专题七 图形与变换.doc

专题七 图形与变换（1）解直角三角形
锐角三角函数

1.直角三角形的边角关系（如图）
（1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；
（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；
（3）边角关系：
①：
②：锐角三角函数：
∠A的正弦=；
∠A的余弦= ,
∠A的正切=
注：三角函数值是一个比值．
2.特殊角的三角函数值．

3.三角函数的关系
(1) 互为余角的三角函数关系．
sin（90○－A）=cosA， cos（90○－A）=sin A
tan（90○－A）= cotA cot（90○－A）=tanA
(2) 同角的三角函数关系．
①平方关系：sin2 A+cos2A=l
②倒数关系：tanA×cotA=1
③商数关系：
4.三角函数的大小比较
(1) 同名三角函数的大小比较
①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．
②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较
①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA
②cotA ＞cosA．由定义，知cosA=，cotA=；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．
③若0○ ＜A＜45○，则cosA＞sinA，cotA＞tanA；
若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，cotA＜tanA

解直角三角形应用
1. 直角三角形边角关系．
（1）三边关系：勾股定理：
（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．
（3）边角关系tanA=，sinA=,cosA=，
2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；
（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；
（3）已知两边解直角三角形．
3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

A组
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则cosA= （ ）。
A． B． C． D．
2.当α+β=90°时，则下面成立的是（ ）。
A.sinα+cosβ=0 B.sinα-sinβ=0
C.tanα-cotβ=0 D.tanα+cotβ=0
3．已知锐角α，且tanα=cot37°，则a等于（ ）。
A．37° B．63° C．53° D．45°
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（ ）。
A．c= B．c= C．c=a·tanA D．c=a·cotA
5．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）。
A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定
6.直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm，且斜边为8cm，则两直角边的长分别为（ ）。
A．6，10 B．6，2 C．4， D．2，
7．直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边上的高，则三边的长分别为（ ）。
A． B． C． D．
8．直角三角形周长是，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积为（ ）。
A． B． C． D．
9．菱形中较长的对角线与边长的比为：1，则菱形的四个角为（ ）。
A.30°，30°，150°，150° B.45°，45°，135°，135°
C.60°，60°，120°，120° D. 90°，90°，90°，90°
10．如图1是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处
，它到BB的中点N的最短路线是（ ）。
A．8 B．2 C．2 D．2+2

图1
11．已知sinα=，求α，若用计算器计算且结果为“”，最后按键（ ）。
A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT “”
12．奚洋同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（ ）。
A.40° B.30° C.20° D.10°
二、填空题（每小题3分，共30分）
1．若cotA＝,则∠A＝_________，若cosB＝,则∠B＝_________。
2．已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ°=，则α=_________。
3．比较大小：cos89°_________cos19°；cos10°_________sin20°。
4.在△ABC中，∠C=90°，sinA＝,c=,则a=_________。
5.在△ABC中，∠C=90°，a=4，c=5，则cosA=_________，sinA·tgB =_________。
6.在△ABC，∠A=90°，AB=12，BC=13，则tgB=__________，=_________。
7.在Rt△ABC中，若两条直角边的比为7∶24，则最小角的正切值为_________。
8．某坡面的坡度为1：，则坡角是_________度。
9．如图2所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是_________厘米。
10．如图3，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是_________。

图2 图3
三、解答题（第9题12分，其余每小题9分，共84分）
1．计算下列各题：
（1）

（2）tan2°tan4°·tan6°…tan88°

2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，∠BAC的平分线交BC于D，AD=cm,求∠B，AB，BC。

3.如图，平地上有甲乙两楼，甲楼高15米。已知从甲楼顶测得乙楼底的俯角为30°，又测得乙楼顶的仰角为15°。求乙楼的高，（tg15°=0.2679，精确到0.01）

4.在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求BD的长。

5．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积。

6．如图，在ΔABC中，∠B,∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：。

7．请你设计一个方案，测量一下你家周围的一座小山的高度．小山底部不能到达，且要求写出需要工具及应测量数据．

8．如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备3米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点45°夹角范围内，才能有效避免雷击（α≤45°），已知接收设备高80厘米，那么避雷针至少应安装多高？

9．要求tan30°的值，可构造如图6所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=
90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∠ABC=30°，tan30°= ==.在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值。请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值。

B组
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．王英同学从A地沿北偏西60o方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）
（A）m．（B）100m．（C）150m．（D）100m．
2．一个钢球沿坡角31o的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
（A）5cos31o．（B）5sin31o．（C）5cot31o．（D）5fan31o．
3．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（ ）
（A）2cm．（B）cm．（C）6cm．（D）8cm．

（第3题） （第4题） （第5题）
4．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为（ ）
（A）82米．（B）163米．（C）52米．（D）70米．
5．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为，则重叠部分的面积为（ ）
（A）．（B）．（C）．（D）．
6．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45o，若点D到电线杆底部点B的距离为，则电线杆AB的长可表示为（ ）
（A）．（B）．（C）．（D）．

（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OC，⊙O的半径R＝2，sinB＝0.75，则弦AC的长为（ ）
（A）0.75．（B）．（C）3．（D）1.5．
8．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90o至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（ ）
（A）1．（B）2．（C）3．（D）不能确定．
二、填空题（每小题4分，共24分）
9．在△ABC中，如果，那么∠C＝__________度．
10．如图，在高为2m，坡度为30o的楼梯表面铺地毯，地毯的长度到少需要_________m．（结果保留根号）

（第10题） （第11题） （第12题）
A
B
C
11．如图，已知△ABC的一边BC与以AC为直径的⊙O相切于点C，若BC＝4，AB＝5，则cosB＝___________．
12．由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图如图所示，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为___________m．（结果保留根号）
13．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC＝3米，cos∠BAC＝，则梯子AB的长度为____________米． （第14题）
14．在△ABC中，BC＝10，AB＝，∠ABC＝30o，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为____________．
三、解答题（每小题5分，共15分）
15．计算：．

16．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90o，AB＝10，D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E．若△ABD是等边三角形，求DE的长．

17．如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长（小明的身高不计，结果精确到0.1米）．

四、解答题（每小题6分，共24分）
18．根据指令[s，A]，，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对轴正方向．
（1）若给机器人下了一个指令[4，60o]，求机器人应移到的位置；
（2）请你给机器人下一个指令，使其移到点（，5）．

19．如图，一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面，如果这辆吊车支点A距地面的高度AB为2m，且点A到铅垂线ED的距离为AC＝15m，求吊臂的最高点E到地面的高度ED的长（精确到0.1 m）．

20．如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，仰角是．后，火箭到达点，此时测得的距离是，仰角为，解答下列问题：
（1）火箭到达点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从点到点的平均速度是多少（精确到0.1km/s）？

21．上海至成都高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得．
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.

图① 图②

五、解答题（第22题6分，第23题7分，共13分）
22．某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3、6、9、12标在所在边的中点上，如图所示．
（1）问长方形的长应为多少？
（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位 置的方法；
（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的，反映解题思路的辅助线）．

23．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为l.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB=66. 5°．
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度(即AD+AB+BC，结果精确到0.1米)．(参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)