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第三节 势能和机械能守恒定律

主干知识综合导图
守恒观点
转化观点
转移观点
E1=E2
ΔEk=-ΔEP
ΔEA=-ΔEB

考点解读对点导考
考点1：重力的功
1．重力做功的特点
重力所做的功只跟初始位置和末位置的竖直高度有关，跟物体的运动路径无关．
2．重力做功的计算
，其中h为初、末位置的高度差。
h
h/3
图3-3-1
A
B
C
D
考题1：如图3-3-1所示，质量为m的小球从高为h的斜面上的A点滚下经水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为处的D点时，速度为零，此过程中重力做的功是多少？
【解析】方法一（分段法）
小球由A→B，重力做正功
小球由C→D，重力做正功
故小球由A→D全过程中重力做功
方法二（整体法）
全过程，小球的高度差，故

H
h
A
B
图3-3-2
【变式1-1】某游客领着孩子游南岳衡山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到山脚下的B点，高度标记如图3-3-2所示，则下列说法正确的是（ ）
A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B的过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B重力做功
D．从A到B重力做功

【变式1-1】D【解析】重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关，从A到B的高度差是H，故从A到B重力做的功，所以选项D正确。

【变式1-2】质量为m的小球从距地面高为h处自由落下，碰地后弹起的高度为，然后落下，碰地后再弹起，弹起后的高度为……，最后小球静止于地面上，整个过程中重力做功为
【变式1-2】mgh

【难点突破】
A
B
O

h
图3-3-2
α
如图3-3-2所示，质量为m的物体沿块、、三条不同的路径从A滑到平面OB上，沿路径，重力做功；沿路径，重力做的功；沿路径，我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每小段曲线的长度都很小，它近似可以看成是一段倾倾的直线，设每小段的高度差为、、…，整个路径重力所做的功等于每小段上重力所做功的代数和，
【拓展延伸】
1．重力做功的特点可推广到任一恒力的功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，只跟初、末两个位置有关，恒力的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
2．重力做功与物体运动路径无关，只与初、末位置的高度差有关。这一点尤其在解一些往复运动或多个过程的问题时，可以省去大量的中间步骤，使得解题单刀直入，一步求解，富于灵活性。

考点2：重力势能的概念及特点
1．重力势能
（1）概念：物体由于被举高而具有的能．
（2）表达式：Ep＝mgh.
（3）矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
（4）单位：其单位与功的单位相同，在国际单位制中是焦耳，符号：1J
2．重力势能的特点
（1）系统性：重力势能是物体和地球共有的．
（2）相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．Ep＝mgh中的h是物体重心到参考面的高度。
（3）参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般可选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势面。
（4）重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能变化与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的。

考题2：如图3-3-3所示，桌面距地面的高度为h2=0.8m,一物体质量为,放在距桌面的支架上，则：
（1）以桌面为零势能参考面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落地落到地面过程中，重力势能减少多少？
h1
h2
图3-3-3
（2）以地面为零势能参考平面，计算物体具有的势能，并计算物体由支架下落到地面过程中，重力势能减少多少？
（3）比较以上计算结果，说明什么问题？
【解析】（1）以桌面为零势能参考平面，物体距零势能参考面的高度为h1=0.8m,因而物体具有重力势能：
物体落至地面时，物体的重力势能：，因此，物体在此过程中的重力势能减少量为：
（2）以地面为零势能参考平面，物体的高度，因而物体的重力势能为：，物体落至地面时重力势能为零。
在此过程中，物体的重力势能减少量
（3）说明重力势能的改变与零势能面的选择无关，是绝对的。

【变式2-1】关于重力势能的几种理解，正确的是（ ）
A．重力势能为零的物体，一定不会对别的物体做功
B．放在地面上的物体，它的重力势能一定等于零
C．在不同高度将某一物体抛出，且落地点在同一水平面上，落地时重力势能相等
D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但并不影响有关重力势能变化的研究
【变式2-1】CD
【难点突破】
1．重力势能是状态量，它描述了物体所处的一定状态与物体所处位置的对应关系。
2．重力势能是物体与地球所组成的系统共同具有的能量，而不是地球上物体独有的，通常说的物体的重力势能是一种简略的习惯说法。
3．正确理解重力势能的相对性，在研究重力势能时，应该选择零势能参考平面。在参考平面上，物体的重力势能为零；在参考面上方，物体的重力势能为正，表示物体的重力势能比在零势面上的势能大；在参考面下方，物体的重力势能为负，表示物体的重力势能比零势面上的势能小，这与功的正、负的物理意义是不同的，比较重力势能大小时，要带正负号。
4．正确理解重力势能的变化的绝对性，物体重力势能的变化与选取的零势能参考面无关，是绝对的，我们关注的是重力势能的变化，这意味着能的转化问题。

考点3：重力做功与重力势能的变化
1．重力做功与重力势能变化的关系
（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增大．
（2）定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
（3）两种情况：当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是，，这时物体重力势能的减少量等于重力所做的功；物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能啬，也就是，，这时物体重力势能的增加量等于克服重力所做的功。

a
a
A
图3-3-4
考题3：一个内部均匀的正方体物块的边长为a，质量为m，放在粗糙水平面上，如图3-3-4所示。由于物块质量很大，摩擦力也很大，需要用以A为轴翻滚的方法向前移动物块，若移动距离为s，且，问此人至少要对此物块做多少功？
【解析】物块原来位置的重心高度，翻滚过程中重心到A正上方时的高度，高度的变化，每翻一次重力势能的增加量，人做功。向前移动距离s，翻滚的次数，这样人所做总功
【答案】
【变式3-1】关于重力做功和物体的重力势能，下列说法中正确的是 (　　)．
A．当重力对物体做正功时，物体的重力势能一定减少
B．物体克服重力做功时，物体的重力势能一定增加
C．地球上任何一个物体的重力势能都有一个确定值
D．重力做功的多少与参考平面的选取无关
图3-3-5
【变式3-1】ABD【解析】重力势能的大小与参考平面的选取有关，故C错；重力做正功时，物体由高处向低处运动，重力势能一定减少，反之物体克服重力做功时，重力势能一定增加，故A、B均对；重力做多少功，物体的重力势能就变化多少，重力势能的变化与参考平面的选取无关，所以重力做功多少与参考平面的选取无关，故D对。
【变式3-1】如图3-3-5所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？

【变式3-1】小球a和b构成的系统重力势能减少，且减少了mgL
【解析】重力对小球a做的功为W1＝2mgL，重力对小球b做的功为W2＝－mgL
则重力对由a、b组成的系统所做的总功为： WG＝W1＋W2＝2mgL＋(－mgL)＝mgL.
因为WG>0，所以系统的重力势能减少，且减少了mgL.

【特别提示】
重力势能Ep＝mgh中的h是物体重心到参考面的高度，所以计算有大小的物体的重力势能时，一定先确定重心的位置，对于质量均匀分布的物体重心就在几何心。物体的重心相对于物体本身的位置可能不变，但在物体移动时，物体整体的重心位置可能发生变化。假设物体的重心高度变化为h，则总质量为m的物体重力（或克服重力）做功为

考点4：弹性势能概念的理解
发生弹性形变的物体，各部分之间由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫弹性势能。弹性势能属于物体系统，具有相对性。
1．势能产生的条件：（1）物体间有相互作用力；（2）物体间有相对位置
2．当弹簧的形变量为零时，它的弹性势能为零，弹簧被拉长或被压缩后，都具有弹性势能。
影响弹性势能的因素（从弹力做功的角度考虑）：
（1）弹簧的形变量l（形变量是指拉伸或压缩的形变量）：因为变化越大，用力越大，做功越多。
（2）弹簧的劲度系数k：拉伸相同的长度，不同的弹簧的“软硬”不一样，做功也不一样。
3．弹性势能的相对性：其实弹性势能和重力势能一样也具有相对性，在通常情况下我们规定弹簧处于原长时的势能为零势能。

考题4：关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是 (　　)．
A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关
【解析】弹性势能的大小跟形变的大小有关，同一弹簧形变量越大，弹性势能也越大．弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故正确答案为A、B、C.
【答案】ABC
【变式4-1】关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是 (　　)．
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k 越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
【变式4-1】C【解析】弹簧的弹性势能的大小，除了跟劲度系数 k 有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小．所以A、B、D均不对．
图3-3-6
【变式4-2】一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图3-3-6所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则 (　　)
A．h愈大，弹簧在A点的压缩量愈大
B．弹簧在A点的压缩量与h无关
C．h愈大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能愈大
D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大

【变式4-2】B【解析】最终小球静止在A点时，通过受力分析，小球受自身重力与弹簧的弹力作用，由弹力公式F＝kx，即可得出弹簧在A点的压缩量与h无关，弹簧弹性势能与h无关．
【难点突破】
F
图3-3-7
x
F
O
x
图3-3-8
物体增加的重力势能等于物体克服重力所做的功，由此可猜想弹簧的弹性势能应该等于使弹簧发生形变时克服弹力所做的功，即应该由弹簧的劲度系数和形变量决定。
如图3-3-7所示，在变力F作用下缓慢拉伸弹簧，F与弹簧的伸长量呈线性关系，作出F-x图象如图3-3-8所示，类比v-t图象的面积表示位移，可知F-x图象的面积表示功，即有
于是我们可以得出结论：如果选弹簧处于自由长度时为零势能点，则弹簧的弹性势能公式为：
【特别提示】
弹性势能的公式高考中不作要求，高考对弹性势能只要求定性分析，即只要求知道弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量有关，但熟记该公式可提高分析判断弹性势能大小及弹性势能变化的能力。

考点5：弹力做功与弹性势能的变化的关系
1．弹性势能的变化
当弹力做正功时，弹性势能减小，弹性势能转化为其它形式的能量；当弹力做负功时，弹性势能增大，其它形式的能量转化为弹性势能。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系为：

图3-3-9
考题5：一个劲度系数为k=800N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=12kg物体A和B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图3-3-9所示。施加一竖直向上的变力F在物体A上，使物体A从静止开始向上做匀加速运动，当t=0.4s时物体B刚离开地面（设整个匀加速过程弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2）.求：
（1）此过程中物体A的加速度的大小
（2）此过程中所加外力F所做的功
【解析】（1）开始时弹簧被压缩x1，对A：kx1=mAg
B刚要离开地面时弹簧伸长x2，对B：kx2=mBg
又mA=mB=m 解得：x1=x2
整个过程A上升：x=x1+x2=2mg/k=0.3m根据运动学公式：
物体A的加速度：
（2）设A末速度为vt 则由：得：
∵x1=x2 ∴此过程初、末位置弹簧的弹性势能不变，弹簧的弹力做功为零。设此过程中所加外力F做功为W，根据动能定理：

【答案】（1） ，49.5J
【方法技巧】
1．解决弹簧问题的关键是要抓住整体系统所处的状态及状态变化的过程，从而弄清各物理量变化的规律，这也是解决物理问题所必备的能力。
2．因为弹性势能公式高考不要求，所以与弹性势能有关的计算题都是给定两个状态下弹簧的形变量相等，从而弹簧的弹性势能相等。
3．采用类比法深刻理解弹性势能和重力势能之间的异同
（1）比较弹簧的弹力和重力的异同应从力产生的原因、力的大小的决定因素入手。例如，对于一个确定的物体，它的重力大小是由物体到地心的距离决定的，也就是说物体的重力大小的决定因素是地球和物体的相对位置。弹簧弹力的大小，在弹簧确定之后，也是由它各部分之间的相对位置决定，各部分之间的相对位置变化时弹力也随之变化。由相对位置决定力的大小是弹簧弹力和重力的共性。
（2）比较弹簧弹力做功与重力做功的异同，应从力的不同和相同之处入手，研究这两种力做功的特点和所做功的数值。例如，重力做功与路径无关，由初、末位置的高度差决定，弹簧弹力的功也与路径无关，只与弹簧初、末状态的长度有关。
（3）比较弹性势能与重力势能的异同，从势能的大小表达形式及从功能关系入手思考，例如重力做正功，重力势能减小，弹簧的弹力做正功，弹性势能也减少。

【变式5-1】弹簧原长L0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到L1＝20 cm 时，作用在弹簧上的力为400 N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
【变式5-1】(1)8 000 N/m　(2)－10 J　(3)10 J

【解析】(1)据胡克定律F＝kx得k＝＝ N/m＝8 000 N/m.
(2)由于F＝kx，作出F－x图象如图所示，求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力F方向与位移x方向相反，故弹力F在此过程中做负功，W＝－×400 ×0.05 J＝－10 J.
(3)弹力F做负功，则弹簧弹性势能增加，且增加量等于克服弹力做的功，ΔEp＝10 J.

【变式5-2】弹簧原长为l0，劲度系数为k.用力把它拉到伸长量为l处，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2.试求W1与W2的比值．

【变式5-2】1∶3【解析】拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在Fl图象中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W1，线段AB下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W2.显然，两块面积之比为1∶3，即W1∶W2＝1∶3.

考点6：机械能 动能和势能之间的转化
1．机械能
物体由于机械运动而具有的能叫机械能，它是动能和势能（包括重力势能和弹性势能）的统称。
2．动能与势能的相互转化
（1）动能与重力势能间的转化：只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
（2）动能与弹性势能间的转化：只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。
（3）重力、弹力同时做功，动能、重力势能、弹性势能相互转化。
【难点突破】
机械能是一个状态量，机械运动的物体在某一位置时，具有确定的速度，也就有确定的动能和势能，即具有确定的机械能。
机械能是一个相对量，其大小与参考系、零势能面的选取有关。
机械能是标量，是系统所具有的。

图3-3-10
考题6：如图3-3-10所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是 (　)
A．弹簧的弹性势能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．弹簧的弹性势能先增大后减小
D．弹簧的弹性势能先减小后增大
【解析】撤去F后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大．
【答案】D
【变式6-1】一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是 (　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
【变式6-1】ABC【解析】运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确．弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确．除重力、弹力之外无其他力做功，故机械能守恒，选项C正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．故选项A、B、C正确.
图3-3-11
【变式6-2】如图3-3-11所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．则在小球由A点摆向最低点B的过程中
A．小球的重力势能减少
B．小球的重力势能增大
C．小球的机械能不变
D．小球的机械能减少

【变式6-2】AD【解析】小球从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大．所以，小球减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能．对物体、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球(还包括地球)而言，机械能减少，选项A、D正确.

考点7：机械能守恒条件的理解与判断
1．机械能守恒定律的内容：
表述一：只有重力做功时，动能和重力势能间相互转换，但机械能的总量保持不变，这就是所谓的机械能守恒定律；只有弹力做功时，动能和弹性势能间相互转换，机械能的总量也保持不变，这也叫机械能守恒定律。
表述二：如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变
2．机械能守恒定律的各种表达形式
观点
表达式
守恒观点
E1＝E2，Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2＝恒量
转化观点
ΔEk＝－ΔEp
转移观点
ΔEA减＝ΔEB增
用守恒观点时，需要规定重力势能的参考平面。用转化观点时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了
3．机械能守恒的条件：只有重力和系统内弹力做功，则系统的机械能总量将保持不变。
（1）物体只受重力或弹力作用；
（2）只有系统内的重力或弹力做功，其他力均不做功；
（3）系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式能之间的转化。
【难点突破】
对机械能守恒定律的理解：
（1）守恒的含义：机械能时时刻刻不变才叫守恒，如中间某时刻有变化，不叫守恒，只能说前后不变，另外，机械能时时刻刻不变，但没有动能和势能的相互转化，也不能叫机械能守恒。
（2）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
（3）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
（4）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功
（5）一旦物体系所受的其他力对物体系做功，物体系的机械能就不守恒了，就是说机械能与其他形式的能发生转化，但总能量守恒。当其他力对物体系做正功，则其他形式能转化为系统机械能，系统机械能增加；反之系统机械能转化为其他形式能，系统机械能减小。并且，其他力做功的数值等于机械能的变化。即：除了重力和弹力外，其他力（可分为动力和阻力）对物体系做功与物体系机械能变化数值相等。

考题7：下列物体中，机械能守恒的是 (　　)．
A．做平抛运动的物体
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以的加速度竖直向上做匀减速运动
【解析】物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以选项A、C项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿第二定律F－mg＝，有，则物体受到竖直向上的大小为的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．
【答案】AC
【方法技巧】
判断系统的机械能是否守恒，通常从如下二个方面分析：（1）从能量特点来看，只有系统动能和势能的相互转化，无其它形式的能量相互转化，则系统机械能守恒；（2）从做功的特点看，只有重力和系统内弹力做功。

图3-3-12

【变式7-1】如图3-3-12所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中 (　　)．
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能等于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D．M和m组成的系统机械能守恒

【变式7-1】BD【解析】M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误．

图3-3-13
【变式7-2】如图3-3-13所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)(　　)
A．B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒
B．A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒
C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒
D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒
【变式7-2】BC【解析】A球在上摆过程中，重力势能增加，动能也增加，机械能增加，B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，C项正确，D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少，A项错误。
【特别提示】
1．机械能转化和守恒是对系统而言，动能和势能的转化是指物体和地球组成的系统机械能守恒；动能和弹性势能的转化是指物体和弹簧组成的系统机械能守恒，通常说某物体的机械能守恒是一种简化说法。
2．对于多个组成的系统，机械能可以在两个不同的物体间相互转移，只有没有内能、电能等其它形式能量参与转化，系统的机械能守恒。
图3-3-14
考题8：在如图3-3-14所示的物理过程示意图中,甲图中一端固定有小球的轻杆从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动;乙图为末端固定有小球的轻质直角架,释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动;丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车,B静止,A获得一向右的初速度后向右运动,某时刻连接两车的细绳绷紧,然后带动B车运动;丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车,把用细绳悬挂的小球从图示位置释放,小球开始摆动.关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计),下列判断中正确的是(　  )
A.甲图中小球机械能守恒
B.乙图中小球A的机械能守恒
C.丙图中两车组成的系统机械能守恒
D.丁图中小球的机械能守恒
【解析】甲图所示过程中轻杆对小球不做功,小球的机械能守恒;乙图所示过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向,会对小球做功,所以每个小球的机械能不守恒,但把两个小球作为一系统时机械能守恒;丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功,但弹力突变有内能转化,机械能不守恒;丁图所示过程中细绳也会拉动小车运动,取地面为参考系,小球的轨迹不是圆弧,细绳会对小球做功,小球的机械能不守恒,把小球和小车当做一个系统,机械能才守恒.
【答案】A
【特别提示】
根据不同的物理情境和研究对象,灵活选择相应的方法来判断物体(物体系)机械能是否守恒.如甲、乙、丁图中杆的弹力方向不能直接确定,可从能量转化(转移)角度分析;丙图为非弹性碰撞模型,机械能不守恒.

学力升级专项攻略
一、机械能守恒的理解与应用
机械能守恒定律是高考的重点，主要考查考生对机械能守恒定律的理解和应用机械能守恒定律解决相关实际问题。
图3-3-14
【例1】山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角为37°的斜坡，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图3－3－15所示，AB竖直高度差h＝8.8 m，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员到达C点的速度大小；
(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小。
【解析】(1)由A→C过程，应用机械能守恒定律得：
又Δh＝R(1－cos 37°)，可解得：vC＝14 m/s
(2)在C点，由牛顿第二定律得：FC－mg＝，解得：FC＝3 936 N
由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N
【答案】(1)14 m/s　(2)3 936 N
【解题技巧】
应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象——物体或系统；
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒；
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程初、末状态时的机械能；
(4)选取适当的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB)进行求解．

【综合变式1-1】某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v0＝5 m/s抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g 取10 m/s2.问：
(1)人对小球做了多少功？
(2)小球落地时的速度为多大？

【综合变式1-1】(1)12.5 J(2)15 m/s【解析】(1)人对小球做的功等于小球获得的动能，所以W＝＝12.5 J. (2)根据机械能守恒定律可知：，所以：v＝15 m/s.

图3-3-15
【综合变式1-2】如图3-3-15所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则此时砝码的速度为多少？

【综合变式1-2】【解析】用ΔEk增＝ΔEp减求解．在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为：ΔEk增＝ (M＋m)v2，系统减少的重力势能为ΔEp减＝Mgh由ΔEk增＝ΔEp减得：，解得v＝
用E初＝E未求解：设M开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初机械能为E初＝－Mgx，系统的末机械能为E末＝－Mg(x＋h)＋ (M＋m)v2，由E初＝E末得－Mgx＝－Mg(x＋h)＋ (M＋m)v2，解得v＝
【方法技巧】
1．机械能守恒定律表达式为标量式，对功和能只需代数加减，不能按矢量法则进行分解或合成。
2．在选用不同表达式时应注意理解：（1）E1=E2意义：系统初、末状态的机械能守恒，运用此式解此解题首先要合适地选择取参考平面，把物体在初、末状态的重力势能是正、是负还是零表达正确。（2）ΔEk＝－ΔEp意义：系统减少（增加）的重力势能等于系统增加（减少）的初能，运用此式解题无需选取参考平面，只要判断出运动过程中物体系的重力势能的增加量或减少量；（3）ΔEA＝－ΔEB的意义：A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能。运用此式解题无需选取参考平面，只要判断出系统内哪个物体的机械能减少了多少，哪个物体的机械能增加了多少就行了。后两种表达式因无需选取参考平面，往往能给列式、计算带来方便。
二、用机械能守恒定律解决“非质点”模型问题
重力势能的变化与运动的过程无关，只与初、末状态有关，对于不可视为质点的物体(常见于“链条、液柱”模型)，可对物体分段找等效重心的位置变化来确定势能的变化，只要研究对象在变化过程中符合机械能守恒条件，即可用机械能守恒定律进行求解。这种思想也是解决变力做功过程中势能变化的基本方法。
图3-3-16
【例2】如图3-3-16所示,粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水.开始时阀门K闭合,左右支管内水面高度差为L.打开阀门K后,左右水面刚好相平时左管液面下降的速度是多大?(管的内部横截面很小,摩擦阻力忽略不计)
【解析】该过程中,整个水柱势能的减少量等效于高为的水柱降低重力势能的减少量.不妨设水柱总质量8m,则，解得
【答案】
【方法技巧】
对于绳、流体等易形变物体只有重力做功时机械能守恒，在求解高度变化引起的速度变化时常用如下方法计算其重力势能的变化量：初末两状态有部分区域在相同高度，则其重力势能的变化等于其他区域重力势能的变化量。本题由于不考虑摩擦阻力,故整个水柱的机械能守恒.从初始状态到左右支管水面相平为止,相当于有长的水柱由左管移到右管.系统的重力势能减少,动能增加.

图3-3-17
【综合变式2-1】如图3-3-17所示，长为l的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，某一微小的扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为(　　)
A． B．
C． D．

【综合变式2-1】C【解析】设铁链的总的质量为m，以铁链的下端为零势能点，则铁链的机械能为：，铁链完全离开滑轮时，速度为v，则机械能，由机械能守恒定律得E＝E′，所以，选项C正确。

图3-3-18
【综合变式2-2】如图3-3-18所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为θ的足够长的固定光滑斜面，AB、BC间用一小段光滑的圆弧轨道相连。一根长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上，其一端D到B的距离为（L－a），现自由释放链条，求链条的D端滑到B点时，链条的速率是多大？

【综合变式2-1】【解析】可以采用填补法巧妙的解题，将水平面上长（L－a）的链条填补到斜面上链条的下端，由系统势能的减少量等于动能的增加量得：，解得
【方法技巧】
利用等效法计算势能变化时一定要注意等效部分的质量关系，即根据物体的相对位置关系将物体分成若干段，在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。即在解决涉及重力势能变化的问题时，物体的位置变化要以重心位置变化为准。

三、机械能守恒定律与抛体运动的综合
机械能守恒定律的应用经常和竖直上抛运动、平抛运动等相互结合起来考查，对于斜抛运动问题，不要求从运动学的角度进行定量列式计算，可以运用机械能守恒定律巧妙回避难点，进行巧解回壁难点，进行巧解。重力做功与路径无关且系统机械能守恒，用机械能守恒定律处理抛体比用运动学规律处理更加简便。
图3-3-19
【例3】如图3-3-19所示，将一质量为m＝0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2)求：
(1)小球经过C点的速度大小；
(2)小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H

【解析】(1)恰好运动到C点时，重力提供向心力，即mg＝，vC＝＝5 m/s
(2)从B点到C点，由机械能守恒定律有：
在B点对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有：
联立解得vB＝m/s，N＝6.0 N
(3)从A到B由机械能守恒定律有：
所以vA＝ m/s
在A点进行速度的分解有，vy＝vAsin 53°，所以H＝＝3.36 m
【答案】(1)5 m/s　(2)6.0 N　(3)3.36 m
【方法技巧】
用机械能守恒定律解题，参考平面的选取不影响解题的结果，因此参考平面的选取应以解题的方便而定。求解本题关键要抓住平抛运动的末速度沿着圆弧的切线方向
v0
O1
O
m
图3-3-20
【综合变式3-1】一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O点的正上方离O点的距离为的O1点以水平的速度抛出，如图3-3-20所示。试求当质点到达O点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

v0
O1
O
θ
【综合变式3-1】【解析】第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，如图所示，则，

第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图所示.由于绳不可伸长，故绳绷直时，v0损失，质点仅有速度v⊥，且
第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O点正下方时，速度为v′，根据机械能守恒守律有：
设此时绳对质点的拉力为T，则
联立解得：

【思维诊断】
很多同学在求解这道题时，对全过程进行整体思维，设质点到达O点的正下方时速度为v,根据能量守恒定律可得 ：，根据向心力公式得：，解得：.这是错误的。这些同学对物理过程没有弄清楚，忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失。求解这类问题要特别注意在轻绳被拉直的瞬间存在机械能的瞬时损失。系统多过程机械能守恒

四、机械能守恒定律与圆周运动综合
机械能守恒定律与圆周运动的综合问题几乎是年年必考点，主要考查在竖直平面内圆周运动问题，特别是临界条件的分析更是考查的重点。
O
A
B
图3-3-21
vA
vB
【例4】如图3-3-21所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
【解析】设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：
2mgL=