尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第18章不确定性和风险厌恶).doc

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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第7篇 不确定性、信息和外部性

第18章 不确定性和风险厌恶
课后习题详解
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1．乔治花了整整10万美元的赌注押在公牛队身上，打赌公牛队在与太阳队的NBA总决赛中会获胜。如果乔治的财富效用函数是对数形式的，并且他现在的财富是100万美元，那么他认为公牛队一定会赢的最小概率是多大？
解：假设公牛队会赢的最小概率为，假设乔治的效用函数为：，其中为财富水平。
在乔治参加赌博的情况下，他的期望效用为：

在乔治不参加赌博的情况下，他的效用为：。
为了使他参加赌博，因而有：

从而可以解得：，也即他认为公牛队一定会赢的最小概率为0.525。

2．请说明如果一个人的财富效用函数是凸的，那么，他（她）就会选择公平赌博而不是确定的收入，甚至还可能愿意去接受某种不公平的赌博。你认为这种接受风险的行为是普遍的吗？什么因素会趋向于限制这种行为？
解：如图18-3所示，假设某人的初始财富为，如果参加赌博，则他可以0.5的概率赢得，或以0.5的概率输掉。在效用函数为凸的情况下，他不参加赌博所获得的确定性效用为，而参加赌博后获得的期望效用为。因为，所以他会选择公平赌博，而不是仅获得确定的收入，甚至他还有可能参加不公平的赌博，因为此时的期望效用高于确定性收入下的期望效用。
这种接受风险的行为并不普遍。这种行为会受到消费者个人所拥有的财富等资源的限制：因为在不公平的赌博中消费者有可能耗尽其财富，从而未必能实现赌博下的期望效用一定比确定性收入下的效用大的情况。

图18-3 凸性效用函数与消费者的决策

3．一个人买了一打鸡蛋、并一定要把它们带回家。尽管回家的旅行是无成本的，但在任何一条路上所带的鸡蛋被打破的概率都是50%。这个人会考虑两个策略。
第一个策略：走一条路带所有12个鸡蛋。
第二个策略：走两条路，每次带6个鸡蛋。
（1）请列出每种策略的可能结果与每种结果的可能性。请说明在每种策略下，回家之后平均都有6个鸡蛋没有被打碎。
（2）画一图表示在每一种策略下可获得的效用，人们会倾向于哪一个策略？
（3）采用再多跑几趟的方案，效用是否可以被进一步改善？如果其他的路是有成本的，那么，这种可能性会受到怎样的影响？
解：（1）如果此人采用策略1，那么可能的结果与每种结果的可能性如表18-1所示：
表18-1 策略1的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。
如果此人采用策略2，那么可能的结果与每种结果的可能性如表18-2所示：
表18-2 战略2的结果

未打碎鸡蛋的平均个数为（个）。
（2）假设此人的效用函数为，这里是鸡蛋的个数。那么策略1带给此人的效用为：

策略2带给此人的效用为：

所以： ①
这样，如果此人是风险厌恶型的，那么由①式可知，即此人偏好于策略2（如图18-4所示）；反之如果此人是风险偏好型的，那么，即此人偏好于策略1。

图18-4 风险厌恶型消费者的策略偏好
（3）①如果有其他多于两条路的方案，那么对于风险规避者而言，其效用可以进一步得到提高。这是因为路越多，风险就越容易得到分散。
②如果走路是有成本的，那么路越多，成本就越高，这会降低消费者的效用，因此，最终的结果是消费者需要在分散风险和降低成本之间进行平衡，也就是说存在某个数，当路的条数大于时，由于成本的增加导致的效用的减少大于由于风险分散引起的效用的提高，所以消费者的总效用会减少。当路的条数小于时，成本的减少导致的效用增加小于风险的增大引起的效用的降低，所以消费者的总效用也会减少，因此最优的选择就是分条路把鸡蛋带回家。

4．假定一个现有2万美元财富的人有一半的可能性会得神经衰弱，并损失1万美元。
（1）请计算在这种情况下实际公平保险的成本，并使用财富效用图来表示这个人会愿意选择公平保险以防止损失，而不是接受没有保证的赌博。
（2）假定可以获得两种类型的保险政策：
①赔偿全部损失的公平政策。
②只赔偿所发生损失的一半的公平政策。
请计算第二种类型政策的成本，并说明这个人通常会认为它比第一种类型的政策差。
解：（1）这种情况下，实际公平保险的成本为：
（美元）
如图18-5所示，在参加保险的情况下，此人的财富为15000美元；在没有参加保险的情况下，此人的财富可能为10000美元，也可能为20000美元。保险将给消费者带来更高的效用。

图18-5 公平保险
（2）第二种保险类型的保险政策的成本为：（美元）。因而在不生病的情况下，此人的财富为17500美元，在犯病的情况下，此人的财富为12500美元。如图18-5所示，第二种保险政策下，此人的期望效用低于第一种保险政策下的期望效用，因而此人会认为它比第一种保险政策差。

5．福格小姐计划花1万美元去进行环球旅行。从这个旅行中她所得到的效用是她实际支付的费用的函数，可以写成

（1）如果福格小姐在旅途中会丢失1000美元的可能性是25%的话，整个旅行的预期效用会是多大？
（2）假设福格小姐可以以250美元的“精算意义下公平”的保险费率买保险去预防这1000美元的损失的话（比方说，买旅行支票）。请说明如果她买了这个保险，而不是面对不买保险而损失1000美元的风险时，前者的预期效用要比后者的预期效用更高。
（3）福格小姐愿意为其1000美元的可能损失而支付的保险费最大是多少？
解：（1）福格小姐的期望效用为：

（2）在购买保险的情况下，福格小姐的期望效用为：

因而保险给福格小姐带来了更高的期望效用。
（3）由可得：

解得：。
因而福格小姐所愿意支付的最高保费为：（美元）。

6．当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是，并且罚金为。假定所有的个人都是风险厌恶型的（也就是说，，其中，是个人的财富）。那么被抓到的可能性按比例增加和罚金按比例增加在防止非法停车方面哪个更有效？（提示：运用泰勒级数展开式）
答：利用泰勒级数展开式，非法停车的总效用为：

假设罚金的比例增加为原来的（）倍，那么非法停车的效用就变为：
①
假设收到罚款通知单的可能性增加为原来的（）倍，那么非法停车的效用就变为：
②
由于消费者是风险厌恶型的，所以，于是：

这说明罚金的比例和收到罚款通知单的可能性同比例增加，前者会使消费者的效用更低，所以罚金按比例增加在防止非法停车方面更有效。

7．一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是50%。他的预期效用函数的形式为：

这里，与分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入。
（1）假定农民一定要在两种如表18-3所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？
表18-3 小麦和谷子在不同天气状况下的收入（单位：元）

（2）假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论。
（3）怎样组合小麦与谷子才可以给这个农民带来最大的预期效用？
（4）如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么，这种有关小麦种植的保险会怎样改变农民的种植情况？
解：（1）农民种小麦的预期效用为：

农民种谷子的预期效用为：

因为，所以农民会种谷子。
（2）如果农民在他的土地上每种作物各种一半，他的收益如表18-4所示：
表18-4 混合种植时不同天气状况下的收入（单位：元）

从而他的预期效用为：

由于，所以农民会混合种植。
（3）假设小麦的种植份额为，那么混合种植的期望效用为：

期望效用最大化的一阶条件为：

解得：。
此时的期望效用为：

所以当农民用4/9的土地种小麦，5/9的土地种谷子时，其期望效用达到最大，为。
（4）如果种植小麦的农民购买保险，那么他的期望效用为：

这个值大于两种作物按最优混合比例种植所能带给农民的效用，所以农民会买保险。

8．对于相对风险厌恶不变效用函数为常数的情况下，风险厌恶度由（）来测度。讨论下述问题：
（1）为什么风险厌恶与一个人在各种世态之间财富替代的意愿是相关的？通过这两个概念可以把握什么现象？
（2）你怎样在风险厌恶与替代的框架中解释与这两种极端的情况？
（3）在“坏”日子的或然权利价格（）的上升会在对与的需求中引致替代效应与收入效应。如果个人花费在这两种商品上的预算是固定的，那么，这会怎样影响在它们之间所进行的选择？为什么的上升或下降取决于这个人所表现出的风险厌恶程度？
（4）假定经验数据表明，如果个人被吸引投资于50%的机会赢得或损失5%资产的投资，则此人要求0.5%的平均收益率。也就是说，此人从中所获得的效用与从一个和的公平赌博中所获得的效用是相同的。
①与此行为相一致的值是多少？
②此人接受一个50%机会赢得或损失10%资产的赌博所要求的平均收益率是多少？
解：（1）（）的较高值意味着不同状态之间的替代弹性较低。一个极其风险厌恶的人将不愿偏离确定性线，除非此偏离十分有利可图。
（2）意味着个人是风险中性的。在不同的状态的财富之间的替代弹性是无穷的。因而无差异曲线的斜率是-1。
如果，则个人的相对风险厌恶系数是无穷，他的无差异曲线是型的，这意味着在任何价格下，此人都不愿意偏离确定性线。
（3）的提高将使预算约束线将以上的交点为顶点作逆时针方向旋转，替代效应和收入效应都将使下降。替代效应可能会导致增加，但是收入效应将使减少。替代效应将会较大，从而不同状态之间的替代弹性也会较大。而不同状态之间的替代弹性越大，则风险厌恶程度越小。
（4）①由方程：可得，，此数值与某些经验研究相符。
②2%的平均收益率将大致补偿此人参加一个10%的赌博。因为：

风险溢金难题在于由等式提供的收益的溢金比率似乎远高于此。

9．在固定收益率为的资产上投资美元，可以在两种状态时获得，而在风险资产上的投资在好日子收益为、在坏日子为（其中）。通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究。
（1）请画出两种投资的结果。
（2）请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”怎样可以在你的图中得到显示。你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？
（3）请说明个人对于风险的态度会怎样决定他们所持有的无风险资产与风险资产的组合。一个人会在什么情况下不持有风险资产？
（4）如果一个人的效用采用了不变的相对风险厌恶形式，请解释这个人在其财富增加时，为什么不会改变其所掌握的风险资产的比例。
答：（1）如图18-6所示，无风险投资的结果为，风险投资的结果为。

图18-6 无风险投资与风险投资
（2）图18-6中的代表了资产组合。
设点表示一种投资组合，则表示投在风险资产上的比例，表示投在无风险资产上的比例。现证明如下：
设点坐标为（，），即是点投在风险资产上的比例。

即：，表示投在风险资产上的比例；则，表示投资在无风险资产上的比例。
（3）对于风险厌恶者而言，他有可能在风险资产上进行部分投资，如图18-6所示；也有可能把他的财富全部投资于风险资产，如图18-7所示。需要注意的是，这种情况并不和投资者是风险厌恶的假设矛盾，因为出现这种情况就说明该投资者的风险承受能力较强或者风险较小（即坏情况下的收益率也不会比无风险情况下低太多）；也有可能把所有的资产投资于无风险资产，如图18-8所示。这些都取决于其效用函数的具体形式。对于风险中性者和风险偏好者也有类似的结论。

图18-7 只在风险资产上投资

图18-8 只在无风险资产上投资
（4）如果相对风险厌恶不变，则无差异曲线将是位似的，所以随着值的变化，最优选择的位置将沿着而变化。

10．假设本章第9题中的资产收益要上缴税收。请说明（用文字）：
（1）为什么对财富按比例征税不会影响配置在风险资产上的财富比例。
（2）假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税。这会怎样影响风险资产在财富中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？
（3）如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对（2）的回答会怎样变化？
（注意：这个问题需要计算能导致税后效用最大化的财富的税前配置）
答：设投资者的效用函数为。
设为投资者在好的状态下的财富，为坏状态下的财富，设投资者认为有的概率出现好的状态。
设为风险资产在投资组合中所占比例。
由题意知，投资者决定是以的最大化为标准。即：。
因此，必须满足 ①
又有：

代入①得，
②
现在证明是的单调函数。
若， ③
那么，如果有，则有，。
由假设③知，必然有（即为的单调递增函数），也就是说，等式②决定了唯一一个最优风险资本比例。
如果值并不在的值域内，事实上就说明，投资者将选择纯风险投资，即，如果，那么，投资者将选择。
（1）设对财富按比例征税的税率为，则有：

而仍然对应原有的风险资产比例，风险资产的比例不变。
（2）设对安全资产的收益按比例征税的税率为，则有：

所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例应该增加，这对只投资无风险资产的投资者的影响最大。
（3）设对安全资产的收益按比例征税的税率为，对风险资产按比例征税的税率为，则有：

结果是，如果，那么最优风险资产比例应该上升；
如果，那么最优应当下降；
如果，那么最优应当保持不变。

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