资源描述
习题2.1
1. 设随机变量X的分布律为P{X=k}=,k=1, 2,N,求常数a.
解:由分布律的性质=1得
P(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1
N*=1, 即a=1
2. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,,求常数c.
解:
C=
3. 将一枚骰子连掷两次,以X表示两次所得的点数之和,以Y表示两次出现的最小点数,分别求X,Y的分布律.
注: 可知X为从2到12的所有整数值．
可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故
P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)
P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1))
P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))
P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))
P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))
P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)
P(X=8)=5*(1/36)＝5/36
P(X=9)=4*(1/36)＝1/9
P(X=10)=3*(1/36)＝1/12
P(X=11)=2*(1/36)＝1/18
P(X=12)=1*(1/36)＝1/36
以上是X的分布律
投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y的取值了.
P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值
P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值
P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值
P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值
P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值
P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6
以上是Y的分布律了.
4. 设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X表示取出的次品的个数,求X的分布律.
解:X=0,1,2
X=0时,P=
X=1时,P=
X=2时,P=
5. 抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为,连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律.
解:P{X=k}=, k=1, 2, 3, 8
6. 设离散型随机变量X的分布律为
X
-1
2
3
P
解:
7. 设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:
(1) 进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;
(2) 进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.
解:设X为事件A发生的次数,
(1)
(2)
8. 甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.
解:设X表示各自投中的次数
投中次数相等的概率=
9. 有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)
解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算=1000*0.0001=0.1
10. 一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:
(1) 每分钟恰有8次呼唤的概率;
(2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率.
解: (1)
(2)
习题2.2
1. 求0-1分布的分布函数.
解:
2. 设离散型随机变量X的分布律为:
X
-1
2
3
P
0.25
0.5
0.25
求X的分布函数,以及概率,.
解:
则X的分布函数F(x)为:
3. 设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.
证:
4. 如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:
(1)
(2)
(3)
(4)
5. 设随机变量X的分布函数为
F(x) =a+barctanx,
求(1)常数a,b;
(2)
解: (1)由分布函数的基本性质 得:
解之a=, b=
(2)
(将x=1带入F(x) =a+barctanx)注: arctan为反正切函数,值域(), arctan1=
6. 设随机变量X的分布函数为
求
解: 注:
习题2.3
1. 设随机变量X的概率密度为:
求: (1)常数a; (2); (3)X的分布函数F(x).
解:
(1)由概率密度的性质
A=
(2)
一些常用特殊角的三角函数值
正弦
余弦
正切
余切
0
0
1
0
不存在
π/6
1/2
√3/2
√3/3
√3
π/4
√2/2
√2/2
1
1
π/3
√3/2
1/2
√3
√3/3
π/2
1
0
不存在
0
π
0
-1
0
不存在
(3) X的概率分布为:
2. 设随机变量X的概率密度为
求: (1)常数a; (2); (3)X的分布函数.
解:
(1) ,即a=
(2)
(3) X的分布函数
3. 求下列分布函数所对应的概率密度:
(1)
解: (柯西分布)
(2)
解: (指数分布)
(3)
解: (均匀分布)
4. 设随机变量X的概率密度为
求: (1); (2)
解:
(1)
(2) (2)
5. 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程(利用二次式的判别式)
解: K~U(0,5)
方程式有实数根,则
故方程有实根的概率为:
6. 设X ~ U(2,5),现在对X进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.
解:
至少有两次观测值大于3的概率为:
7. 设修理某机器所用的时间X服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.
解:
8. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为λ=的指数分布,某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求
解:
“未等到服务而离开的概率”为
Y的分布律:
Y
0
1
2
3
4
5
P
0.484
0.378
0.118
0.018
0.001
0.00004
9. 设X ~ N(3,),求:
(1) ;
(2) .
解:
(1)
(2)
经查表,即C=3
10. 设X ~ N(0,1),设x满足
解:
经查表当1.65时
即1.65时
11. X ~ N(10,),求:
(1)
(2)
解:
(1)
(2)
经查表,即d=3.3
12. 某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,),规定长度在范围10.050.12内为合格,求一螺栓不合格的概率.
解:
螺栓合格的概率为:
螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.0456
13. 测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:
(1) 至少有一次误差绝对值不超过30m的概率;
(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率.
解:
(1) 绝对值不超过30m的概率为:
至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为:
1−
(2) 只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:
习题2.4
1. 设X的分布律为
X
-2
0
2
3
P
0.2
0.2
0.3
0.3
求(1)的分布律.
解: (1)的可能取值为5,1,-3,-5.
由于
从而的分布律为:
X
-5
-3
1
5
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)的可能取值为0,2,3.
由于
从而的分布律为:
X
0
2
3
0.2
0.5
0.3
2. 设X的分布律为
X
-1
0
1
2
P
0.2
0.3
0.1
0.4
求
解:Y的可能取值为0,1,4.
由于
从而的分布律为:
X
0
1
4
Y
0.1
0.7
0.2
3. X~U(0,1),求以下Y的概率密度:
(1)
解: (1)
即
(2)
即
注: 由X~U(0,1),,当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4
(3)
即
注: ,当X=0时,; ,当X=1时,
4. 设随机变量X的概率密度为
求以下Y的概率密度:
(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)
解: (1) Y=g(x)=3X,
即
(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,-1
注意是绝对值
即
(3) , X=h(y)=,
, 即
5. 设X服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y的概率密度:
(1)Y=2X+1; (2) (3)
解: (1) Y=g(x)=2X+1,
X的概率密度为:
即
(2)
永远大于0.
当x>0是,>1
即
(3)
,
即
6. X~N(0,1),求以下Y的概率密度:
(1)
解: (1)
当X=+Y时:
当X=-Y时:
故
即
自测题
一,选择题
1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数,则P{X=3}= C .
A. B. C. D.
2.设随机变量X~B(4,0.2),则P{X>3}= A .
A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192
解:P{X>3}= P{X=4}= (二项分布)
3.设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是 D .
A. B. C. D. F(x) 为连续函数
4.下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .
A. B.
C. D.
不晓得为何课后答案为D
5.设随机变量X的概率密度为 则常数a= A .
A. -10 B. C. D. 10 解: F(x) =
6.如果函数是某连续型随机变量X的概率密度,则区间[a,b]可以是 C
A. [0, 1] B. [0, 2] C. D. [1, 2]
7.设随机变量X的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X的概率密度的是 A
A. B.
C. D.
8.设连续型随机变量X的概率密度为 则= B .
A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1
解:
9.设随机变量X~U(2,4),则= A . (需在区间2,4内)
A. B.
C. D.
10. 设随机变量X的概率密度为 则X~ A .
自己算的结果是
A. N (-1, 2) B. N (-1, 4) C. N (-1, 8) D. N (-1, 16)
11.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y的概率密度fy(y)为 D .
A. B. C. D.
二,填空题
1.已知随机变量X的分布律为
X
1
2
3
4
5
P
2a
0.1
0.3
a
0.3
则常数a= 0.1 .
解:2a+0.1+0.3+a+0.3=1
2.设随机变量X的分布律为
X
1
2
3
P
记X的分布函数为F(x)则F(2)= . 解:
3.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X,则= .
解:
4.设X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,且,则λ= 2 .
解:分别将.
5.设随机变量X的分布函数为
其中0<a<b,则= 0.4 .
解:
6.设X为连续型随机变量,c是一个常数,则= 0.
7. 设连续型随机变量X的分布函数为
则X的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)= .
8. 设连续型随机变量X的分布函数为其中概率密度为f(x),
则f(1)= .
9. 设连续型随机变量X的概率密度为其中a>0.要使,则常数a=
3 .
解:
10.设随机变量X~N(0,1),为其分布函数,则= 1 .
11.设X~N,其分布函数为为标准正态分布函数,则F(x)与之间的关系是
= .
12.设X~N(2,4),则= 0.5 .
13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值,为使,则
常数a< 6.5 . 解:,
14. 设X~N(0,1),则Y=2X+1的概率密度= .
解:
三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X表示取到红球的数,求X的分布律.
解: X=0,1,2
当X=0时,
当X=1时,
当X=2时,
X的分布律为:
X
0
1
2
P
四.设X的概率密度为求: (1)X的分布函数F(x);(2).
解: (1)
;
(2)
五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为
一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率;(2)一台仪器能正常工作2000小时以上的概率.
解: (1)
(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故:
18 OF 18
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
