三角函数中三角变换常用的方法和技巧.doc

三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

一、角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。
例1　函数的最小值等于（　　）．
（A）　　（B） 　　（C） 　　（D）
解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：，所以将函数的表达式转化为，故的最小值为．故选（C）．
评注：常见的角的变换有：，，，，，．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．
例2、已知 均是锐角，求。
解：
小结：本题根据问题的条件和结论进行的变换。
例3、已知cos(,sin(-)=,且求
分析：观察已知角和所求角，可作出的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。
解：
例4、已知求证：

分析：由角的特点，因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。
证明：
小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换

三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．
例1、若sin（α+β）=, sin （α—β）＝，求
解：由sin=（α+β）=, s in （α—β）＝得

∴＝＝
例2、当时，函数的最小值是（　）．
（A）　　（B） （C）　　（D）
解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解．因为，所以，所以．故选（A）．
评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：
（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；
（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解答．
例3、化简：
解：原式
例4、已知，求的值。
解：∵，
∴
点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换

分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．
例1、　已知为第二象限角，且，求的值．
分析：由于已知条件中知道的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．
解：原式
当为第二象限角，且时，，，所以．
评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．
例2、求值：
解：原式：＝＝
=
=
＝＝
注：怎样处理sin320°和是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。

例3、化简。
分析：从“幂”入手，利用降幂公式。
解：原式

四、 常数变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。
例1、已知，求的值．
分析：由已知易求得的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．
解：由，得，
于是原式．
评注：对于题中所给三角式中的常数（如：等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．
例2、 求值（—）·
解：∵—＝
＝
＝
＝＝＝32cos20o
∴原式＝32
例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子可联想到。
解：

。
所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。

五、消参变换

当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．
例1、已知，且，．
求证：．
分析：由于已知和结论中都含有参数，所以我们可以把已知变形，求出，代入化简，即可证得等式成立．
评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．

六、变换公式的方法
使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。
例1：求值：
解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。
原式＝（切、割化为弦）
==(逆用二倍角)
=（常数变换）
=（逆用差角公式）＝
＝－４（逆用二倍角公式）
注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。

例2、求的值。
解：原式=
小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用的变形式
例3、求的值。

又

例4、 若αβ为锐角且满足sinα—sinβ= —，cosα—cosβ=，求tan（α—β）的值。
解：由题中条件把两等式平方相加得
sin2α—2sinαsinβ+sin2 β＋cos2α—2cosαcosβ+cos2β=
即2—2cos（α—β）＝ ∵cos（α—β）＝
∵α、β为锐角 sinα—sinβ＝—＜0
∴ 0<α<β< <α—β<0
∴s in（α—β）＝—＝—,
∴ tan（α—β）== —,