SAS讲义三+概率运算.doc

新疆财经大学统计与信息学院
SAS讲义3
王建军

SAS软件概率计算

一、概率论基本概念 1
1.1随机变量 1
1.2随机变量的分布 2
1.3 常见的离散型分布 3
1.4．常见的连续型分布 4
二 SAS概率计算函数与应用 7
2.1 概率函数掌握四个部分 7
2.2 二项分布SAS程序计算 8
2.3 .正态分布与计算 15
2.4 POISSON分布 20
2.5 指数分布 22
2.8 F分布表 25
2.10 卡方分布表 25

主要内容：造概率分布表，计算常用分布概率，SAS概率计算

一、概率论基本概念

1.1随机变量
随机变量(Random Variable,RV). 随机变量实质上是函数，不是简单变量。

给定样本空间，如果其上的实值函数 是 (实值)可测函数，则称为（实值）随机变量。任何的函数称为随机变量。

1.2随机变量的分布

连续随机变量
概率分布密度，分布函数
连续性随机变量的定义
若对于随机变量，存在定义在上的非负函数，使得对任意的实数，总有 则称于随机变量是连续性随机变量，其中称为的概率密度函数，简称概率密度，为明确起见，有时写为。
F（x）为分布函数。

2．概率密度函数的性质
（1）
注：该性质是是某一连续型随机变量的概率密度的充要条件。
（2）对连续性随机变量，一定是连续的，但是未必连续，在的连续点处，有，
（3）对任意的实数 从而对任意实数，有
。=F(b)-F(a)
注：常用概率密度描述连续型随机变量的统计规律。

1.3 常见的离散型分布
（1） 两点分布（0—1分布）：其分布律为

即

0 1
p
1–p p

（2）二项分布
（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义
设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为
， ，
称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为
， ，
则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。

1.4．常见的连续型分布
（1）均匀分布
设表示几何概型中的落点坐标，则其分布函数为
，
其概率密度为
，
称服从区间上的均匀分布，记为。
（2）指数分布
若随机变量的概率密度为
，
称服从参数为的指数分布，其分布函数是
。
（3）正态分布
（ⅰ）标准正态分布：若随机变量的概率密度为
，，
则称服从标准正态分布，记为，其分布函数为
，
（ⅱ）一般正态分布：若随机变量的概率密度为
，，
则称服从参数为的正态分布，记为，其分布函数为
，
（ⅲ）正态分布的性质：
满足对称性，即，；
若，则，即，从而有；
注：由上述性质，可将正态分布的计算转换为标准正态分布的计算，而对于标准正态分布的分布函数值，当时有表可查，根据对称性，当时，可根据算出的值。
若，则
（ⅳ）标准正态分布的上分位点：设，对于任给的，，称满足的点为标准正态分布的上分位点。

二 SAS概率计算函数与应用

2.1 概率函数掌握四个部分
1.概率密度PDF,
2.分布函数CDF
3.分位数函数
4.随机函数RANdom

作为一个统计计算语言，SAS提供了多种概率分布的有关函数。分布密度、概率、累积分布函数等可以通过几种统一的格式调用，格式为
分布函数值 = CDF(' 分布', x <, 参数表>);
密度值 = PDF(' 分布', x <, 参数表>);
概率值 = PMF(' 分布', x <, 参数表>);
CDF计算由'分布'指定的分布的分布函数， PDF计算分布密度函数值，PMF计算离散分布的分布概率，

分布函数
分布类型取值可以为: BERNOULLI, BETA, BINOMIAL, CAUCHY, CHISQUARED, EXPONENTIAL, F, GAMMA, GEOMETRIC, HYPERGEOMETRIC, LAPLACE, LOGISTIC, LOGNORMAL, NEGBINOMIAL, NORMAL 或 GAUSSIAN, PARETO, POISSON, T, UNIFORM, WALD 或 IGAUSS, and WEIBULL。可以只写前四个字母。

例如，PDF('NORMAL', 1.96)计算标准正态分布在1.96处的密度值（0.05844），CDF('NORMAL', 1.96)计算标准正态分布在1.96处的分布函数值（0.975）。PMF对连续型分布即PDF。

分位数函数
分位数函数是概率分布函数的反函数。其自变量在0到1之间取值。分位数函数计算的是分布的左侧分位数。SAS提供了六种常见连续型分布的分位数函数。
PROBIT(p) 标准正态分布左侧p分位数。结果在－5到5之间。
TINV(p, df <,nc>) 自由度为df的t分布的左侧p分位数。可选参数nc为非中心参数。
CINV(p,df<,nc>) 自由度为df的卡方分布的左侧p分位数。可选参数nc为非中心参数。
FINV(p,ndf,ddf<,nc>) F(ndf,ddf)分布的左侧p分位数。可选参数nc为非中心参数。
GAMINV(p,a) 参数为a的伽马分布的左侧p分位数。
BETAINV(p,a,b) 参数为(a,b)的贝塔分布的左侧p分位数。

2.2 二项分布SAS程序计算

1、二项分布概率计算

X~B（n,p）

计算概率B（x,p,n）=PROBBNML(x,p,n)

例：计算二项分布概率，n=5, p=0.2, x=3
① 密度
例：若已知不极格率20%，若抽5个学生，有三个不及格的概率
N=5, P=0.2, k=3

data;
p=PDF('BINOMIAL',3, 0.2,5);
p1=PMF('BINOMIAL',3, 0.2,5);
put "p=" p "p1=" p1;
run;

例：掷硬币10次出三次正面国徽的概率
N=10,K=3,P=0.5

data;
p=PMF('BINOMIAL',3, 0.5,10);
put "p=" p;
run;

② 分布函数
例：上例中学生及格人数不超过3人的概率

data;
p1=cDF('BINOMIAL',3, 0.2,5);
p2=PROBBNML(0.2,5,3);
put "p1=" p1 "p2=" p2;
run;

结果为0.99328，说明给出的是分布函数F（X）＝P（X≤x）的概率，累计概率

③ 分位数

④随机数 RANBIN(seed,n,p)

二项分布表的形式
data;
do i=0 to 5;
p1=PMF('BINOMIAL',i, 0.2,5);
p2=PROBBNML(0.2,5,i);
put "i=" i "p1=" p1 "p2=" p2;
output;
end;
run;
proc print;run;

i=0 p1=0.32768 p2=0.32768
i=1 p1=0.4096 p2=0.73728
i=2 p1=0.2048 p2=0.94208
i=3 p1=0.0512 p2=0.99328
i=4 p1=0.0064 p2=0.99968
i=5 p1=0.00032 p2=1

所以概率计算程序应改写
data p;
p=PROBBNML(0.2,5,3)-probbnml(0.2,5,2);
p1=10*(0.2**3)*(0.8**2);
put p p1;
run;

data p;
y=probbnml(0.2,5,0);
put 'x=0' 'p=' y;
do x=1 to 5;
p=(PROBBNML(0.2,5,x)-probbnml(0.2,5,x-1));
put "x=" x "p=" p;
end;
run;

X~B（5，0.2）
X
0
1
2
3
4
5
P
0.32768
0.4096
0.2048
0.0512
0.0064
0.00032

N次试验，成功不超过K次，每次成功概率为P的概率
P{X<K}

Y=cdf('binomial',K,p,n);
例
K=3,P=0.5,n=12
data;
Y=cdf('binomial',3,0.5,12);
put Y;
run;

y=0.0729980469

例：对某上市公司调查，有50%的员工持有本公司股票，现随机抽10个员工人，问①持有本公司股票的员工恰有4个的概率？②持有本公司股票至少有4 个的概率？
二项分布SAS计算函数为

解：
当n=10,p=0.5,x=4,求概率
Data prob1;
P=probbnml(0.5, 10,4)- probbnml(0.5, 10,3);
P1=1-probbnml(0.5, 10,3);
Run;
Proc print;
Run;

Data prob1;
p=1-probbnml(0.5, 10,3);
Run;
Proc print;
Run;

模拟二项分布,二项分布随机数

语法Syntax

RANBIN(seed,n,p)

Arguments
seed is an integer. If seed 0, the time of day is used to initialize the seed stream.
Range:
seed < 231-1
See:
Seed Values for more information about seed values
n is an integer number of independent Bernoulli trials parameter.
Range:
n> 0
p is a numeric probability of success parameter.
Range:
0 < p < 1

模拟掷硬币10枚,正面概率0.5, 掷20次,正面的分布

data l;
do i=1 to 20;
x=ranbin(12345,10,0.5);/*随机种子12345,同时掷10枚,概率0.5*/
put x;
output;
end;
run;
proc freq data=l;
table x;
run;

练习题：

p(x<=3)

2.3 .正态分布与计算

两个参数：μ，σ。

①正态分布密度值PDF('NORMAL',x,u,s)
N(100,15*15)
data;
y=PDF('NORMAL',100,100,15);
put y;
run;

②正态分布函数
yyy=PROBNORM(0.5);
put yyy;
③分位数probit(0.5)

④随机数normal(seed)
data;
do i=1 to 10;
y=normal(i);
put i y;
end;
run;

例：某公司员工平均月收入1715元，标准差225，设收入服从正态分布，求（1）月收入在1500元到2000元之间的概率。（2）公司内工资收入最高的15%工资是多少？（3）月收入少于1200元的概率是多少？
解：

Data normal;
Y1=probnorm((2000-1715)/225)- probnorm((1500-1715)/225);
x= probit(0.85)*225+1715;
y2= probnorm((1200-1715)/225);
Run;
Proc print;
Run;
Obs Y1 x y2
1 0.72771 1948.20 0.011043

Data p;
Y=probit(0.85);
P=probnorm(y);
Put y p;
Run;

data;
p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;
p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;
p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;
run;

data;
p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;
p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;
p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;
run;

Data;
q1=abs(probit((1-0.6826894921)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.9544997361)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.9973002039)/2));put q3=;
run;

Data;
q1=abs(probit((1-0.9)/2));put q1=;
q2=abs(probit((1-0.95)/2));put q2=;
q3=abs(probit((1-0.98)/2));put q3=;
q3=abs(probit((1-0.99)/2));put q3=;
Run;

Data normal;
Do i=-3 to 3 by 0.01;
x=PDF('NORMAL',i);
x2=PDF('NORMAL',i)/2;
x3=PDF('NORMAL',i-0.5)/2;
output;
end;
Run;

Proc gplot data=normal;
plot x*i x2*i x3*i/overplay;
Run;

画正态分布图x1~N(100,4),x2~N(100,9),x3~N(120,4)

练习题：

例 设随机变量，求：
（1） （2）

2.4 POISSON分布

泊松分布概率计算Piosson

若平均值λ

①密度
②分布函数
③分位数
④随机数

F(X)= POISSON(λ,x)
例：当POISSON分布的参数 λ=0.8, x=3 ，求P(X<=3)

Data p ;
P=poisson(0.8,3) ;
Put p ;
Run;

SAS的POISSON计算函数

例：某城市交通高峰期的发生交通事故平均每小时2起，早上高峰期为一个半小时，晚上为两个小时，求①一天早上高峰期发生4起以上事故的概率？ ②一天晚高峰期恰发生两起事故的概率？
解：求参数，当每小时事故平均2起，时，
Data prob1;
P1=1- poisson(3,3);
P2=poisson(4, 2)-poisson(4,1);
Run;
Proc print;
Run;

例 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的泊松分布，已知在一分钟内没有汽车通过的概率为，求在两分钟内多于一辆汽车通过的概率。
分析：从题意可以看出，须先求出参数，然后再根据分布律求概率。
解：用随机变量表示在时间内通过某交叉路口的汽车数，则

当时，所以，从而当时，
。

Poisson Distribution

Syntax

x = RAND('POISSON',m)
where
x is an integer observation from the distribution with the following probability density function:
Range:
x = 0, 1, ...
m is a numeric mean parameter.
Range:
m > 0

练习：

2.5 指数分布

指数分布密度函数

指数分布是参数为λ.

①密度
②分布函数
③分位数
④随机数

设x=10,λ=0.2, 1/λ=5
P(X<=10)
Data exponential;
y= cdf(‘exponential’,10,5);
Run;
Proc print;
Run;
Y=0.86466

例 设电视机的寿命（以年记），具有以下的概率密度函数

求（1）电视机的寿命最多为6年的概率，
（2）寿命最在5到10年之间的概率，
分析：本题是已知连续性随机变量的概率密度函数求概率，按前面的公式求即可。
解：电视机的寿命记为，则有
（1）
（2）

P值

2.6 均匀分布

①密度
②分布函数
③分位数
④随机数

2.7 T分布

查T分布表

①密度
②分布函数
③分位数
④ 随机数
⑤
T分布分位数
t=tinv(0.975,n-1);
print t;
*P值
tp=pdf('t',t,n-1);
print tp;

T分布表，分布函数的分位数

data t;
do df=1 to 30 by 1;
do p=0.6 to 0.95 by 0.05;
x=tinv(p,df);
put x @@;
end ;
put;
end;
run;

2.8 F分布表
①密度
②分布函数
③分位数
④随机数

data F;
do df1=1 to 30 by 1;
do df2=1 to 30 by 1;
do p=0.9, 0.95 ,0.975 ;
x=Finv(p,df1,df2);
put p df1 df2 x ;
end ;
end;
end;
run;

2.10 卡方分布表
data chi;
do df=1 to 30 by 1;
do p=0.05 to 0.95 by 0.05 ;
x=cinv(p,df);
put p df x ;
end ;
end;
run;

附录部分

Random Number Generation Functionality
RANDGEN Call
generates random numbers from specified distributions
RANDSEED Call
initializes seed for subsequent RANGEN calls

26