选修4-4坐标系与参数方程2016高考复习.doc

选修4-4：坐标系与参数方程
1. 极坐标系
①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。
极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。
②平面直角坐标与极坐标的区别：
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。
③极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。
④如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。

2.极坐标与直角坐标的互化：
（1）互化的前提：
①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式，
注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.
【例2】极坐标方程化为直角坐标方程为 ( )
A. B. x2 +（y+）2 = C. x2 +（y）2 = D. （x）2 + y2 =
【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.
(1)
(2）
3. 简单曲线的极坐标方程
1极坐标方程的定义：
在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。(由于都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)
①圆心在（，0）半径为的圆的极坐标方程为：

②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为 : (是定值，是任意的)
③（1）过极点，极角为的射线的极坐标方程：
（2）过极点，极角为的射线的极坐标方程：
直线极坐标议程可以用表示
极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为：
【例4】极坐标方程（）=0（0）表示的图形是（ ）
（A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
【例5】①过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程是___________
②过点且与极轴垂直的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
③过点且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
A. B. C. D.
④过点且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是
4.参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
①定义：一般地，在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即
且满足(1)对于[a，b]中的任何一个t1，则①得到的(x1，y1)点都在曲线C上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y0)的坐标x0，y0通过①在[a，b]上可求得一个t.
那么上述方程叫曲线C的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线C的直角坐标方程，简称普通方程。
②直线的参数方程
问题：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.
解：直线的普通方程为
把它变形成
进一步整理
令该比例的比值为，即
【问题】：已知一条直线过点，倾斜角为求这条直线的方程.
解：在直线上任取一点M(x,y),则

设是直线的单位方向向量，则

因为所以存在实数使即

于是
即
过点，倾斜角为的直线的参数方程为
③参数的几何意义
所以,直线参数方程中参数的绝对值等于直线上动点到定点的距离.
④利用直线参数方程中参数的几何意义,简化求直线上两点间的距离.
，只有时，才具有此几何意义。
⑤【结论】

【例6】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线与交于两点，求

【例7】（08新课标卷）已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．

【例8】（09新课标卷）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线
（t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【例9】（10新课标卷）已知直线C1（t为参数），C2（为参数）
（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

【例10】（11新课标卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

【例11】【2012省联考题】在平面直角坐标系 中，以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，直线的方程为直线与曲线C的公共点为。
（1） 求点的极坐标；
（2） 过点作直线，被曲线C截得的线段长为2，求直线的极坐标方程。

【例12】在直角坐标系中。直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,
求的面积

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