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用向量法证明九点圆和内切圆、旁切圆均相切

最近看到一些对九点圆和内切圆、旁切圆均相切（即费尔巴哈定理）的证明，发现如果采用综合方法，会把图形搞得很复杂。为此我想自己尝试用向量法证明一下。用向量法根本都不需要画图，虽然存在一定的计算量，但如果细心一点，也不是很复杂。

证明：设△ABC的外心为O，垂心为H，内心为I，九点圆圆心为V。
又设AB=c，BC=a，CA=b，2p=a+b+c，外接圆半径为R，内切圆半径为r，△ABC的面积为S。设九点圆和内切圆的圆心距为d，根据九点圆的性质，其半径为R/2。因此只需证明2d=R-2r。（以下凡黑体部分都是向量）
(a+b+c)OI=aOA+bOB+cOC，2OV=OH=OA+OB+OC⇒
IV=OV-OI=(OA+OB+OC)/2-(aOA+bOB+cOC)/(a+b+c)⇒
2(a+b+c)IV=(b+c-a)OA+(a+c-b)OB+(a+b-c)OC⇒
2pIV=(p-a)OA+(p-b)OB+(p-c)OC————①
而2OA·OB=2|OA|*|OB|*cos∠AOB=2R2cos2C=2R2(1-2sin2C)=2R2-c2。
同理2OB·OC=2R2-a2，2OC·OA=2R2-b2。
将①式两边平方得：
4p2IV2=(p-a)2OA2+(p-b)2OB2+(p-c)2OC2+2(p-a)(p-b)OA·OB+2(p-b)(p-c)OB·OC+2(p-c)(p-a)OC·OA⇒
4p2d2=[(p-a)2+(p-b)2+(p-c)2]R2+(p-a)(p-b)(2R2-c2)+(p-b)(p-c)(2R2-a2)+(p-c)(p-a)(2R2-b2)
=p2R2-[c2(p-a)(p-b)+a2(p-b)(p-c)+b2(p-c)(p-a)]————②
另一方面：
p2(R-2r)2=p2R2-abcp+4p(p-a)(p-b)(p-c)————③
（上式利用了S=rp=abc/4R=[p(p-a)(p-b)(p-c)]1/2）
要证明2d=R-2r，就只需证明②和③的右端相等，即：
abcp=4p(p-a)(p-b)(p-c)+a2(p-b)(p-c)+b2(p-c)(p-a)+c2(p-a)(p-b)⇔
abcp=(p-b)(p-c)(b2+2bc+c2)+b2(p-c)(p-a)+c2(p-a)(p-b)⇔
abcp=b2c(p-c)+c2b(p-b)+2bc(p-b)(p-c)⇔
ap=b(p-c)+c(p-b)+2(p-b)(p-c)⇔
ap=p(b+c)+2p2-2p(b+c)⇔
a=2p-(b+c)，而这是显然成立的。

再证明九点圆和旁切圆相切。
设和∠A相对的旁切圆的圆心为J，半径为t，九点圆和旁切圆的圆心距为d。为此只需证明2d=R+2t。根据旁切圆的性质（旁切圆J和内切圆I对BC边的切点关于BC的中点是对称的）容易得到S=t(p-a)。
aJA=bJB+cJC⇒(b+c-a)OJ=bOB+cOC-aOA⇒
VJ=OJ-OV=(bOB+cOC-aOA)/(b+c-a)-(OA+OB+OC)/2⇒
2(b+c-a)VJ=(a+b-c)OB+(a+c-b)OC-(a+b+c)OA
2(p-a)VJ=(p-c)OB+(p-b)OC-pOA————④
将④式两边平方得：
4(p-a)2VJ2=p2OA2+(p-c)2OB2+(p-b)2OC2+2(p-b)(p-c)OB·OC-2p(p-c)OA·OB-2p(p-b)OC·OA⇒
4(p-a)2d2=R2[p2+(p-c)2+(p-b)2]+(p-b)(p-c)(2R2-a2)-p(p-c)(2R2-c2)-p(p-b)(2R2-b2)⇒
4(p-a)2d2=(p–a)2R2-a2(p-b)(p-c)+b2p(p-b)+c2p(p-c)————⑤
另一方面：
(p-a)2(R+2t)2=(p-a)2R2+4(p-a)2Rt+4(p-a)2t2
=(p-a)2R2+abc(p-a)+4p(p-a)(p-b)(p-c)————⑥
要证明2d=R+2t，就只需证明⑤和⑥的右端相等，即：
abc(p-a)+a2(p-b)(p-c)+4p(p-a)(p-b)(p-c)-b2p(p-b)-c2p(p-c)=0⇔
abc(p-a)+(p-b)(p-c)(b2+2bc+c2)-b2p(p-b)-c2p(p-c)=0⇔
abc(p-a)-b2c(p-b)-c2b(p-c)+2bc(p-b)(p-c)=0⇔
a(p-a)-b(p-b)-c(p-c)+2(p-b)(p-c)=0⇔
a(p-a)+(p-b)(p-c-b)+(p-c)(p-b-c)=0⇔
a(p-a)-(p-b)(p-a)-(p-c)(p-a)=0⇔
a-(p-b)-(p-c) =0，而这是显然成立的。
刘俊华2015-4-6