321211=+=+=+kkkkkk得：得：即得状态反馈增益矩阵为即得状态反馈增益矩阵为:与解法与解法1 1的结果相同的结果相同求得闭环期望特征多项式为求得闭环期望特征多项式为2024年3月29日例例5-3 5-3 设被控系统传递函数为设被控系统传递函数为 要求性能指标为：要求性能指标为：超调量：超调量：；峰值时峰值时间：间：；系统带宽：系统带宽：；位置误差位置误差 。试用极点配置法进行综合。试用极点配置法进行综合。解解 （1 1）原系统能控标准形动态方程为）原系统能控标准形动态方程为对应特征多项式为对应特征多项式为 2024年3月29日综合考虑响应速度和带宽要求，取综合考虑响应速度和带宽要求，取 。于是，闭环主导极。于是，闭环主导极点为点为 ，取非主导极点为，取非主导极点为（2 2）根据技术指标确定希望极点）根据技术指标确定希望极点 系统有三个极点，为方便，选一对主导极点系统有三个极点，为方便，选一对主导极点 ，另外，另外一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：一个为可忽略影响的非主导极点。已知的指标计算公式为：将已知数据代入，从前将已知数据代入，从前3 3个指标可以分别求出：个指标可以分别求出：2024年3月29日3 3）确定状态反馈矩阵确定状态反馈矩阵 状态反馈系统的期望特征多项式为状态反馈系统的期望特征多项式为由此，求得状态反馈矩阵为由此，求得状态反馈矩阵为 （4 4）确定输入放大系数）确定输入放大系数状态反馈系统闭环传递函数为：状态反馈系统闭环传递函数为：因为因为所以所以，可以求出，可以求出2024年3月29日 其中，其中，的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。系统传递函数的零点。(2)(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：换成如下形式：(3)(3)讨论讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。公因子被对消所致。(1)(1)2024年3月29日例例 某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下某位置控制系统（伺服系统）简化线路如下为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机为了实现全状态反馈，电动机轴上安装了测速发电机TG，通过霍尔电流传感器测得电枢电流通过霍尔电流传感器测得电枢电流 ，即，即 。已知。已知折算到电动机轴上的粘性摩擦系数折算到电动机轴上的粘性摩擦系数 、转动、转动惯量惯量 ；电动机电枢回路电阻；电动机电枢回路电阻 ；电；电枢回路电感枢回路电感 ；电动势系数为；电动势系数为 、电动机转矩系数为、电动机转矩系数为 。选择。选择 、作为状态变量。将系统极点配置到作为状态变量。将系统极点配置到 和和 ，求求K 阵。阵。2024年3月29日2024年3月29日解解 1.建立系统状态空间模型建立系统状态空间模型 为恒定的负载转矩为恒定的负载转矩将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为将主反馈断开，系统不可变部分，代入参数后，系统方程为2024年3月29日2.计算状态反馈矩阵计算状态反馈矩阵所以系统能控所以系统能控计算出状态反馈矩阵计算出状态反馈矩阵状态反馈系统的状态图如图（状态反馈系统的状态图如图（c）所示（没有画出）所示（没有画出 ）。）。经过结构变换成（经过结构变换成（d）图所示的状态图）图所示的状态图因为位置主反馈因为位置主反馈，其他参数的选择应该满足：，其他参数的选择应该满足：验证验证：求图（：求图（d）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极）系统的传递函数，其极点确实为希望配置的极点位置。点位置。2024年3月29日5.2.2 5.2.2 镇定问题镇定问题l定义定义:若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实若被控系统通过状态反馈能使其闭环极点均具有负实部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。部，即闭环系统渐进稳定，则称系统是状态反馈可镇定的。l镇定问题是一种特殊的闭环极点配置问题。镇定问题是一种特殊的闭环极点配置问题。定理定理5-3 5-3 线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是线性定常系统采用状态反馈可镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。其不能控子系统为渐进稳定。u对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇对能控系统，可直接用前面的极点配置方法实现系统镇定。定。u对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性对满足可镇定条件的不能控系统，应先对系统作能控性结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反结构分解，再对能控子系统进行极点配置，找到对应的反馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。馈阵，最后再转换为原系统的状态反馈阵。2024年3月29日例5-4 已知系统的状态方程为要求用状态反馈来镇定系统。解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统特征值为特征值为5 5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈实现镇定，镇定后极点设为实现镇定，镇定后极点设为 能控子系统方程为能控子系统方程为引入状态反馈引入状态反馈，设，设2024年3月29日状态反馈系统特征方程为状态反馈系统特征方程为比较对应项系数，可得比较对应项系数，可得为为5 5的特征值无须配置，所以原系统的状态反馈阵可写为的特征值无须配置，所以原系统的状态反馈阵可写为期望的特征多项式为期望的特征多项式为2024年3月29日5.3 5.3 状态解耦状态解耦5.3.1 5.3.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMOMIMO系统系统在在 的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 描述：描述：2024年3月29日可写为可写为式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出式中每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制，我们称这种交互作用的现被多少个输入所控制，我们称这种交互作用的现象为象为耦合耦合。2024年3月29日显然，经过解耦的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由m m个独立单变个独立单变量子系统所组成。量子系统所组成。解耦控制问题解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为控制称为解耦控制解耦控制，或者简称为，或者简称为解耦解耦。,使得使得 闭环系统的传递函数阵闭环系统的传递函数阵2024年3月29日2024年3月29日5.3.2 5.3.2 状态解耦状态解耦 利用状态反馈实现解耦控制，通常采用状态反利用状态反馈实现解耦控制，通常采用状态反馈加输入变换器的结构形式馈加输入变换器的结构形式 状态反馈阵状态反馈阵 输入变换阵输入变换阵 2024年3月29日状态解耦问题可描述为：状态解耦问题可描述为：对多输入多输出系统（设对多输入多输出系统（设D=0D=0）设计反馈解耦）设计反馈解耦控制律控制律使得闭环系统使得闭环系统的传递函数矩阵的传递函数矩阵为对角形为对角形2024年3月29日实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)1)解耦阶系数解耦阶系数 中各元素分母与分子多项式幂次之差中各元素分母与分子多项式幂次之差式中式中为被控系统传递函数矩阵为被控系统传递函数矩阵中的第中的第个行向量。个行向量。例例解耦阶系数为解耦阶系数为 2024年3月29日2 2、可解耦性矩阵、可解耦性矩阵 其中其中 定理定理 5-4 5-4 系统在状态反馈系统在状态反馈下实下实现现解耦控制的充要条件是为解耦控制的充要条件是为非奇异。，即非奇异。，即2024年3月29日例例5-4 5-4 给定系统给定系统 其中其中:其传递函数矩阵为其传递函数矩阵为 :得到得到 :2024年3月29日故该系统可以通过故该系统可以通过状态反馈实现解耦状态反馈实现解耦控制控制2024年3月29日算法和推论算法和推论 首先要写出受控系统的传递函数矩阵首先要写出受控系统的传递函数矩阵 1)1)求出求出 系统的系统的 2)2)构成矩阵构成矩阵 ，若，若 非奇异，则可实现状态非奇异，则可实现状态反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3)3)求取矩阵求取矩阵 和和 ,则则 就是所需的就是所需的状态反馈控制律。状态反馈控制律。2024年3月29日（4 4）在状态反馈）在状态反馈 下，闭环系统其传下，闭环系统其传递函数矩阵为递函数矩阵为:例例 给定系统给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。耦后的传递函数矩阵。2024年3月29日解：解：1)1)在前例中已求得在前例中已求得 2)2)因为因为 为非奇异的为非奇异的,所以可状态所以可状态反馈解耦反馈解耦.3)3)因为因为所以有所以有2024年3月29日于是于是4)4)反馈后，对于闭环系统反馈后，对于闭环系统 有有2024年3月29日推论推论：1)1)能否态反馈实现解耦控制取决于能否态反馈实现解耦控制取决于 和和 。2)2)求得求得 ，则解耦系统的传递函数，则解耦系统的传递函数 矩阵即可确定。矩阵即可确定。3)3)系统解耦后，每个系统解耦后，每个SISOSISO系统的传递函数均为系统的传递函数均为 重积分形式。须对它进一步施以极点配重积分形式。须对它进一步施以极点配 置。置。4)4)要求系统能控，或者至少能镇定否则不能要求系统能控，或者至少能镇定否则不能 保证闭环系统的稳定性。保证闭环系统的稳定性。2024年3月29日5.4 5.4 观测器及其设计方法观测器及其设计方法 p系统设计离不开状态反馈系统设计离不开状态反馈p实际系统的状态变量不是都能用物理方实际系统的状态变量不是都能用物理方法测得到的法测得到的p需要设法得到状态变量需要设法得到状态变量 采用状态观采用状态观测器实现状态重构测器实现状态重构引言引言：2024年3月29日5.4.1 5.4.1 观测器的设计思路观测器的设计思路则称则称 为为 的一个状态观测器。的一个状态观测器。如果动态系统如果动态系统 以以 的输入的输入 和输出和输出 作作为其输入量能产生一组输出量为其输入量能产生一组输出量 渐近于渐近于 即即设线性定常系统设线性定常系统 的状态向量的状态向量 不能直接检测不能直接检测 0 0 g g,0lim=-txxxxyux（0),CBA2024年3月29日定理定理 系统系统 其观测器极点可任意其观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观测配置的充要条件是系统完全能观测证证:因为因为5.4.2 5.4.2 状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件 2024年3月29日即即所以所以,只有当只有当 时，上式中的时，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向状态向量量 才能由才能由 以及它们的各阶导数的线性组以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。合构造出来。2024年3月29日5.4.2 5.4.2 全维状态观测器全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置同的模拟装置(1)(1)2024年3月29日从所构造的这一装置可以直接测量从所构造的这一装置可以直接测量。这种。这种开环状态估计器存在如下缺点：开环状态估计器存在如下缺点：每次使用必须重新确定原系统的初始状态并每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对估计器实施设置；对估计器实施设置；在在 有正实部特征值时，有正实部特征值时，最终总要趋向无最终总要趋向无 穷大。穷大。2024年3月29日定义偏差定义偏差如果如果说明说明2024年3月29日(2)(2)闭环全维状态观测器。闭环全维状态观测器。状态观测器的动态方程可写为：状态观测器的动态方程可写为：2024年3月29日定理定理 若若n n维线性定常系统是状态完能观，则存在维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器状态观测器可选择矩阵可选择矩阵 来任意配置来任意配置 的特征值。的特征值。强调：强调：2024年3月29日全维状态观测器设计方法全维状态观测器设计方法（1 1）设单输入系统能观，通过）设单输入系统能观，通过 ，将状，将状态方程化为能观标准形。有态方程化为能观标准形。有 线性变换阵线性变换阵P P可以由第可以由第3 3章式（章式（3-303-30）求出。）求出。2024年3月29日（2 2）构造状态观测器。）构造状态观测器。令令 ，得到，得到 其闭环特征方程为其闭环特征方程为2024年3月29日设状态观测器期望的极点为设状态观测器期望的极点为 ，其特征，其特征多项式记为多项式记为 令同次幂的系数相等，即得令同次幂的系数相等，即得 3 3）令）令 ，代回到式（，代回到式（5-335-33）中就得到系）中就得到系统的状态观测器。统的状态观测器。2024年3月29日解：解：1 1、判断系统能观测性、判断系统能观测性例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为试设计一个全维状态观测器，使其极点为试设计一个全维状态观测器，使其极点为1010、1010所以系统使状态能观测的，可构造能任意配所以系统使状态能观测的，可构造能任意配置极点的状态观测器。置极点的状态观测器。2024年3月29日2 2、设状态观测器为、设状态观测器为3 3、实际状态观测器特征多项式、实际状态观测器特征多项式2024年3月29日4 4、观测器期望特征多项式、观测器期望特征多项式5 5、求、求6 6、状态观测器为、状态观测器为2024年3月29日2024年3月29日例例 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为设计一个全维状态观测器，并使观测器的设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为极点为2024年3月29日解解:系统完全能观测的，可构造任意配置特征系统完全能观测的，可构造任意配置特征值全维状态观测器。值全维状态观测器。1)1)由由 ,得得2)2)观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为 得得3)3)2024年3月29日4)4)5)5)6)6)2024年3月29日得全维状态观测器得全维状态观测器2024年3月29日其模拟结构如图为其模拟结构如图为2024年3月29日 利用利用y y直接产生部分状态变量，降低观测器的直接产生部分状态变量，降低观测器的维数。若输出维数。若输出m m维，则需要观测的状态为维，则需要观测的状态为(n-m)(n-m)维。维。即观测器的维数少于状态维数即观测器的维数少于状态维数 简化结构简化结构（一）建模（一）建模5.4.3 5.4.3 降维状态观测器设计降维状态观测器设计2024年3月29日1 1、把状态方程、把状态方程“一分为二一分为二”系统方程变换为式中线性变换线性变换矩阵矩阵 2024年3月29日或：或：2024年3月29日2 2、建立需被观测部分的状态方程、建立需被观测部分的状态方程2024年3月29日3 3、降维观测器的实现、降维观测器的实现2024年3月29日为了消去为了消去 作变换作变换以上两式为降维观测器的状态方程以上两式为降维观测器的状态方程令令代入式（代入式（5-445-44）中可得到）中可得到 2024年3月29日原系统状态变量估计值原系统状态变量估计值5 5、降维状态观测器结构图、降维状态观测器结构图4 4、变换后系统状态变量的估计值为、变换后系统状态变量的估计值为2024年3月29日2024年3月29日（二）设计（二）设计1 1、实际降维状态观测器的特征多项式和希望实际降维状态观测器的特征多项式和希望观测器特征多项式的系数应相等。观测器特征多项式的系数应相等。2 2、求出降维观测器状态方程、求出降维观测器状态方程2024年3月29日解：（解：（1 1）系统完全能观，且）系统完全能观，且n=3,m=2,n-m=1,n=3,m=2,n-m=1,只要只要一维观测器。一维观测器。（2）（3）2024年3月29日3 3）求观测器反馈阵）求观测器反馈阵G,G,设设 降维观测器的特征方程式为降维观测器的特征方程式为期望的特征方程式为期望的特征方程式为 所以有所以有 即即 设设，有，有（5 5）变换后系统状态变量的估计值为）变换后系统状态变量的估计值为原系统状态变量估计值原系统状态变量估计值（4 4）求降维观测器状态方程）求降维观测器状态方程2024年3月29日2024年3月29日5.5 5.5 带状态观测器的状态反馈闭环系统带状态观测器的状态反馈闭环系统两个问题：两个问题：（1 1）在状态反馈）在状态反馈系统中，用状态估系统中，用状态估计值计值是否要重新计算状是否要重新计算状态反馈增益矩阵态反馈增益矩阵K K？（2 2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分）当观测器被引入系统后，状态反馈部分 是否会改变已经设计好的观测是否会改变已经设计好的观测器的极点配置？器的极点配置？2024年3月29日2024年3月29日由以上由以上3 3式可得到带状态观测器的状态反馈式可得到带状态观测器的状态反馈闭环系统状态空间表达式闭环系统状态空间表达式全维状态观测器：全维状态观测器：设受控系统能控能观，其状态空间表达式为设受控系统能控能观，其状态空间表达式为设状态反馈控制律为：设状态反馈控制律为：2024年3月29日构造构造2n2n维复合系统：维复合系统：定义误差定义误差2024年3月29日写成矩阵形式为写成矩阵形式为 若被控系统（，）可控可观测，若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行极点配置和观测器设计可以分别进行分离定理分离定理5.5.2 5.5.2 系统基本特性系统基本特性2024年3月29日闭环极点的分离特性闭环极点的分离特性传递函数的不变性传递函数的不变性2024年3月29日例例5.5.5 5.5.5 设受控系统传递函数为设受控系统传递函数为 用状态反馈将闭环极点配置为用状态反馈将闭环极点配置为-4-4j6,-4-j6j6,-4-j6。并设。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为-10,-10)10,-10)解：（解：（1）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。2024年3月29日令令期望特征多项式期望特征多项式对应特征多项式对应特征多项式由对应系数相等得由对应系数相等得(2)求状态反馈矩阵求状态反馈矩阵K 写出状态空间表达式写出状态空间表达式2024年3月29日（3）求全维观测器）求全维观测器令令全维观测器方程为全维观测器方程为2024年3月29日5.6 MATLAB5.6 MATLAB的应用的应用5.6.1 极点配置极点配置 线性系统是状态能控时，可以通过状态反馈来任意配置系统的线性系统是状态能控时，可以通过状态反馈来任意配置系统的极点。把极点配置到极点。把极点配置到S左半平面所希望的位置上，则可以获得满意左半平面所希望的位置上，则可以获得满意的控制特性。的控制特性。状态反馈的系统方程为状态反馈的系统方程为 2024年3月29日 在在MATLAB中，用函数命令中，用函数命令place()可以方便地求出状态可以方便地求出状态反馈矩阵反馈矩阵K；该命令的调用格式为：；该命令的调用格式为：K=place(A,b,P)。P为一个行向量，其各分量为所希望配置为一个行向量，其各分量为所希望配置的各极点。即：该命令计算出状态反馈阵的各极点。即：该命令计算出状态反馈阵K，使得（，使得（A-bK）的）的特征值为向量特征值为向量P的各个分量。使用函数命令的各个分量。使用函数命令acker()也可以计也可以计算出状态矩阵算出状态矩阵K，其作用和调用格式与，其作用和调用格式与place()相同，只是算相同，只是算法有些差异。法有些差异。例例 线性控制系统的状态方程为线性控制系统的状态方程为其中其中 要求确定状态反馈矩阵，使状态反馈系统极点配置为要求确定状态反馈矩阵，使状态反馈系统极点配置为 2024年3月29日解解 首先判断系统的能控性，输入以下语句首先判断系统的能控性，输入以下语句 语句执行结果为语句执行结果为 这说明系统能控性矩阵满秩，系统能控，可以应用状态反馈，这说明系统能控性矩阵满秩，系统能控，可以应用状态反馈，任意配置极点。任意配置极点。输入以下语句输入以下语句 语句执行结果为语句执行结果为 2024年3月29日计算结果表明，状态反馈阵为计算结果表明，状态反馈阵为 注注：如果将输入语句中的：如果将输入语句中的 K=place(A,B,P)改为改为 K=acker(A,B,P)，可以得到同样的结果。，可以得到同样的结果。5.6.2 状态观测器设计状态观测器设计 在在MATLAB中，可以使用函数命令中，可以使用函数命令acker()计算出状态观测器计算出状态观测器矩阵矩阵。调用格式。调用格式 ，其中，其中AT 和和 CT 分别是分别是A 和和B 矩阵的转置。矩阵的转置。P为一个行向量，其各分量为所希望的状态观测器为一个行向量，其各分量为所希望的状态观测器的各极点。的各极点。GT为所求的状态观测器矩阵为所求的状态观测器矩阵G 的转置。的转置。例例 线性控制系统的状态方程为线性控制系统的状态方程为其中其中 要求设计系统状态观测器，其特征值为要求设计系统状态观测器，其特征值为:3,4,5。2024年3月29日解解 首先判断系统的能观测性，输入以下语句首先判断系统的能观测性，输入以下语句 语句运行结果为语句运行结果为说明系统能观测，可以设计状态观测器说明系统能观测，可以设计状态观测器2024年3月29日输入以下语句输入以下语句 语句运行结果为语句运行结果为 计算结果表明，状态观测器矩阵为计算结果表明，状态观测器矩阵为状态观测器的方程为状态观测器的方程为2024年3月29日5.6.3 单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计1.状态反馈系统的极点配置及其状态反馈系统的极点配置及其MATLAB/Simulink仿真仿真例例 给出的单级倒立摆系统的状态方程为给出的单级倒立摆系统的状态方程为 首先，使用首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。输，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。输入以下程序入以下程序 计算结计算结果为果为 2024年3月29日 根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在不失一般性，不妨将极点配置在 在在MATLAB中输入命令中输入命令得到计算结果为得到计算结果为因此，求出状态反馈矩阵为因此，求出状态反馈矩阵为 2024年3月29日 采用采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。仿真模型，如下图所示。首先，在首先，在MATLAB的的Command Window中输入各个矩阵的值，中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值。然后运行仿真程序。并且在模型中的积分器中设置非零初值。然后运行仿真程序。2024年3月29日得到的仿真曲得到的仿真曲线如右图所示线如右图所示 从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在在 （即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态）。（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态）。2024年3月29日2.状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序入以下程序 计算结果为计算结果为 因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。2024年3月29日 设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征值为：值为：输入以下命令输入以下命令计算结果为计算结果为求出状态观测器矩阵为求出状态观测器矩阵为 2024年3月29日 如果采用如果采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。2024年3月29日 首先，在首先，在MATLAB的的Command Window中输入各中输入各个矩阵的值，并个矩阵的值，并且在模型中的积且在模型中的积分器中设置非零分器中设置非零初值。然后运行初值。然后运行仿真程序。得到仿真程序。得到的仿真曲线如右的仿真曲线如右图所示。图所示。比较两个仿真结果，具有状态观测器的单级倒立摆状态反比较两个仿真结果，具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈系统的控制效果和没有状态观测器的控制系统的控制效果十馈系统的控制效果和没有状态观测器的控制系统的控制效果十分接近，令人满意。分接近，令人满意。