第三讲 行列式按行按列展开.doc

教 学 内 容 课堂组织
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室
批准： 日期： 年 月 日 任课教员：刘 静
班 次
上课日期
节次
上课时数
累计时数
教学场所
06级电子信息3班
07. 09.21
3~4
2
6
20#B102
06级合训7、8班
07.11.19
3~4
2
6
236

课程名称：
线 性 代 数
章节名称：
第一章 行列式
课 题：
第三讲 行列式按行按列展开
目的、要求：
1. 行列式的按行按列展开法则；
2. 掌握行列式的计算方法。
难点、重点：
行列式按行按列展开法则及其应用。
器材设备：
多媒体设备

课 前 检 查
序号
题 目
学员姓名
成绩
1
行列式的定义

2
行列式的6条重要性质

- 8 -

教学内容、方法、步骤
教学内容：
本讲主要介绍：
1. 行列式的按行（列）展开法则；
2. 掌握行列式的计算方法。

教学方法与思路：
1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；
2. 对于三阶行列式，容易验证：

可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？
3. 给出一个特殊的n阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；
4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。
教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。

教学步骤：
1. 介绍余子式和代数余子式的概念；
2. 引理；
3. 行列式的按行（列）展开法则；
4. 应用举例。
5. 小结并布置作业。

§6 行列式按行按列展开
一、行列式的按行按列展开法则
以三阶行列式为例，容易验证：

问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？
对于高阶行列式也有同样的结论。
1．余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列的元素划去，其余元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作．
2．代数余子式：元素的代数余子式．
3. 引理： 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即　　．
这里首先举一个实例说明其含义。(见多媒体)
给出证明(见多媒体)。
定理3

证明：1）假定行列式D的第一行除外都是 0，即

由行列式定义，D 中仅含下面形式的项

其中恰是的一般项，所以

2）设 D 的第 i 行除了外都是0，即

把 D 的第i行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行，第1行进行交换；再将第列与第列，第列，……，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤。由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，得

3）一般情形

证毕。
定理４：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之各为零，即
　　　。
证明：由定理３知，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。
在中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如第 k 行的元素，则

右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
综上，得公式

二、应用举例
例5: 计算行列式。
解：

例6 计算n阶行列式

解：将按第一行展开，得

递推公式改写为
而 ，，于是有 ，整理得

将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到

即得，整理得

例7 证明范得蒙行列式

证明：用数学归纳法证。
(1) 当n=2时,
(2) 设n－1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。

上式右端的行列式是一阶范得蒙行列式，故原式 证毕。
例8 计算Dn=det(aij),其中。
解：

例9 ，求第一行各元素的代数余子式之和

解：第一行各元素的代数余子式之和可以表示成

板书标题于中央

12min

一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，行列式的按行（按列）展开则可以实现将高阶行列式转化为低阶行列式，这正是研究该问题的主要目的。

注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式。

25min

此定理叫做行列式的按行按列展开定理．

在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。

把D转化为1)的情形

利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。

8min

课间休息

6min

10min

10min

8min

8min
小结：本讲介绍了：
1. 介绍余子式和代数余子式的概念；
2. 引理；
3. 行列式的按行（列）展开法则；
4. 应用举例。
3min

作业：习题册上同步习题