梁的强度与刚度.doc

第八章 梁的强度与刚度

　　　　　　  第二十四讲 梁的正应力　截面的二次矩
　　　　　　  第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
　　　　　　  第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
　　　　　　  第二十七讲 弯曲切应力简介
　　　　　　  第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度

第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩

目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：
第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算
§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、 纯弯曲概念：
    １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
    ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：
    １、中性层和中性轴的概念：
    中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
    中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

    ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
    以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

    ３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：
    （１）、任一点正应力的计算公式：

    （２）、最大正应力的计算公式：

    其中：M---截面上的弯矩； 　IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。

    说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。     

§8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理

一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
    １、矩形截面：

    ２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面

圆环形截面

其中：

    ３、型钢：
    型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩 平行移轴定理
    １、平行移轴定理：
    截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
    IZ1=IZ+a2A
    ２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc

2、求截面对形心轴z轴的惯性矩

第二十五讲　弯曲正应力强度计算（一）

目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
教学内容：

§8-3 弯曲正应力强度计算
一、 弯曲正应力强度条件：

    １、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：

    （1）、强度校核
    （2）、截面设计
    （3）、确定许可荷载
    ２、 弯曲正应力强度计算的步为：
    (１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。
    (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
二、例题：
    例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。

    解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。

    由

    得

    矩形截面弯曲截面系数：

    h=2b=0.238m
    最后取h=240mm,b=120mm
例2：悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。已知［σ］＝170MPa，L=1.2m 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值［F］。
解：画出梁的恋矩图如图。
由M图知：Mmax=FL=1.2F
查No.18号工字钢型钢表得
Wz=185cm3
由

得
Mmax≤Wz[σ]
1.2F≤185×10-6×170×106
[F]=26.2×103N=26.2kN

第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）

目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。
教学内容：

一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁（图）。
2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。
３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。
三、 例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。
解：1、作梁的弯矩图如图（b）
由梁的弯矩图可得：

2、强度校核

σmax>[σ]
即：此梁的强度不够。

例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力[σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。
解：（1）求出梁的支座反力为
     FA=0.75kN,FB=3.75kN
    （2）作梁的弯矩图如图（b）
    （3）分别校核B、C截面
     B截面

可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。

C截面

可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。

第二十七讲 弯曲切应力简介

目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。
教学重点：最大弯曲切应力的计算。
教学难点：弯曲切应力公式的理解。
教学内容：
§8-4 弯曲切应力简介
一、 弯曲切应力：
   １、 梁横截面上的剪力由弯曲切应力组成。
   ２、 梁横截面上的弯曲切应力成二次抛物线规律分布，中性
轴处最大，上下边沿点为零。
       （如图）

三、 最大弯曲切应力的计算：
     １、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍

     ２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四

     ３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法
     （１）、 公式：

     （２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。

四、 弯曲切应力的强度计算：
     １、 强度条件：
          τmax≤[τ]
          [τ]---梁所用材料的许用切应力
     ２、 例题：
例１：如图所示简支梁，许用正应力[σ]=140MPa，许用切应力[τ]=80MPa，试选择工字钢型号。

解：
（１）由平衡方程求出支座反力
     FA=6kN,　FB=54kN
（２）画出剪力图弯矩图
（３）由正应力强度条件选择型号

     查型钢表：选用No.12.6号工字钢。 Wz=77.529cm3,h=126mm，δ=8.4mm, b=5mm
（４）切应力校核

     故需重选。
     重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。

     虽然大于许用应力，但不超过５％，设计规范允许。故可选用No.14工字钢。
　第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度的措施

目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
教学内容：
§8-5 梁的变形概述
概念：
    １、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。

    ２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。
挠曲线方程    ｗ＝ｆ(ｘ)
挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。

§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。
二、 用叠加法计算梁的变形：
    １、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。
    ２、例题：
例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。
解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得

三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
     梁的刚度条件：
    ωmax≤[ω]
    θmax≤[θ]
    1、刚度校核
    2、截面设计
    3、确定许可荷载
    在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。

§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、 合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）

二、 合理布置载荷：
    将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）

三、 选择合理的截面：
    １、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。
    ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。