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中考总复习十：解直角三角形

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：
l 理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；
l 掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
l 掌握互为余角和同角三角函数间关系；
l 掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；
l 了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
复习策略：
l 复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．

二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识框图
通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

知识考点梳理
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
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知识点一：锐角三角函数
（一）锐角三角函数：
在Rt△ABC中，∠C是直角，如图

（1）正弦：∠A的 与 的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；
（2）余弦：∠A的 与 的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；
（3）正切：∠A的 与 的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
（二）同角三角函数关系：
（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．
（三）互余两角的三角函数关系
sinA=cos（ ），cosA=sin（ ）．
（四）特殊角的三角函数值

（五）锐角三角函数的增减性
（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而 （或 ）．
（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而
（或 ）．
要点诠释：
∠A在0°～90°之间变化时， ＜sinA＜ ， ＜cosA＜ ，
tanA＞
知识点二：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．
（一）三边之间的关系：
a2+b2= （勾股定理）
（二）锐角之间的关系：
∠A+∠B= °
（三）边角之间的关系：
sinA= ， cosA= ， tanA=
要点诠释：
解直角三角形时，只要知道其中的 个元素（至少有一个 ），就可以求出其余未知元素．
知识点三：解直角三角形的实际应用
（一）仰角和俯角：
在视线与 所成的角中，视线在 上方的是仰角；视线在 下方的是俯角．
（二）坡角和坡度：
坡面与 的夹角叫做坡角．坡面的 和 的比叫做坡面的坡度（即坡角的 值）常用i表示．
（三）株距：
相邻两树间的 ．
（四）方位角与方向角：
从某点的 方向沿 时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．
从 方向或 方向到目标方向所形成的小于 °的角叫做方向角．
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
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类型一：锐角三角函数
例1．在△ABC中，∠C=90°．若sinA=，则tanA= ．
考点：锐角三角函数的定义与特殊角三角函数值．
解析：

例2．已知：cos=，则锐角的取值范围是（ ）
A．0°<<30° B．45°<<60°
C．30°<<45° D．60°<<90°
考点：利用三角函数值确定角的取值范围．
解析：

例3．当45°<<90°时，下列各式中正确的是（ ）
A．tan>cos>sin B．sin>cos>tan
C．tan>sin>cos D．cos>sin>tan
考点：同一锐角不同三角函数比较大小．
解析：

例4．Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角A的各个三角函数值（ ）
A．都缩小 B．都不变 C．都扩大5倍 D．无法确定
考点：三角函数值与角的度数有关，与边的比值有关．
解析：

例5．1-cos234°-cos256°=__________．
考点：（1） sin2A+cos2A=1；
（2）互余两角的三角函数关系sinA=cos（90°-A）或cosA=sin（90°-A）．
解析：

例6．方程有实数根，求锐角的取值范围．
考点：锐角三角函数的增减性及特殊角的三角函数值．
解析：

总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

举一反三：
【变式1】已知为锐角，下列结论正确的有（ ）
（1） （2）如果，那么
（3）如果，那么 （4）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
思路点拨：利用三角函数的增减性和有界性即可求解．
解析：

【变式2】A、B、C是△ABC的三个内角，则等于（ ）
A． B． C． D．
考点：互余两角正余弦关系．
解析：

【变式3】已知△ABC中，∠C=90°，若∠A、∠B的余弦值是关于的方程的两个根．且△ABC的周长为24．试求BC的长度．
考点：锐角三角函数概念的理解和运用．
解析：

类型二：解直角三角形
例7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=5，BD=3，则sinA= ，cosA= ，tanA= ，tanB= ．

考点：解直角三角形，利用已知元素求两锐角的三角函数值．
解析：

例8．如图，在中，AD是BC边上的高，．
（1）求证：AC=BD； （2）若，求AD的长．

考点：利用锐角三角函数知识和已知条件解直角三角形．
思路点拨：由于AD是BC边上的高，则有和，这样可以充分利用锐角三角函数的概念使问题求解．
解析：

例9．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B，取米，．要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米

思路点拨：在中可用三角函数求得DE长．
解析：

总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
举一反三：
【变式1】在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长．

解析：

【变式2】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，根据下列条件解直角三角形．
（1）∠A=60°，CD⊥AB于D，CD=；
（2）a=2，CD⊥AB于D，BD=．

考点：解直角三角形中运用已知元素求未知元素，恰当选用锐角三角函数求值．
解析：

总结升华：
大胆正确应用，虽然方法很多，但要总结最优解法．
【变式3】某片绿地形状如图，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．

思路点拨：设法补成含60°的直角三角形再求解．
解析：

类型三：解直角三角形的实际应用
例10．已知，如图：AB∥DC，∠D=900，BC=，AB=4，=，求梯形ABCD的面积．

考点：解直角三角形在实际中的应用．
思路点拨：过B作BE⊥CD于E，设BE=，则结合=得CE=3，又BC=，利用勾股定理求，从而可求梯形ABCD的面积．
解析：

例11．如图，在湖边高出水面5m的山顶A处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中之像的俯角为65°，试求飞机距湖面的高度h．（精确到0．01m）
tan65°≈2．145

考点：利用三角形函数解实际问题．
思路点拨：通过作点P至湖面的对称点P′，根据方向角平面成像的知识解决问题．
解析：

☆例12．已知：如图，山顶建有80米高的铁塔BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的P处，测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C的仰角为60°，若小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？（精确到1米，参考数据）

思路点拨：如果能由已知数据计算出山高AB，那么该测量人员的方法可行，另外为计算方法，可将问题抽象成几何计算题．
解析：

☆例13．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1．7m，看旗杆顶部的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1．5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．
请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）

解析：
解法一：

解法二：

总结升华：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
举一反三：
【变式1】如图所示的燕服槽是一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．

考点：坡度的概念．
解析：

【变式2】如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）

考点：方向角的应用．
解析：

【变式3】气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点的坐标为 ，台风中心转折点的坐标为 ；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
x/km
y/km
北
东
A
O
B
C

考点：利用三角函数解决实际问题．
解析：

三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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（一）数形结合思想
从概念的引入到关系式的推导，以及直角三角形的解法和应用，都体现了数形结合的思想方法，例如在解直角三角形时，我们总是先画出图形，再结合图形分清已知元素和未知元素，最终使问题顺利得到解决．
（二）方程和函数思想
在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，常利用方程和函数思想将几何问题转化为代数问题求解．
（三）化归与转化思想
利用三角函数的定义可以实现边与角的转化，利用互余角的三角函数关系可以实现正余弦的转化，利用同角的三角形函数关系可实现“异名“三角函数之间的转化，通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形，此外，在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解．
（四）注意观察、分析、总结
在运用锐角三角函数解决问题时，应掌握定义，灵活地选择关系式，能用已知不用未知，能用乘法不用除法；在实际应用时，要首先把实际问题转化为数学模型，再借助直角三角形的知识求解，掌握各函数值之间的联系及互化．

成果测评
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知识点：解直角三角形
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
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对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）
□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）

学生：_______________ 家长：______________ 指导教师：_________________

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