直线与圆、圆与圆复习讲义.doc

圆的方程
1．方程表示圆，则的取值范围是 （ ）

2．求满足下列各条件圆的方程：
（1）以，为直径的圆；（2）与轴均相切且过点的圆；
（3）求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程。
（4）过点P（2，－1），圆心在直线2x＋y=0上，与直线x－y－1=0相切.
3．已知曲线，其中；
（1）求证：曲线都是圆，并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线过定点；（3）若曲线与轴相切，求的值；
4．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与x轴切于原点，则有…………………………（ ）
(A)F=0，DE≠0 (B)E2＋F2=0，D≠0
(C)D2＋F2=0，E≠0 (D)D2＋E2=0，F≠0
5、方程|x|－1=表示的曲线是…………………………………………（ ）
(A)一条直线 (B)两条射线 (C)两个圆 (D)两个半圆
6．已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内
部所覆盖．
(Ⅰ)试求圆的方程.
(Ⅱ)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, ……………………………………………………3分
所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,………………5分
所以圆的方程是. …………………………………………7分
(2)设直线的方程是:. ……………………………………………………8分
因为,所以圆心到直线的距离是, ……………………………10分
即 ……………………………………………………12分
解得:. ……………………………………………………13分
所以直线的方程是:. ………………………………………………15分

直线与圆相交
1．直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是 （ ）

2．若曲线与直线有两个交点时，则实数的取值范围是____ __。
3．已知直线和圆；
（1）时，证明与总相交。
（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。
4．已知x2+y2+8x－6y+21=0和直线y=mx相交于P,Q两点，求·的值
5．圆x2+y2-2axcos-2bysin-a2sin2=0在x轴上截得的弦长为 ( )
A. 2a B. 2 C. D. 4
y

A
x
B

P

6．由点P(0,1)引圆x2+y2=4的割线l，交圆于A,B两点，使ΔAOB的面积为（O为原点），求直线l的方程。

7.已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.
*7.已知圆C满足以下三个条件,求圆C的方程（1997年高考题）
⑴截y轴所得的弦长为2；⑵被x轴分成的两段弧长之比为1：3；
⑶圆心到直线l：x－2y=0的距离最小.
8、若直线l：x＋2y－3=0与圆x2＋y2－2mx＋m=0相交于P、Q两点并且OP⊥OQ，求实数m之值.
O
P
Q

直线与圆相切
1．　过⊙:x2+y2=2外一点P(4,2)向圆引切线，（1）求过点P的圆的切线方程；
(2）若切点为P1,P2，求过切点P1,P2的直线方程。

x
y
P(4,2)

P2
P1

O

2．已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为的三角形( )
A. 是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在

3． “a=b”是“直线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．过点作圆的两条切线，切点分别为；求：
（1）经过圆心，切点这三点圆的方程；（2）直线的方程；（3）线段的长。

*5、如果经过A（0，1）、B（4，m）并且与x轴相切的圆有且只有一个，求实数m的值.
6.已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
7.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 ．
8.已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．
（1）若，，求直线的方程；
（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值．

解：（1）设

解得或（舍去）.
由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.
所以直线PA的方程为，即
直线PA与圆M相切，，解得或
直线PA的方程是或
（2）设
与圆M相切于点A，
经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点.
的坐标是
设
当，即时，
当，即时，
当，即时

则.

几何性质的应用
1．圆关于直线对称的圆的方程是 （ ）

2．设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且与直线相交的弦长为，求圆的方程。
3．设M是圆上的点，则M点到直线的最短距离是 。
4．圆上到直线的距离为的点共有 个。
变：求圆半径的范围。
5、实数x、y满足：x2＋y2－4x＋1=0，求⑴的最小值.⑵的值域.
圆与圆的位置关系
1．已知圆与相交于两点，（1）求公共弦所在的直线方程；
（2）求圆心在直线上，且经过两点的圆的方程；
（3）求经过两点且面积最小的圆的方程。
2、圆相交于A、B两点，则直线AB的方程是 .
3．如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线均相切，切点分别为
、，另一圆与圆、轴及直线均相切，切点分别为、．
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半
径，则M在∠BOA的平分线上，
同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA
的平分线，
∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，
则⊙M的方程为，------------------------------------4分
设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，
即，
则OC=，则⊙N的方程为；----------------8分
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦
的长度，此弦的方程是，即：，
圆心N到该直线的距离d=，--------------------- -------------------------11分
则弦长=．----------------------------------------------------14分
另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，
圆心N到该直线的距离=，则弦长=．
（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

有关圆的轨迹问题
1．若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是 。
2、点A(0,2)是圆x2+y2=16内的定点，点B,C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA,求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。
3、一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程.
4、已知圆和定点A(2,0)，B为圆上一动点，△ABC是正三角形(A、B、C为顺时针顺序)，求顶点C的轨迹；点B在上半圆上运动到什么位置时，四边形OACB面积最大？
H
C
O
A
Q
P
x
y
5、PQ是过点A（3，0）所作的圆C：x2＋y2＋6x=0的弦，设CH⊥PQ于H.求点H的轨迹方程