第1章 刚体静力学基础.doc

第1篇 静力学

引言

静力学是研究物体在力系作用下的平衡规律及其应用的科学。其理论和方法不仅是工程构件静力设计的基础，而且在解决许多工程技术问题中有着广泛应用。
力，是物体间相互的机械作用，这种作用将使物体的运动状态发生变化（称为力的运动效应，即外效应），或使物体发生变形（称为力的变形效应，即内效应）。力的内、外效应总是同时产生的。在静力学中，所指的物体都是刚体，这是一种理想化的力学模型，不考虑力的变形效应。
实践表明，力的效应唯一地决定于力的三要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用位置或作用点。因此，力是矢量，用表示，而仅仅表示力的大小。在国际单位制中，力的单位是或。
力系，是作用在物体上的力的集合。
对同一物体产生相同作用效应的力系称为等效力系。如果某力系与一个力等效，则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称为此合力的分力。作用于刚体并使刚体保持平衡的力系称为平衡力系，或称零力系。
静力学主要研究以下三个方面的问题：
1、物体的受力分析
分析物体受几个力作用，以及每个力的作用位置。
2、力系的等效替换（或简化）
将作用在物体上的一个力系用与它等效的另一个力系来替换，称为力系的等效替换。如果用一个简单力系等效替换一个复杂力系，则称为力系的简化。
3、力系的平衡条件
研究作用在刚体（系）上的力系使刚体（系）保持平衡时所需满足的条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。

第1章 刚体静力学基础
本章阐述静力学公理，并介绍工程中常见的约束和约束力分析，以及物体的受力分析。同时，介绍力学模型及力学建模的概念。
§1.1 静力学公理
在力的概念形成的同时，人们对力的基本性质的认识逐步深入。静力学公理就是对力的的基本性质的概括与总结，它们以大量的客观事实为依据，其正确性已为实践所证实。
公理1 二力平衡条件
作用在刚体上的两个力使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。
该公理阐述了静力学中最简单的二力平衡条件，这是刚体平衡最基本的规律，也是推证力系平衡条件的理论基础。需要指出的是，该公理只适用于刚体，对于变形体，它所给出的平衡条件是不充分的。
工程实际中常遇到只受两个力作用而保持平衡的构件，称为二力构件或二力杆。根据公理1，无论二力构件形状如何，其所受的两个力的作用线必定沿两个力作用点的连线，且大小相等，方向相反，如图1.1所示。

图1.1
公理2 力平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点在该点，合力的大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图1.2（a）所示。或者说，两个共点力的合力矢等于这两个力矢的矢量和，即
错误！未找到引用源。 （1.1）

图1.2
当然，也可简化为作一力三角形求两汇交力合力的大小和方向（即合力矢），如图1.2（b）、（c）所示。
该公理是复杂力系简化的基础。
公理3 加减平衡力系原理
在作用于刚体的已知力系中加上或减去任意的平衡力系后所得到的力系与原力系对刚体的作用效应是等效的。
需要指出的是，该公理也只适用于刚体，它是力系等效替换的理论依据。
根据上述公理可以导出下列推理：
推理1 力在刚体上的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线滑移到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
证明：在刚体上的点错误！未找到引用源。作用力，如图1.3（a）所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点，并加上两个相互平衡的力和，使，如图1.3（b）所示。由于力错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。也是一个平衡力系，故可减去，这样只剩下一个力错误！未找到引用源。，如图1.3（c）所示，即原来的力错误！未找到引用源。沿其作用线滑移到了刚体上点错误！未找到引用源。。

图1.3
由此可见，对于刚体而言，力的作用点并不重要，真正影响力对刚体作用效应的是力的作用线。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向和作用线。这种矢量称为滑动矢量。
需要指出的是，力的可传性只适用于刚体，因此，它仅适用于研究力的运动效应，而不适用于研究力的变形效应。
推理2 三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
利用力平行四边形法则和二力平衡条件，读者可自行证明该定理。
公理4 作用和反作用公理
作用力和反作用力总是同时存在，且大小相等、方向相反，沿同一直线分别作用在两个相互作用的物体上。若用错误！未找到引用源。表示作用力，错误！未找到引用源。表示反作用力，则

该公理概括了物体间相互作用时力之间的关系，无论物体静止还是运动，它都普遍适用。由作用和反作用公理可知，力总是成对出现的，有作用力必然有反作用力。但是，需要注意的是，作用力和反作用力不是作用在同一物体上，而是分别作用于两个相互作用的物体上。所以，尽管二者大小相等、方向相反、沿同一作用线，但却不能相互平衡。这与二力平衡条件是有本质区别的。
公理5 刚化公理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
该公理提供了把变形体视为刚体的条件。如图1.4（a），把处于平衡状态的绳索刚化成刚性杆，其平衡状态保持不变。反之却不一定成立，如图1.4（b）。可见，刚体平衡的充要条件，对于变形体的平衡而言只是必要的而非充分的。

（a）

（b）
图1.4

§1.2 约束和约束力
有些物体，例如：飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。位移不受限制的物体称为自由体。相反，有些物体在空间的位移却要受到一定的限制。如机车受铁轨的限制，只能沿轨道运动；电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动；重物由钢索吊住，不能下落等。位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。例如，铁轨对于机车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等，都是约束。
从力学角度分析，约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为约束力。因此，约束力的方向必然与该约束所能阻碍的物体的位移方向相反。应用这个准则，可以确定约束力的方向或作用线的位置，但不能确定约束力的大小。在静力学问题中，约束力和物体所受的其它已知力（称为主动力）组成平衡力系，因此可以通过力系的平衡条件求出未知的约束力。显然，当主动力改变时，约束力一般也随之发生改变，从这个角度看，约束力是被动的，这也是将约束力之外的力称为主动力的原因。
下面介绍几种工程中常见的约束类型和确定约束力方向的方法。
1、光滑接触面约束
两物体直接接触，接触处光滑无摩擦，这种约束称为光滑接触面约束。此种情形下，无论接触面是平面或曲面，都不能限制物体沿接触面切线方向的运动，而只限制物体沿着接触面的公法线指向约束物体方向的运动。因此，光滑接触面对物体的约束力通过接触点，方向沿着接触面公法线方向，并指向被约束物体，通常用表示。如图1.5中的，和图1.6中的，，错误！未找到引用源。等。

图1.5

图1.6
2、柔性约束
绳索、工业带、链条等都可以理想化为柔性约束，统称为柔索。
如图1.7所示，由于绳索本身只能承受拉力，所以它作用于物体的约束力也只可能是拉力。可见，绳索对物体的约束力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。通常用错误！未找到引用源。或表示这类约束力。同样，工业带、链条等也都只能承受拉力，当它们绕在轮子上时，对轮子的约束力沿轮缘的切线方向背离被约束的轮子，如图1.8所示。

图1.7

图1.8
3、光滑圆柱铰链约束
光滑圆柱铰链又称柱铰，或者简称铰链，是指两个构件钻有同样大小的圆孔，并用与圆孔直径基本尺寸相同的光滑圆柱销连接而构成的约束，如图1.9所示。圆柱销连接处称为铰接点。

图1.9
这类约束限制物体沿圆柱销的任意径向方向的移动，而不能限制物体绕圆柱销轴线的转动和沿平行圆柱销轴线方向的移动。在不考虑摩擦的情况下，圆柱销钉和圆孔是光滑接触，所以约束力应沿接触点的公法线且垂直于轴线。但是，由于工作过程中接触点的位置不能预先确定，因此约束力的方向也不能预先确定，如图1.10所示。可见，光滑圆柱铰链的约束力在垂直于圆柱销轴线的平面内，通过圆柱销中心，但其大小和方向均不确定。这种情况下，通常用两个正交分力，来表示，其中，的指向可任意假定。

图1.10
在用圆柱销连接的两个构件中，若两个构件都是活动的，则这种铰链约束称为活动铰。活动铰的简图及约束力表示如图1.11（a）和（b）。

（a） （b）
图1.11
在用圆柱销连接的两个构件中，若其中一个构件固定在地面或机架上，则这种铰链约束称为固定铰，如图1.13（a）。固定铰的简图及约束力表示如图1.12（b）和（c）。

图1.12
在用圆柱销连接的两个构件中，若其中一个与支座连接，而支座下面又安装一排轮子，这就构成了辊轴支座，也称为可动铰，如图1.13（a）。这种约束不能限制物体沿支撑面移动和绕圆柱销轴线的转动，而只能限制物体沿支撑面法线方向移动。所以，可动铰的约束力垂直于支撑面，通过圆孔中心，指向可任意假定。可动铰的简图及约束力表示如图1.13（b）和（c）。

图1.13
4、向心轴承
向心轴承是机器中常见的一种约束，如图1.14（a）所示。这种约束与铰链约束相同具有完全相同的特征，所不同的是轴承是约束，而轴本身是被约束物体。因此，无论约束力的方向如何，其作用线必定垂直于轴线并通过轴心。当主动力不确定时，约束力的方向不能预先确定。所以，通常用通过轴心的两个正交分力表示向心轴承的约束力，如图1.14（b）所示。
若向心轴承的一端固定，则此时轴沿轴向的位移受到了限制，这种约束称为止推轴承，如图1.14（c）所示。与向心轴承相比，止推轴承多了一个轴向的约束力，因此其约束力表示如图1.14（d）。

图1.14
5、球铰链
球形铰链简称球铰，被约束物体上的球头与约束物体上的球窝连接，如图1.15（a）所示。这种约束的特点是被约束物体可绕球心任意转动，但不能有沿任意方向的移动。因此，球铰的约束力为空间力，一般用三个正交分力，，表示，如图1.15（b）所示。与圆柱铰链约束类似，球铰也有固定球铰与活动球铰之分，如图1.15（c）、（d）。

（a） （b） （c） （d）
图1.15
以上仅介绍了几种工程中常见的简单约束，实际工程中约束的类型远不止这些，有的约束比较复杂，分析时需要加以简化或抽象。

§1.3 受力分析与受力图·力学模型和力学简图
1、受力分析与受力图
作用在物体上的力可分为两类：一类是主动力，例如：物体的重力、风力等，一般是已知的；另一类是约束对物体的约束力，为未知的被动力。
分析力学问题时，往往首先需要根据问题的性质、已知量和待求的未知量，选择某一物体（或几个物体组成的系统）作为研究对象，并假想地将所研究的物体从与之接触或连接的物体中分离出来，即解除其所受的约束而代之以相应的约束力。解除约束后的物体，称为分离体。分析作用在分离体上的全部主动力和约束力，画出分离体的受力简图，即受力图。这一过程即为受力分析。
受力分析是分析力学问题的重要基础。具体步骤如下：
（1）选定合适的研究对象，确定分离体；
（2）画出所有作用在分离体上的主动力（一般皆为已知力）；
（3）在分离体的所有约束处，根据约束的性质画出相应的约束力。
当选择若干个物体组成的系统作为研究对象时，作用于系统上的力可分为两类：系统外物体作用于系统内物体上的力，称为外力；系统内物体间的相互作用力称为内力。应该指出，内力和外力的区分不是绝对的，内力和外力只有相对于某一确定的研究对象才有意义。由于内力总是成对出现的，不会影响所选择的研究对象的平衡状态，因此，在受力图上不必画出。此外，当所选择的研究对象不止一个时，要正确应用作用与反作用公理，确定相互联系的研究对象在同一约束处的约束力。
例1.1如图1.16（a）所示，在平面刚架ABCD的E处作用水平力错误！未找到引用源。。不计刚架自重，试画出该刚架平衡时的受力图。

图1.16
解：（1）取研究对象。把刚架ABCD错误！未找到引用源。从周围的约束中分离出来，如图1.16（b）所示。
（2）分析主动力。在刚架E处作用有水平力错误！未找到引用源。。
（3）分析约束力。取分离体时在A处和D处解除了约束。D处为活动铰，其约束力应通过铰销中心D并与支承面垂直（假定铅直向上）。A处为固定铰，其约束力通过铰销中心A，由于大小和方向都不能预先独立地确定，所以用两个正交分力、表示。
本题也可以这样分析：由于不计刚架自重，而刚架受到三个彼此不平行的力、和作用而处于平衡。根据三力平衡汇交定理，这三个力的作用线应汇交于一点。由于力和错误！未找到引用源。的作用线汇交于点O，故力错误！未找到引用源。的作用线必沿通过A、O两点的连线，如图1.16（c）所示。图中力错误！未找到引用源。沿其作用线的指向可任意假定，其实际指向的确定将在后续学习中介绍。
例1.2 如图1.17（a）所示，三铰结构由直杆AB和曲杆CD在D处用光滑圆柱铰链连接。若在B端作用铅直向下的力错误！未找到引用源。，不计各构件的重量，试分别画出平衡时曲杆CD和直杆AB的受力图。

图1.17
解：（1）曲杆CD的受力图
以曲杆CD为研究对象，其上没有主动力作用，C、D两处铰链连接处的约束力可分别用两组正交分力、和、表示，如图1.17（b）所示。
（2）直杆AB的受力图
以直杆AB为研究对象，其B端作用主动力错误！未找到引用源。，A、D两处铰链连接处的约束力，可分别用两个正交分力表示，如图1.17（c）所示。其中，与、与互为作用力与反作用力，即错误！未找到引用源。，。
本题也可以这样分析：（1）由于不计构件自重，曲杆CD只在两端受铰销C、D的约束力作用而平衡，因此曲杆CD是二力构件，约束力错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。必沿C、D两点的连线，且，如图1.17（d）所示。（2）由于不计构件自重，直杆AB 只在A、D、B三处受力而平衡，因，力错误！未找到引用源。与力的作用线交于点O，所以，根据三力平衡汇交定理，可以判断力错误！未找到引用源。的作用线必沿A、O两点的连线（指向可任意假定），如图1.17（e）所示。
例1.3 如图1.18（a）所示，铰链支架由杆AB和CD、以及定滑轮、绳索等组成，在定滑轮上悬挂重为错误！未找到引用源。的物体H错误！未找到引用源。。若不计其余物体的重量，试分别画出平衡时定滑轮B、杆CD、杆AB和整体结构的受力图。

图1.18
解：（1）定滑轮B的受力图
以定滑轮B为研究对象，除受绳索拉力错误！未找到引用源。和外，还受铰对滑轮的约束力、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，如图1.18（b）所示。由于不计绳索重量，平衡时错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。。
（2）杆CD的受力图
以杆CD为研究对象，除受绳索的拉力错误！未找到引用源。外，在C、D两处还受铰链约束力作用，可分别用两组正交分力、和、表示（方向可任意假定），如图1.18（c）所示。其中，错误！未找到引用源。。
（3）杆AB受力图
以杆AB为研究对象，在A、B、D三处受约束力作用，分别用三组正交分力、错误！未找到引用源。，、错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，、错误！未找到引用源。表示，如图1.18（d）所示。其中，力、的指向可任意假定，力、与、，、与、互为两组作用力与反作用力，因此，其指向必须对应相反，即，，，。
（4）整体结构的受力图
以整体为研究对象，只需画出作用在整个系统上的外力，即主动力错误！未找到引用源。，以及支座A、C处的约束力、和、（注意与单个物体受力分析时对应处一致），如图1.18（e）所示。其余各处的约束力对于整个系统而言均为内力。
例1.4 由构件AO、AB和CD组成的结构及其受力如图1.19（a）所示。不计各杆自重，且所有连接处均为光滑接触。试画出整体结构以及各杆件的受力图。

图1.19
解：（1）整体结构的受力图
以整体为研究对象，D处作用有主动力错误！未找到引用源。，O、B两处为固定铰链约束，分别用两组正交分力、和、表示（方向可任意假定）。整体受力图如图1.19（b）所示。
（2）杆AO的受力图
以杆AO为研究对象，O处力分析与整体受力分析中O处受力相同，C、A两处为中间活动铰链，约束力分别用两组正交分力、和、表示（方向可任意假定）。杆AO受力图如图1.19（c）所示。
（3）杆CD受力图
以杆CD为研究对象，D处作用有主动力错误！未找到引用源。，C处受力与杆AO在C处的受力互为作用力与反作用力，即，，杆CD上所带销钉E处受到杆AB中滑槽光滑面约束力。杆CD受力图如图1.19（d）所示。
（4）杆AB受力图
以杆AB为研究对象，A、E处受力分别与杆AO在A处的受力、杆CD在E处的受力。互为作用力与反作用力，即，，，B处约束力与整体受力图中B处受力相同。杆AB受力图如图1.19（e）所示。
正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意如下几点：
（1）必须明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统为研究对象。不同研究对象的受力图是不同的。
（2）正确确定研究对象的数目。由于力是物体之间相互的机械作用，因此，对每一个力都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉一个力。一般可先画已知的主动力，再画约束力；凡是研究对象与外界接触的地方，一定存在约束力。
（3）正确画出约束力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束力的方向，而不能凭主观臆测。
（4）当分析两个物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用关系。作用力的方向一旦假定，则反作用力的方向应与之相反。
（5）在受力图上只画研究对象所受的外力。
2、力学模型和力学简图
对任何实际问题进行力学分析、计算时，都需要将实际问题抽象成为力学模型，然后对力学模型进行分析、计算。任何力学计算实际上都是针对力学模型进行的。将实际问题转化为力学模型是进行力学计算非常重要而关键的一环，它直接影响到计算过程的繁简和计算结果的可信度。一个好的力学模型，既能使问题求解简化，又能使结果基本符合实际情况，满足所要求的精度。
力学模型的建立，不仅需要对实际情况的充分了解及分析问题的能力，还与知识面和经验有关。例如，在研究普通工程构件（如杆、梁、轴等）时，可以先不考虑构件在载荷作用下的变形，研究作用于其上的力，达到一定的认识水平；进一步，考虑构件的变形，并假定变形是弹性（即卸载后变形能完全恢复）的，研究其在载荷作用下的弹性变形情况，达到另一认识水平；更进一步，引入材料的塑性（即卸载后变形不能完全恢复）性态，研究其在载荷作用下的弹—塑性行为，就会得到更深层次的启发。可见，力学模型的建立，和所研究的问题有关，关注点不同，抽象出的力学模型自然不同。
将实际问题化为力学模型的过程称为力学建模。由于静力学中将物体视为刚体，因此其力学模型可以用简图来表达，这类简图称为力学简图。本书略去了力学建模的过程，而直接求解力学模型，书中的插图主要是力学简图。

小结
1、静力学是研究物体在力系作用下的平衡条件的科学。
2、静力学公理
公理1 二力平衡条件。
公理2 力平行四边形法则。
公理3 加减平衡力系原理。
公理4 作用和反作用公理。
公理5 刚化公理。
3、 约束和约束力
限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。约束对非自由体施加的力称为约束力。约束力的方向与该约束所能阻碍的物体的位移方向相反。
4、物体的受力分析和受力图
画物体受力图时，首先要明确研究对象（取分离体）。物体所受的力分为主动力和约束力。注意分清内力与外力，受力图上一般只画研究对象所受的外力。注意作用力与反作用力之间的相互关系。

思考题

1.1 说明下列式子与文字的意义和区别：
（1）错误！未找到引用源。；（2）错误！未找到引用源。；（3）力错误！未找到引用源。等效于力错误！未找到引用源。。
1.2 试区别错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。两个等式代表的意义。
1.3 如图1.20所示，若作用于三脚架的杆AB中点处的铅垂力沿其作用线滑移到杆BC的中点，试问A、C处的约束力方向是否不变？

图1.20
1.4 图1.21—图1.25中各物体的受力图是否有错误？应如何改正？

图1.21 图1.22

图1.23 图1.24

图1.25
1.5 图1.26中力错误！未找到引用源。作用于三铰拱的铰链错误！未找到引用源。处的销钉上，所有物体重量不计。
（1）试分别画出左、右两拱及销钉错误！未找到引用源。的受力图；
（2）若销钉错误！未找到引用源。属于错误！未找到引用源。，分别画出左、右两拱的受力图；
（3）若销钉错误！未找到引用源。属于错误！未找到引用源。，分别画出左、右两拱的受力图。

图1.26
1.6 如图1.27所示，刚体上错误！未找到引用源。点处受力错误！未找到引用源。作用，试问能否通过在错误！未找到引用源。点处加一个力而使刚体平衡？为什么？

图1.27
1.7 如图1.28所示，若力错误！未找到引用源。作用在错误！未找到引用源。点，系统能否平衡？若力错误！未找到引用源。仍作用在错误！未找到引用源。点，但可任意改变力错误！未找到引用源。的方向，试问作用在什么方向时系统能平衡？

图1.28

习题
1.1 试画出下列各圆柱或圆盘的受力图。忽略圆柱或圆盘与其它物体接触处的摩擦。

题1.1图
1.2 画出下列各杆件的受力图。假定接触处均是光滑的。

题1.2图
1.3 画出下列各物体系统中每个物体的受力图。题图中未画重力的各物体自重不计，所有接触处均是光滑的。

题1.3图
1.4 画出下列每个标注字符的物体（不包含销钉与支座）的受力图与系统整体受力图。未画重力的物体自重均不计，所有接触处均是光滑的。

（a） (b)

（c） (d)

(e)
题1.4图