随机信号答案.doc

1.1已知高斯随机变量X的概率密度，求它的数学期望和方差。
解：根据数学期望与方差定义：
令，，代入上式并整理

与前面以一样同样变换，即令，整理后
查数学手册的积分表，可得：
令及，利用上式的积分结果，可得
可见高斯变量的概率密度分布由它的数学期望和方差唯一决定。
1.2随即变量，其中为随机变量，、为常数且>0，求与的相关系数
解：根据数学期望的定义，若，则
先求协方差，再求相关系数

将，代入，并由概率密度性质，消去，得到

同理，将，代入，并由概率密度性质，消去则有

有前两式联立，解得，
可见，当与呈线性关系，且＞0时，二者的相关系数
即与是完全相关的。
1.5 随机变量和满足线性关系，为高斯变量，、为常数，求的概率密度。
解：设的数学期望和方差分别为和，的概率密度为
因为和是严格单调函数关系，其反函数
且
即可得到得概率密度
1.7已知二维随机变量的联合概率密度，求，之和的概率密度。
解：设；
先求随机变量，的反函数及雅克比行列式，即；

二维随机变量的联合概率密度为

利用概率密度性质，的边缘概率密度为
最后，用和代替和，得
这就是两个随机变量之和的概率密度。
1.9随机变量，为相互独立的高斯变量，数学期望为零，方差为1。求的概率密度。
解：已知数学期望为零、方差为1的高斯变量概率密度为

先根据定义求，的特征函数

由特征函数的性质，
则可求得的概率密度：

1.11求两个数学期望和方差不同且相互独立的高斯变量，之和的概率密度。
解：设，可得两个相互独立的随机变量之和的概率密度为

将，的概率密度代入上式

利用欧拉积分

显然，也是高斯变量，且数学期望和方差分别为
；
习题：1.10 已知二维随机变量（X1,X2）的概率密度为，随机变量（X1,X2）与（Y1,Y2）随机变量的关系有下式唯一确定，证明

证：因为，
所以
又和，和可得
，，，
所以

习题1.17 已知高斯随机变量X的数学期望为0，方差为1，求的概率密度
已知X~N(0,1)，所以
由得到

2.1若随机过程为，<<，式中A为在(0,1)上分布的随机变量，求E[X(t)]及RX(t1,t2)
式中为在上均匀分布的随机变量，求及
解：由于与之间有确定的时间函数关系，故二者的概率分布函数相等，即

考虑到

故有

2.2设复随机过程为，式中，An(n=1,2,..N)是相互独立的实正态随机变量，其均值为0，方差为；求复随机过程Z(t)的均值、自相关函数和协方差函数。
解：由欧拉公式可知
因为的实部和虚部均为正态随机变量的线性组合，故有它们也都是正态的。所以，由定义式可分别求得均值、自相关函数和自协方差函数为

2.4设随机信号，均值5，方差1，设随机信号，求Y(t)的均值、自相关函数、自协方差函数。
解：E(V)=5,D(V)=1,于是
相应的，可求出的均值、自相关函数分别为：

另外，有随机过程积分的数学期望和相关函数运算法则，可求得的均值，自相关函数分别为：

可得的协方差为

2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A,B构成的随机过程
是宽平稳而不一定是严平稳的。式中，w0为常数，A,B的数学期望为零，方差相同。
证：由题意知：,,
首先，证明是宽平稳的。

令，则有,<0
故是宽平稳的。
其次，证明非严平稳。

可见，的三介矩与t有关，所以非严平稳。
58页 联合宽平稳随机过程 性质1
证明：根据互相关函数定义，有
证毕。同理可得
2.10两个平稳随机过程和，试问是否平稳相依，是否正交、不相关、统计独立
解：因为平稳随机过程和的互相关函数为

故这两个过程是平稳相依的。
由于，仅在时为0，这时和的取值才是正交的。而对于其他值，和是互不正交的。
又因为和的均值分别为

故得到协方差函数

由于仅在等于0，此时，随机过程、的状态才是不相关的；而在时，，故从整体来看，随机过程和是相关的，因而它们是统计不独立的。
2.11 。A、B是相互独立的正太随机变量，且有、，求X(t)的一、二维概率密度t)
解：由于是一正态过程，为了求其概率密度，只要求出其均值和方差即可

因为随机变量A与B统计独立，所以有

这时，
这样，便可求得的均值、方差为
<，
由上面分析可知，正态过程是平稳的，它的一维概率密度与t无关，即

为了确定平稳正态过程的二维概率密度，只需求出随机变量与的相关系数，这里令，容易求得

则二维概率密度为

2.12 通过一十字路口的车流是一泊松过程。设1分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车的概率
解：以表示在区间[0,t]内通过的车辆数，设是泊松过程，则

故，则

2.13设有三个状态{1,2,3}的马氏链，其P={1/2 1/4 1/4;1/3 1/3 1/3;1/4 1/2 1/4}，试问何时此链具有遍历性？
解：(1)显然，m=1时，有P(1)=P，因P中所有元素均大于0，所以m=1时，该链具有遍历性，即
（2）求在时可列出方程组，
，，
有题设条件解上述方程组，得到，，
习题2.14 设X(t)雷达发射信号，与目标后返回接收机的微弱信号是aX(t-г1)，a远小于1，噪声为N(t)，全信号为Y(t)= aX(t-г1)+ N(t),(1)若X(t) 、N(t)各自联合平稳，求互相关函数RXY(t1,t2),(2)在(1)条件下，假如N(t)均值为0，且与N(t)相互独立，求RXY(t1,t2)
（1）
因为、是各自平稳且联合平稳
所以，
所以
令，
（2），且

习题2.17 设复随机过程，Ai~N(0, ),求{Z(t)，t=0}的均值函数和相关函数
解：
令，
则,
(1)
(2)
令m=k,则
习题2.22 设马尔科夫链的一步转移概率P={1/2 1/3 1/6;1/3 1/3 1/3;1/3 1/2 1/6}，试问（1）几个状态？是遍历？求二步转移矩阵。（2）求Pj
解：（1）共有3个状态，因为（对一切i,j）,所以是遍历的
={5/12 13/36 2/9;7/18 7/18 2/9;7/18 13/36 1/4}
（2） 得到，，
3.1 已知正弦随相过程，求X(t)的功率谱密度及其平均功率
解：含有周期分量，引入函数可得

表示X(t)的功率谱密度在处的函数，功率集中在处
随机过程的平均功率为该过程的均方值，即

90页随机过程功率谱密度性质2 是w的实函数，满足
证明：
性质3 是偶函数，满足
证明：对于实随机过程X(t)的截断函数的频谱有
推到
代入式中
则有
96页互功率谱密度性质5 若X(t)、Y(t)不相关，且分别具有常数均值，则
，
证：（1）因为X(t)、Y(t)不相关，所以，又
，所以
（2）
，因为X(t)、Y(t)不相关，
，所以
同理可证，所以
习题：3.18 已知平稳随机过程，证明
证：
因为皆为平稳且相互正交
所以，

3.20 随机过程W(t)=AX(t)+BY(t), X(t)和Y(t)是宽联合平稳过程 (1)W(t)功率谱密度(2) X(t)和Y(t)不相关，W(t)功率谱密度（3）求互功率谱密度
（1）

（2）若X(t)、Y(t)不相关，则

所以
（3）
同理可得 ,
所以,
习题 3.22 设随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，求证以及

证：因为X(t)和Y(t)联合平稳，所以,
且
所以，
所以，，
解析过程性质3
证：
令，则
同理可证其他
性质4
证：
令，则
窄带随机过程的性质性质5
证
因为，，
所以
同理可证明
因此
性质7
证：
因为，，，
所以
同理，可以证明
对比两式，得，其他同理可得。
习题4.1 设X(t)为实函数，证明（1）X(t)为t的奇函数，希尔伯特为偶函数（2）X(t)为t的偶函数，希尔伯特为奇函数
证：（1）因为X(t)为t的奇函数，所以x(-t)=-x(t)

令，则
（2）
令，则
习题4.4对于窄带随机过程 ，若已知，求证
证
因为，，
所以
因为，
所以
同理可证：
所以
习题4.7 对于0均值，方差 的窄带平稳高斯过程
求证，数学期望与方差
证：（1）
令，则
（2）
令，则
所以