数学补充考研.pptx

有 理 函 数 的 积 分(补充)有理函数的定义：有理函数的定义：两个实系数多项式的商所表示的函数称为两个实系数多项式的商所表示的函数称为有理函数有理函数.一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式假分式可以化成一个多项式例例任一真分式都可惟一地分解为若干个最简分式的和任一真分式都可惟一地分解为若干个最简分式的和.将真分式分解为最简分式的和：将真分式分解为最简分式的和：和一个真分式之和和一个真分式之和.（1）分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为结论：结论：（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：特殊地：分解后为分解后为（1）比较系数法）比较系数法例例1 1取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2（2）赋值法）赋值法例例3 3整理得整理得例例4 4 求积分求积分 解解可以在求解前进行分解可以在求解前进行分解例例5 5 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令说明说明 将有理函数化为部分分式之和后，只将有理函数化为部分分式之和后，只多项式多项式；讨论积分讨论积分令令出现三类情况：出现三类情况：则则记记 由基本三角函数和常数经过有限次四则运算由基本三角函数和常数经过有限次四则运算二二、三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分一般记为一般记为构成的函数称之为构成的函数称之为三角有理函数三角有理函数令令万能公式万能公式例例8 8 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式例例9 9 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令（三）（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算中先故三角有理式的计算中先考虑其它手段考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.讨论类型讨论类型解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1111 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分例例1212 求积分求积分解解 令令例例1010 求积分求积分解解例例1313 求积分求积分解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式