三角函数中三角变换常用的方法和技巧.doc

三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 倍角公式 tan2A=2tanA/1-(tanA)2 cos2a=(cosa)2-(sina)2=2(cosa)2 -1=1-2(sina)2 sin2A=2sinA*cosA半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos)万能公式 sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2)一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；等等。例1函数的最小值等于（）（A）（B）（C）（D）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：，所以将函数的表达式转化为，故的最小值为故选（C）评注：常见的角的变换有：，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系例2、已知 均是锐角，求。解：小结：本题根据问题的条件和结论进行的变换。例3、已知cos(,sin(-)=,且求分析：观察已知角和所求角，可作出的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。解：例4、已知求证：分析：由角的特点，因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。证明：小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决例1、若sin（+）=, sin （），求解：由sin=（+）=, s in （）得例2、当时，函数的最小值是（）（A）（B）（C）（D）解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解因为，所以，所以故选（A）评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解答例3、化简：解：原式例4、已知，求的值。解：，点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一例1、已知为第二象限角，且，求的值分析：由于已知条件中知道的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答解：原式当为第二象限角且时，所以评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1例2、求值：解：原式：=注：怎样处理sin320和是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。例3、化简。分析：从“幂”入手，利用降幂公式。解：原式四、 常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，等等。例1、已知，求的值分析：由已知易求得的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解解：由，得，于是原式评注：对于题中所给三角式中的常数（如：等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用例2、 求值（）解：32cos20o原式32例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子可联想到。解： 。所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决例1、已知，且，求证：分析：由于已知和结论中都含有参数，所以我们可以把已知变形，求出，代入化简，即可证得等式成立评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cos，tantantan（）（1tantan）等。例1：求值：解：先看角，都是12；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。原式（切、割化为弦）=(逆用二倍角)=（常数变换）=（逆用差角公式）（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例2、求的值。解：原式=小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用的变形式例3、求的值。又例4、 若为锐角且满足sinsin= ，coscos=，求tan（）的值。解：由题中条件把两等式平方相加得sin22sinsin+sin2 cos22coscos+cos2=即22cos（） cos（）、为锐角 sinsin0 0 0s in（）, tan（）= ,