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第一讲：数列的极限函数的极限与洛必达法则的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1． 下列极限正确的（ ）
A． B． 不存在
C． D．
解： 选C
注：
2． 下列极限正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
解： 选A
注：
3． 若，，则下列正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解： 选D
4．若，
则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
解：

选B

5．设且存在，则= （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解：

　　　　　　选C
6．当时，与为等价无穷小，则k=（ ）
A． B．1 C．2 D．-2
解： 选C
二 、填空题（每小题4分，共24分）
7．
解：原式
8．
解：原式

9．
解：原式

10．
解：原式

11．
解：又 故 原式=1
12．若
且,则正整数=
解：

故
三、计算题（每小题8分，共64分）
13．求
解： 原式=

原式
14．求
解：原式

15．求
解：令，当时，
原式

16．求
解：原式

注:原式

17．求
解： 原式

18．设且存在，求的值。
解：

19．求
解： (1) 拆项，
(2) 原式=
20．求
解： 原式

四、证明题（共18分）
21．当时且
,
证明
证：

证毕
22．当时，证明以下四个差函数的等价无穷小。
（1）
（2）
（3）
（4）
证：

当时，

当时，

当时，

当时，
五、综合题（每小题10分，共20分）
23．求
解： 原式

24． 已知，求常数的值。
解：（1）∵原极限存在且

（2）

答
选做题
求
解：原式

令

原式

第二讲：函数的连续性与导数、微分的概念的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分）
1．若为是连续函数，
且，
则( )
A． -1 B．0
C．1 D． 不存在
解： 原式
，选B
2． 要使在点处连续，应给补充定义的数值是( )
A． B．
C． D．
解：

选A
3．若，则下列正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
解： 选B
4．设
且在处可导，
,则是的 ( )
A． 可去间断点 B． 跳跃间断点
C． 无穷间断点 D． 连续点
解：
，故是的第一类可去间断点。选A
5．在处 (　)
A． 极限不存在 B．极限存在但不连续
C ．连续但不可导 D．可导但不连续
解：，且
在连续，又
不存在，在不可导 选C
6．设在可导，则为 （ ）
A． B．
C． D．
解：（1）在连续，

故
（2）

，代入得，选C
二、 填空题（每小题4分，共24分）
7．设为连续奇函数，则=

解：（1）为奇函数，
（2）
又在连续
故
8．若为可导的偶函数，则
解：（1）为偶函数，
(2)可导， 故
即
9．设是曲线的
一条切线，则
解： （1）
（2）故
10． 若满足：
，且
则=
解：

11． 设在连续，且=4，
则
解： 原式=

12．的间断点个数为
解： 令
为间断点，
故有三个间断点
三 、计算题（每小题8分，共64分）
13． 已知
在上连续，求的值
解：在连续

且
故
14． 讨论在连续性
解：（1）在处，
且
在处连续
（2）在处，

在不连续
15． 设有连续的导函数，且若在连续，求常数A。
解：

且， 答
16． 设在可导，求的值。
解：（1）在连续，
故有
（2）在可导

，答
17．设在可导，求与
解：（1）在连续，

且，故有
（2）在可导

答：
18． 讨论在是否可导，其中在连续。
解：（1）

（2）
答： 当时，在连续，
当时，在不连续
19． 求的间断点，并指出间断点类型
解：（1） 间断点：
（2） 在处：
是的第一类间断点。
（3） 在处：
为的第二类无穷间断点。
20． 设指出的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）为间断点，可能是间断点。
（2）在处：

是的第二类无穷间断点
（3）在处：

是的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
21． 求的间断点，并判别间断点的类型。
解： （1）间断点：
（2）在处：

是的第一类可去间断点
（3）在处：
是的第一类可去间断点
（4）在处：
是的第二类无穷间断点
22．已知，在可导，求之值
解：（1）在连续，

故
（2）在可导

故有
（3）在连续，

即

（4）在可导：

故有
由（3）（4）解得
答：
五、证明题（每小题9分，共18分）
23． 证明在区间内至少有两个实根。
证：（1）在连续，
且
由零点定理知，
=0在上至少有一个实根。
（2）在连续,且

由零点定理知，
=0在上至少有一个实根
（3）综上所述，=0在上至少有两个实根
24． 设，证明（1）当时在连续，当时，在可导
解：（1）

当时，在连续
(2)

当时，在可导
总之，当时，在连续
当时，在可导
选做题
设对于任意的，函数满足
且证明
证：（1）令， ，即
(2)

证毕

第三讲：导数与微分的计算方法的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设则( )
A ．1 B ．3 C． -1 D． -3
解：（1）

(2)
选C
2．设
,则 （ ）
A ． B．
C． D．
解： 令

选B
注：本题用导数定义计算更方便！
3．设，则= ( )
A ． B ．
C． D．
解：

选A
4．设由方程所确定，则曲线在点（0，1）的切线斜率= ( )
A ．2 B． -2
C ． D． -
解：

选B
5． 设为可导偶函数，且，则 （ ）
A． 0 B ．1
C ．-1 D． 2
解：（1）

（2）

得
（3） 选A
6．设在有连续导数，且,则 ( )
A． 1 B． -1
C． 2 D ．-2
解：

(2)原式

选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．若，
则
解：（1）
(2)
8．设，
则=
解：(1)
（2）
9． 直线与轴平行，且与曲线相切，则切点坐标是
解：
故有切点坐标
10．由方程确定，则
解：当时，得

，
11．设，
则
解：

12．设，则 =
解：

三、计算题（每小题8分，共64分）
13 ．设，求。
解： (1)

（3）
14．设，求及。
解：(1)

15．方程确定，求
解：(1)=0
（2） 当时，
（3）
，
16．设 ，求
解：（1）
(2)
17 ．设，确定，求。
解：（1）
(2)
18． 设，求
解：（1）变形，
（2）

19． 设
由方程所确定，其中F可导，且
，求
解：（1）

（2）当时，
（3）

20．已知，求
解：（1）

四、证明题（本题8分）
21．证明抛物线任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于。
证：（1）求切线方程：设切点坐标为
，

故有切线方程：

（2）求截距：
令，
解得
令，
解得
（3）证明两截距之和为（即）
+

证毕
五、综合题（每小题10分，共30分）
22．若曲线与在点相切，求常数。
解：（1）求两曲线的斜率
在上，
在上，
2）求之值：依题意，两曲线在点相切，

又点在曲线上

23．设单调，且二阶可导，求及
解：（1）
（2）=
=

24．设，求
解：（1）

选做题
1．设可导，且，求
解：（1）

(2)∵（3）

2．设有任意阶导数，且
，求
解：∵
∴

3．设可导且，
证明
解：（1）当时

（2）当时：

（3）综上所述：

第四讲：微分中值定理与导数的应用的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1、已知，则有 （B）
A　一个实根 　　B　两个实根
C 　三个实根 　　D　无实根
解：（1）

在满足罗尔定理条件
故有（）

综上所述，少有两个实根，至多有两个根，故选Ｂ
2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是 　（D）
A　
B　
C　
D　
解：

，
满足罗尔定理条件．故选 D
3．设曲线，则其拐点坐标为（C）
A　0 　　　　　　　B（0，1）　
C（0，0）　　　　　D　1
解：．令．得．
．当时，．
故（0，0）为曲线的拐点 　C
4．若内
必有（C）　　　　　　　　　　
A　
B　
C　
D　
解：
凹弧

如示意图，故有

5．设
在取得极值。则为．．．（Ｂ）
A　 B　
C　 D　
解：⑴
①
⑵②
①—② 得①
得
答案选Ｂ
6．下列命题中正确的是----------（B）
A 为极值点，则必有
B 若在点 处可导，且 为 的极值点，则必有
C 若在（）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。
D 若则点必有的极值点。
解：可导函数的极值点一定是驻点，故有=0 选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．设可导，且的极小值。则
解：原式=

8．的单调增加区间为
解：（1）定义域（2）
当0<x<e 时。 故的单调增区间为（0，e）
9．的极小值是
解：（1）
（2）令，驻点．是不可导点
x

1

+

__

+

单调增

单调减
极小
单调增
（3）极小值
10．的最大值为 1
解：（1）是的不可导点。
（2）
（3）最大值为
11．曲线的水平渐进线为＿＿
解：
∴直线是曲线的一条水平渐进线
12．函数在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的
解：（1）—=

（2）

三、计算题（每小题8分，共64分）
13.已知在区间满足拉格朗日中值定理条件，求
解：

，

14．求函数的单调区间
与极值。
解：（１）

驻点，的不可导点
（2）
x

-1

0

+

-

+

极大

极小

（3）极大值 ，极小值， 在单调减
在单调增
15 求由方程所确定
的极值。
解：（1）求驻点：
令→驻点
（2）判别极值点
当时 代入上式
2+0+0+0+
=为极大值点，
（3）极大值
16．求在区间[，4]
上的最大值，最小值。
解：（ 1）
令， 为不可导点
（2）∵

（3）比较上述函数的大小
最小值为 ，最大值为 0
17．求曲线的凹凸区间与拐点。
解：（1）定义域（--∞，+∞）
（2）

令
得； 不存在的点为
（3）列表

（-∞，0
0
（0，-1）
1
（1，+∞）

+

—

+

凹
拐点
凸
拐点
凹
答：拐点（0，）及（1，）；，
为凹区间，（0，1）为凸区间。
18．求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。
解：（1）是曲线的一条水平渐近线。
（2）

是曲线的另一条水平渐近线
（3）∵
为曲线的一条垂直渐近线
19．判别函数在的单调性。
解：（1）
（２）令
且

（3）
在单调减。
20．设确定单调的区间。
解：（1）

故有为驻点
（2）当时，
时，

（3）除外，．在单调增加。
四、综合题（每小题10分，共２０分）
21 已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为，而且该函数满足，求此函数
解（1）已知；
（2）求常数
，
（3）求：
，
由

（4）求函数y:
答：所求函数y=
22 利用导数描绘的图形
解：（1）定义域，非奇非偶函数
（2）求驻点和的点
，令，驻点
，令，得
（3）列表
x

1
(1,2)
2

+

_

_

_

_

+
y

极大

拐点

极大值，拐点
（4）渐近线与函数变化趋势
是曲线的一条水平渐进线，
（5）描点作图
当时

五、证明题（每小题9分，共18分）
23 设
存在且单调增加，证明当时单调增加
证明：1）令

当时，单调增加

故有单调增加
24 设证明，
证明：1）构造辅助函数：

（2）且

由罗尔定理知

选做题
证明方程：恰有一实根，其中常数，且
证明：（1）令
单调增

且

(4)综上所述：有且仅有一个实根
第六讲:利用导数证明不等式及导数应用题的练习题答案
一、证明不等式
1．当时,证明成立.
证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式
令
(2)在应用拉格朗日中值定理:

(3)
故有 证毕！
2．证明:成立
证：(1)构造辅助函数,
令
(2)在应用拉格朗日定理:

(3) 对于 的情形,同理可证.
证毕
3．证明:当时,有成立.
证：(1) 构造辅助函数：

∴令
(2) 在应用拉格朗日中值定理,
(3) 是单调增函数
，故有,证毕
4．当时,证明成立.
证：(1)令
(2)
在单调减少
(3) 在单调减少,且

故当时,
证毕
5．当时,证明成立.
证：(1)变形,
令
(2)
令

且
从而
在单调减少
(3)∵且=0

即有成立
6．当时,证明成立.
证：(1)变形，令

(2)
(一阶导数符号不易判定,借助)
=
单调增，且

单调增加
(3)在单调增,且
,
故有
证毕
7．当时,证明:成立.
解：(1)令
(2)

令,驻点
(3) ，为极小值点.
由单峰原理,是最小值点
最小值
故有,即

证毕
8．设,证明
成立.
证：(1)令

(2)
驻点
(3)

(4)比较上述函数值的大小:

故有,即

证毕
9．证明:当时,有.
证：(1)令
(2)
,
在单调增加
(3)

由,得
从而有 证毕
二、证明方程根的个数
10．证明:当时,方程仅有一个实根.
证：(1)令

单调增,故最多有一个实根
(2)
是一元五次方程
至少有一个实根
(3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕
11．证明方程只有一个正根.
证(1)

单调增
故最多有一实根
(2)在连续且

∴由零点定理知:
至少有一个正根.
（3）综上所述:只有一个正根
12．证明方程:

有且仅有两个实根.
解：(1)令

在连续且

∴由零点定理知:
在至少有一个实根
同理:=0在至少有一实根
总之, =0在至少有两个实根
(2) =0是一元二次方程,最多有两个
实根．
(３)综上所述：=0有且仅有两个实根
13．设常数
证明方程,在内有且仅有两个正根.
证：(1)令 (x>0)
(2) ;令
驻点
<0,
为极大值点.
由单峰原理:是最大值点
最大值
且,

故与轴有且仅有两个交点
(如示意图)
即在有
且只有两个实根.
三、 应用题（每小题10分，共50分）
14．已知曲线.
（1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程.
（2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.
解：(1)求切线方程:切点

切线方程:
即
(2)令
令
(3)

令
(4)
最小值

15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高.
解：(1)画出示意图

(2)依题意,设所求圆柱体体积为V

(3)求驻点
,令,
,驻点
（4）求最值点:
,
为最大值点
答:当,时,所得圆柱体体积最大
16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度?
解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意:
,其中是甲城到乙城所需要的时间

(2)求驻点:

令,驻点
(3)求最值:由实际问题的意义知道:
最小值存在,且驻点唯一,当时,
客轮消耗燃料总费用最省.
17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低?
解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意:

(2) 求驻点:
令,驻点
(3) 求最值:
,
当时,总造价最省.
(4) 当时,
答:当时,总造价最低.
18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大?

解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V
依题意:,
,
(2) 求驻点

令=0.
,驻点
又
(3) 求最值
由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大.
第六讲:不定积分的概念与换元积分法的练习题答案
一、单项选择题(每小题4分,共24分)
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )
A ．偶函数 B． 奇函数
C． 非奇非偶函数 D．不能确定
解:可导奇函数的导函数必为偶函数.
必为偶函数.选A
2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数为 ( )
A ． B．
C． D ．
解:(1),
(2)
选B
3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )
A．
B ．
C．
D．
解:

选A
4．设且
,则=( )
A ． B．
C． D ．
解：(1)

(2)
且得
,选A
5．设是的一个原函数,则
( )
A． B．
C． D．
解：(1)
原式=

(2)

(3) 原式= 选D
6．设,则=( )
A． B．
C． D．
解：(1)

(2)

(3)原式= 选C
二、填空题
7．若是的一个原函数,则
=
解：(1)

(2)
8．设的一个原函数为
,则
解：

故
9．若,则
=
解： 原式=

10．
解：原式=

或
11．若,则

解：原式=
12．若,则

解：

三、计算题
13．
解:原式=

14．
解:原式=

=
15．
解:原式=

16．
解:原式=

17．
解:原式=

18．
解:令
原式=
=

19．

解:令
原式=
=

20．

解:令
原式=

四、综合题（每小题10分，共20分）
21．
解:(倒代换)令
原式=

(注:(三角代换)令
,
原式=
)
22．
解:令

原式=
=

五、 证明题（每小题9分，共18分）
23．设是 的一个原函数,且,,
证明:
证:

,由,得

24．设是的一个原函数，是的一个原函数且
证明:
或
证:(1)

(2)讨论,若,即

由,得
故有
若,即
,
由,得
故有 证毕
选做题
1．
解:原式=

选做题2．
解:原式=

选做题3．
解:原式=

第七讲:不定积分的分部积分法等的练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．设是的一个原函数,则
( )
A． B．
C． D．
解：
原式=

选A
2．若的一个原函数为,则
( )
A． B．
C． D．
解：

选C
3．设,则
=( )
A． B．
C． D．
解：(1)

(2)

选B
4．= ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式=

选C
5． ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式=

=
=
选B
6． ( )
A．
B．
C．
D．
解： 原式

选C
二、填空题（每小题4分，共24分）
7．=
解： 原式

8．
解： 原式

9．=
解： 原式

若,则
=
解：(1)

(2)
11．
解： 原式=∫
∫

12．
解： 原式=

三、计算题（每小题8分，共64分）
13．
.解：原式=
=
=
=
14．
解：原式=
=
=
15．
解：原式=
=
=
=
16．
.解：原式=

17．
解： 原式

=
18．
解： 原式
=3∫

19．
解： 原式

20．
解：(1)
，
令,5A=3,,
令,得
(2) 原式=
=

四、证明题（本题8分）
21．已知有二阶连续导数,证明

证

五、综合题
22．
解： 原式

-∫+∫
移项:

23．已知的一个原函数为,
求
解：

原式

24．
解：
原式

(注:原式=

)
选做题1．计算
解： 原式=

选作题2．
解： 原式=∫
=

42