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Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ）

§ 1 一致收敛性（ 6 时 ）

一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：
收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.

逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义.

例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义
验证其收敛域为, 且

例2 . 用“”定义验证在内.

例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .

⑴ . .
⑵ . .

⑶ 设为区间上的全体有理数所成数列. 令

, .

⑷ . , .
⑸
有, , . （ 注意.）
二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
.
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一
种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限
函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极

限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓

“整体收敛”的结果.

定义 ( 一致收敛 )

一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列在数集D上一致收敛, , .
( 介绍另一种形式.)
证 ( 利用式 )
易见逐点收敛. 设,……,有 .
令, 对D成立, 即,
，D.
系1 在D上, ， .
系2 设在数集D上 , . 若存在数列D , 使
, 则函数列在数集D上非一致收敛 .
应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数
― 在数集D上的最值点.

验证函数一致收敛性:
例4 . 证明函数列在R内一致收敛.
例5 . 证明在R内 , 但不一致收敛.
证 显然有, 在点处取得极大值
,. 由系2 , 不一致收敛.
例6 . 证明在内, .
证 易见 而
在内成立.
由系1 , ……
例7 对定义在区间上的函数列

证明: , 但在上不一致收敛. [1]P38—39 E3, 参图.
证 时, 只要, 就有. 因此, 在上有
. , .于是, 在上有
. 但由于, ,
因此 , 该函数列在上不一致收敛.
例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性:
⑴ ; ⑵ .

Ex [1]P44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P53—54 1⑴，2，3⑴.

三. 函数项级数及其一致收敛性:
1． 函数项级数及其和函数：，, 前项部分和函数列，收敛

点，收敛域, 和函数, 余项.

例9 定义在内的函数项级数( 称为几何级数 )

的部分和函数列为 , 收敛域为.

2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.

Th2 ( Cauchy准则 ) 级数在区间D上一致收敛, ,
对D成立.
系 级数在区间D上一致收敛, , .
Th3 级数在区间D上一致收敛,
.
例10 证明级数在R内一致收敛 .
证 令=, 则时

对R成立. ……
例11 几何级数 在区间上一致收敛；但在内
非一致收敛.

证 在区间上 , 有
, . 一致收敛 ;
而在区间内 , 取, 有
, .
非一致收敛.
( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零, 非一致收敛.)
几何级数虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 .
Ex [1]P44—45 1 ⑹⑺， 4，6.

四. 函数项级数一致收敛判别法:
1. M - 判别法:
Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当充分大时, 对D有|, 则在D上一致收敛 .
证 然后用Cauchy准则.
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 级数在区间D上非一致收敛. 参阅[1]P45 8.

注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.

例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 .
例13 设是区间上的单调函数. 试证明 : 若级数
与都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致收敛 .
简证 , 留为作业. .……

2. Abel判别法:
Th 5 设 ⅰ> 级数在区间上收敛; ⅱ> 对每个 , 数列
单调 ; ⅲ> 函数列在上一致有界, 即, 使对和, 有
. 则级数在区间上一致收敛 . ( [1]P43 )
2. Dirichlet判别法:
Th 6 设ⅰ> 级数的部分和函数列在区间上一致有界;
ⅱ> 对于每一个, 数列单调; ⅲ> 在区间上函数列一致收敛于零. 则级数在区间上一致收敛 .
例14 判断函数项级数在区间上的一致收敛性.
解 记. 则有ⅰ> 级数收敛;
ⅱ> 对每个, ↗；ⅲ> 对
和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛.
例15 设数列单调收敛于零 . 试证明 : 级数 在区间
上一致收敛.
证 由本教案Ch12§3例4 ，在上有
.
可见级数的部分和函数列在区间上一致有界 . 取
, . 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界, 而函数列对每一个单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.
其实 , 在数列单调收敛于零的条件下, 级数 在不包含的任何区间上都一致收敛.
Ex [1]P45—46 3，5，7，8，9*⑹⑺.

习 题 课 ( 2 时 )
例1 设,, . 且,.
若对每个自然数 有|―| 对成立, 则函数列{}在上一致收敛于函数.
例2 证明函数列在区间上非一致收敛.
例3 , . 讨论函数列{}的一致收敛性.
解 0, . |― 0| . 可求得
.
函数列{}在区间上非一致收敛.
例4 设函数在区间上连续 . 定义 . 试证明
函数列{}在区间上一致收敛于零.
证法一 由有界 . 设在区间上|| .
||;
||;
………………………
||.
注意到对, .
0, , .
证法二

.
有界. 设在区间上||. 把函数在点

展开成具Lagrange型余项的阶Taylor公式 , 注意到

,
就有 ,
, , .
所以 , 0, , .
例5 设. 且, . 令

, ,

. …….
试证明: 若对 和 , 有 , 则函数列
{}在区间上一致收敛 .
证 对取 , 使时, 有. 于是对任何自然数和
, 有
.
由Cauchy收敛准则 , 函数列{}在区间上一致收敛 .
例6 设在数集上函数列{}一致收敛于函数. 若每个在
数集上有界 , 则函数列{}在数集上一致有界 .
证 ( 先证函数在数集上有界 ) 设在上有||.
对,由函数列{}在数集上一致收敛,,当时 , 对,有
|| |,
||< . 即函数在数集上有界.
( 次证函数列{}在数集上一致有界 ) 时, 对,有
||―|| |―|< , || .
取 易见对和有||. 即
函数列{}在数集上一致有界 .
例7 设{}为定义在区间上的函数列, 且对每个, 函数在点右连续 , 但数列{} 发散. 试证明: 对), 函数列{}在区间内都不一致收敛.
证 反设, 使{}在区间内一致收敛. 则对, 有
对成立.
.{}为Cauchy列,
即{}收敛. 与已知条件矛盾.

§ 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）
一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:
1. 连续性:
Th 1 设在上,且对,函数在上连续 , 在上连续.
证 ( 要证 : 对, 在点连续 . 即证: 对, , 当
|时, . )
.
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数在点连续, 第二项也可以任意小 . ……
系 设在上. 若在上间断 ，则函数列{}在上
一致收敛和所有在上连续不能同时成立.
註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{}, 有
.
即极限次序可换 .
2. 可积性:
Th 2 若在区间上函数列{}一致收敛 , 且每个在上连续. 则有 .
证 设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此
可积. 我们要证 . 注意到
, 可见只要在上成立.
Th2的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P350.
关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是:
Th 设{}是定义在区间上的函数列. 若{}在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有 .
参阅: 马振民 , ( R)可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然
科学版）1988.№4.
3. 可微性:
Th 3 设函数列{}定义在区间上, 在某个点收敛. 对, 在上连续可导, 且由导函数构成的函数列{}在上一致收敛, 则函数列{}在区间上收敛, 且有
.
证 设，. , .
对, 注意到函数连续和 +, 就有
+ （ 对第二项交换极限与积分次序）
+ +.
估计 |+ ― ―
|―| + |, 可证得.
.
即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换.
例1 [1]P49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )
例2 [1]P50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )
Ex [1] P52 1，2.
二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质:
把上述Th1—3表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果.
参阅[1]P51 Th13.11—13.13.
例3 [1]P51 E3
例4 证明函数在区间内连续.
证 ( 先证在区间内闭一致收敛.)对，有
，；又，在一致收敛.
( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续, 在区间上连续, 在点连续. 由点的任意性, 在区间内连续.
例5 , . 计算积分 .
Ex [1]P52—53 3—8，9⑴，10 .

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