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漫谈中考数学中的数学思想之四
——中考数学中的整体思想
史承灼
当我们以常规方法从局部入手去解决问题而思路晦涩或计算繁难，以至于难以达到问题解决的目的时，应变换思维方式，调整思维视角，把要解决的问题的全部或者某一部分视为一个整体，着眼于全局，对问题的整体形式、整体结构等等，从整体上加以分析研究，从而简化解题步骤，优化解题过程。人们通常把这种思想方法称之为整体思想方法。
1、整体变形
例1（云南省）把分解因式结果为 。
解析：本题应使用分组分解法，前两项这一组用平方差公式分解后，含有因式，此时应视此因式为一个整体，再提取这个整体公因式，即：
。
2、整体消元
例2（重庆市）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根α、β，满足，求m的值。
解析：本题是关于一元二次方程根的对称式问题，应根据一元二次方程的根与系数关系，从整体上把握，并同时消去。∵，∴。又，∴，解得：。又，∴。∴。
3、整体求值
例3（辽宁省）已知：。求代数式的值。
解析：如果把的值直接代入计算，固然可以，但计算量较大，从已知和所求代数式的特点看，应整体考虑和的值。由于，所以。
4、整体求取值范围
例4（内蒙古呼和浩特市）如果为互不相等的实数，且满足关系与，那么的取值范围是 。
解析：由已知，应考虑用完全平方公式从整体上构造不等式。一方面
，∴；另一方面
，∴。所以的取值范围是。
5、整体换元
例5（广州市）解方程。
解析：本题无论是换元还是不换元，都应把视为一个整体，我们给出如下的两种解法。
解法一：设，则有，去分母，得：，解得：。当时，，解得：；当时，，解得：或。经检验，原方程得根是。
解法二：直接去分母，得：，∴，∴，∴。经检验，原方程得根是。
D′
B
C′
B′
D
C
A
6、整体求图形的面积
例6（山东省济南市）当汽车在雨中行驶时，为了看清楚路面，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD＝80cm，∠DBA＝20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm。他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积
为 cm2（π取3.14）。
解析：这是一道运用整体思想进行割补求解的题目。雨刷扫过的面积
S＝S扇形ACC′＋S△AC′D′－S扇形ADD′－S△ACD＝ S扇形ACC′ －S扇形ADD′ =
。可见本题的解答选用了条件：AB绕点A转动90°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm。而条件：CD＝80cm，∠DBA＝20°则属多余。
7、整体寻找规律
例7（河北省鹿泉市）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
⑴在图④和图⑤下面的横线上分别写出相应的等式；

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……

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①；②；③；④ ； ⑤ ；……
⑵通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式。
O1
O2
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解析：观察点阵图可以发现：每个点阵图从整体上看，正好组成了一个正方形，每条边上的点的个数恰好等于这个点阵图的序号数，所以每个点阵图中点的总数为点阵图序号的平方个；另一方面，每个点阵图中点的个数又等于从1开始的连续奇数的和，且连续奇数的个数与点阵图的序号相同。因此与图④相对应的等式为：；与图⑤相对应的等式为：；与第n个点阵图相对应的等式为：。
8、整体把握图形变换
例8（新疆生产建设兵团）如图，在同一平面上有两个大小相同的圆，其中⊙O1固定不动，⊙O2在其外围相切滚动一周，则⊙O2自转（ ）周。
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：这类圆的滚动问题有一个一般的解法：无论圆在直线上滚动，还是在曲线上滚动，滚动圆自转的圈数等于圆心移动的路程除以滚动圆的周长。设两圆的半径为R，则点O2移动的路程为，⊙O2的周长为。所以⊙O2自转了（周）。故应选B。值得注意的是，在诸多的图形变换如平移、折叠、旋转等中，大多都要用到整体这一思想方法。
整体思想方法的应用，不仅只有以上几个方面，但是仅由以上几例，我们已经可以看到，在数学解题时，恰当地运用整体思想方法，可以优化解题思路，简化解题环节，少走解题弯路，提高解题速度，增强数学能力，培养创新意识。