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利用数学模型探求“线段最值”

教学中发现学生在解决“线段最值”问题时，困难主要有两个方面：一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分，掌握不到位；二是这类问题一般是以动态形式呈现的，学生难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手．本文主要谈谈如何利用数学模型求线段最值的问题．
笔者归纳出最常用的三种数学模型：从“形”的角度构造“两点之间线段最短”和“垂线段最短”这两种几何模型；从“数”的角度建立函数模型来进行分析．现举例加以分析．
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
【基本模型】如图1，两定点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP＋BP值最小．

作点A关于直线l的对称点A'，易知AP＝A'P，根据“两点之间线段最短”这一原理可知当点P运动到点E(点A'、E、B共线)所在位置时，AP＋BP＝A'B，值最小．
这是初中几何教学中一个及其重要的基本模型．在教学中不仅要使学生知道如何解决问题，而且要使学生体会到解决问题所用的数学思想是转化思想和模型思想，所用的数学方法是对称的方法，模型思想与其他数学思想的综合应用是解决问题的关键．
【问题载体】
多为轴对称载体，几乎涉及初中数学中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、圆、抛物线、双曲线、坐标轴等）．
【常用方法】
利用翻折变换，构建定点关于动点所在直线的对称点，在不改变线段长度的前提下改变其位置，化同侧为异侧，化折为直，找出相应位置，并求出最小值．
例1 （2014年资阳中考题）如图2，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值是多少？

分析 由题意可知BE＝1为定值，要使BEQ周长的最小值，只要使QE＋QB最小即可．作点B关于AC所在直线的对称点，即点D，连结DE，交AC于点Q．利用勾股定理求得DE＝5，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，这时QE＋QB的值最小(即QE＋QB＝DE＝5)，所以，△BEQ周长的最小值为6．
纵观近几年中考试题的变化，为了命题的新颖性和难度的需要，有的问题需要通过平移变换、旋转变换或两种变换相结合来转化处理问题．但万变不离其宗，关键是抓住“两点之间线段最短”这一基本模型，合理运用图形变换转化有关线段来解决问题．
例2（2012年济南中考题）如图3，已知∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON边上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，AD＝1，求运动过程中点D到点O的最大距离．

分析 经分析发现点D的运动轨迹不是常见图形，而且很难用其他量来表示线段DO长，但任何运动问题中或多或少存在着“数”的关系或“形”的不变性，既然在“数”的关系上难以突破，不妨在“形”上深入观察．从运动的相对性来看：在运动过程中AB边的中点E相对于点O和点D是不动点（即线段OE、OD长度保持不变），而这三点正好构成一个三角形，根据“两点之间线段最短”可知当OD经过点E时OD取最大值为OE＋ED，易求OE＝1，DE＝，故运动过程中点D到点O的最大距离为＋1．
类型二、运用“垂线段最短”模型
例3（2013年咸宁中考题）如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，⊙C的半径为1，点P是线段AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，求切线PQ长的最小值．
分析 如图4，由PQ是⊙C的切线很自然想到连结CQ，则CQ⊥PQ，于是点P、Q、C构成了一个直角三角形，由于CQ＝1为定值，由勾股定理可知PQ＝，从这一关系式中不难看出PQ随PC的减小而减小，所以当PC取最小值时PC最小．由“垂线段最短”原理易知当CP⊥AB是CP长最小，此时PC＝3，代入上述关系式中求得PQ的最小值为2．
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
例4 如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝60°，AB＝DC＝2，AD＝1，R、P分别是BC、CD上的动点（点R与B不重合，点P与C不重合），点E、F分别是AP、RP的中点，求线段EF的取值范围．

分析 如图5，由点E、F分别是线段AP、RP的中点，不难想到连结AR构造三角形中位线的基本图形，发现线段EF的长为线段AR的一半，所以题中两个动点P、R其实对EF长有影响的只是动点R，这样就把求线段EF长的取值问题转化成线段AR的长的取值问题来研究．再由条件∠ABC＝60°，AB＝2想到作梯形的高线，构造Rt△ABG和Rt△AGR，则线段AG、BG为定值．在Rt△AGR中，通过勾股定理可以用线段GR来表示线段AR的长，从而可以建立线段AR长关于变量线段GR长的函数关系式．
简解 连结AR，过点A作AG⊥BC于点G，设BR＝x，EF＝y
易求BG＝1，AG＝，则GR＝x－1．
在Rt△ARG中，
∵AR2＝AG2＋GR2．
化简得y＝
由题意，可知0<x≤3，
所以当x＝1，即点R与点G重合时，y取最小值；
当x＝3，即点R与点G重合时，y取最大值．
所以≤EF≤．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为十个核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现，并且明确被冠以“学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联，所以，在解题中要高度重视模型思想的教学，要突出建模过程，让学生深刻体会模型思想，让学生经历数学模型的“形成——建立——求解”的全过程，在过程中体会和掌握和数学中常用的、重要的基本模型．

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