工科基础数学 第二章 函数与极限.doc

第二章 函数与极限
函数是高等数学研究的基本对象，极限是研究函数的主要工具，在后面的几章中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的。函数的连续性则是与极限概念紧密联系的一个重要概念，它是函数的一个基本属性。本章将在初等数学关于函数概念的基础上进一步深入研究函数的性质，分析初等函数的结构，介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，讨论连续函数的性质。
第一节 　函数
一、函数的概念
1．函数的定义
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量，可以变化的量叫变量。
在圆的面积公式中，是常数，而半径是随圆的大小而变化，又随的变化而变化.因此是常量，和都是变量。
如果在某个变化过程中有两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，总有唯一确定的值与之对应，那么叫做的函数，记为

其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，记为D。
当在定义域D内取定值时，与对应的的数值称为函数在点处的函数值，记为
或
当遍取D中的一切数值时，对应的函数值的集合

叫做函数的值域.
例1 设，求
解 由函数的定义可知
； ；
；
函数中的符号“”表示与之间的某种对应关系.如圆的面积公式中的A与之间的对应关系可以表示成，即有时为了区别不同的函数，函数也可以记为、、等.
具体给出的表达式叫做函数的解析式。如，都是解析式.
在函数的定义中有两个要素：
（1）自变量的取值范围，即函数的定义域；
（2）确定自变量与因变量之间数值的对应关系。
由此可知，只有当两个函数的定义域和对应关系都相同时，这两个函数才称为相等.
例2 判定下列各对函数是否相等：
（1）与；
（2）与；
（3）与
解 （1）因为与的对应关系不同，所以这两个函数不相等。
（2）因为与的定义域不同，所以这两个函数不相等。
（3）由于，因此这两个函数的定义域和对应关系都相同，故与相等，即。
2．函数定义域的求法
确定函数的定义域通常有两种情形：
（1）在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.如在圆的面积公式中的半径不可能是负数，所以我们可以认为函数的定义域为
（2）用解析式表示的函数的定义域，是指使得函数有意义的自变量的取值范围，这种定义域叫做自然定义域.
例3 求函数的定义域.
解 显然，在中，当且仅当，即时，表达式才有意义.因此，函数的定义域为，或用区间表示为
注意 函数表达式中如果有分式，则分母的值不能为零.
例4 求函数的定义域.
解 要使函数有意义，必须同时满足负数不能开方和分母不能为零两个条件，即

由不等式组
或
解得
或
因此，函数的定义域为
注意 函数的表达式中如果有开偶次方根，则根号内所含式子的值必须大于或等于零.
例5 求函数的定义域.
解 要使函数有意义，必须使右端的两个表达式同时都有意义.故应满足条件

解得

因此，函数的定义域为
注意 函数表达式中如果有对数符号，则真数必须大于零；反正弦函数或反余弦函数中应使.
应当指出，根据函数的定义，对于定义域内的任一值，函数仅有一个确定的值与之对应，这类函数称为单值函数.如果对于定义域内的任一值，函数有两个或两个以上的确定值与之对应，这类函数称为多值函数.例如，函数是单值函数，而函数则是多值函数.
今后，如果没有特别说明，我们所提到的函数都是单值函数.
二、分段函数
在工程技术和经济领域的实际问题中，常常会遇到一个函数在自变量不同的取值范围内是用不同的式子来表示的。
例如函数

是定义在区间内的一个函数（如图）。
在函数定义域的不同范围内，用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数，使得分段函数的定义域分成几部分的点叫做分段点.
值得注意的是，分段函数尽管在不同的区间内用不同的解析式，但它表示的是一个函数.因此，在画分段函数图象时，必须画在同一坐标系内.在求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入对应的解析式中进行计算.
例6 作出分段函数

的图象，指出分段点，并求.
解 图象见图，为分段点.
因为时，，所以；
当时，，故有.
例7 已知函数

（1）在处函数是否有定义？为什么？
（2）求的定义域，并找出它的分段点；
（3）求；（4）画出函数的图象.
解 （1）因为不在函数的定义域内，所以函数在处没有定义.
（2）的定义域为；分段点是和.
（3）因为在区间上，所以函数值由表达式确定，因此

因为在区间内，所以函数值由确定，因此

因为在区间内，所以

（4）函数的图象如右图所示。

三、 函数的基本特征
1．单调性
如果对于某区间I内的任意两点，当时，有
（或），
则称函数在区间I内是单调增加（或单调减少）的，
有时也称为单调上升（或单调下降），如图所示.
使函数保持单调增加或单调减少的区间
称为单调区间；单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数.
例如，函数在内单调增加，在内单调减少.又如，函数在内是单调增加的.
2．奇偶性
设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意，都有
（或），
则称为偶函数（或奇函数）。
偶函数的图形关于轴对称；奇函数的图形关于原点对称。
例如，当为奇数时为奇函数，当为偶数时为偶函数.又如，为奇函数，为偶函数，而都是非奇非偶函数.
奇、偶函数的运算满足下述规律：
（1）偶函数偶函数偶函数；
（2）偶函数偶函数偶函数；
（3）奇函数奇函数偶函数；
（4）奇函数偶函数 奇函数.
3．周期性
设函数的定义域为D.如果存在正数T，使得对于任意的，有，且 ，
则称函数为周期函数，T称为的周期.
当f(x)是周期函数时，有
，
因此，都是的周期.但是，我们通常所说的周期函数的周期是指最小正周期（如果存在的话）.
例如，函数的周期为；函数的周期为.
下面给出一个有用的结论：若周期函数的周期为T，则函数为常数，是周期为的周期函数。例如，函数是以为周期的周期函数.
如果函数的周期为T，则在其定义域内长度为T的区间上，函数图形有相同的
形状。
4．有界性
设函数在区间I上有定义.如果存在正数M，对于任意的，其对应的函数值都满足不等式
，
则称函数在区间I上有界，或称在区间I上是有界函数.若这样的正数M不存在，则称函数在区间I上无界，或称在区间I上是无界函数.
例如，函数对于定义域内的一切，都有
，
因此，函数在内有界，而函数在内无界.事实上，因为当的取值越接近于0时，函数的绝对值就越无限增大，即不存在正数M，使得.
四、反函数
设函数的定义域为D，值域为W，如果对于W中的任意一个值，按可以唯一确定D中的一个值，那么就建立起一个由W对应到D中的新的函数关系.记为，叫做的反函数.
习惯上用表示自变量，表示函数，为了保持一致，记反函数为，它的定义域为W，值域为D.
根据反函数的定义，如果是的反函数，那么也是的反函数（互为反函数）.
例8 求函数的反函数，并在同一直角坐标系中画出两个互为反函数的图象.
解 由解出，可得

所求的反函数为

函数与反函数的图象如图所示.
从图中可以看出，函数的图形与反函数的图形是关于直线对称的.这个结论对于一般的函数都成立，即函数的图形与它的反函数的图形是关于直线对称。
利用这个结论，由函数的图形就很容易作出它的反函数的图形.
注意 并不是任何一个函数都存在反函数.例如，函数在定义域内就不存在反函数.事实上，函数在内的是一个双值函数，.但是，在区间内，有反函数；在区间内，有反函数。所以我们有
反函数存在的定理 若函数在区间I上是单调函数，则它的反函数存在，而
且也是单调函数.
五、 复合函数、初等函数
1．基本初等函数
我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
现将一些常用的基本初等函数的定义域、值域、图象和特性列表如下。

2．复合函数
在实际问题中，遇到的函数往往是由几类基本初等函数经过一些运算构成的.例如，在简谐振动中，位移是时间的函数
，
其中，A为振幅，为角频率，为初相位.它就是由线性函数与正弦函数复合而成的复合函数.
设是的函数，而又是的函数.如果的值域包含在的定义域内，那么，通过的联系也是的函数.这个函数叫做由函数与复合而成的复合函数，记为
.
其中，称为中间变量.
例如，函数是由，两个基本初等函数复合而成的复合函数，它的定义域是。
复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.例如，函数就是由复合而成的复合函数，其中，与都是中间变量.
例9 指出下列函数的复合过程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解 （1）函数是由和复合而成；
（2）函数是由和复合而成；
（3）函数是由及复合而成；
（4）函数是由及复合而成.
应当指出，并不是任何两个函数都能构成复合函数的.例如，函数与就不能构成复合函数.
3．初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成的，并用一个解析式表示的函数叫做初等函数.
例如，等都是初等函数.
一般情况下，分段函数不是初等函数.当然，绝对值函数

既是分段函数，又是初等函数.事实上，也可以表示成，可以看成是复合而成的.
第二节 函数的极限
一、极限的概念
1．数列的极限
先看下面两个数列：
（1）；
（2）
当无限增大时，数列（1）无限接近于0；数列（2）无限接近于1.这两个数列的变化趋势有一个共同的特点，就是当无限增大时，都无限接近于一个确定的常数.
一般地， 如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，那么就把常数叫做数列的极限，或者说数列收敛于.记为
或 .
因此，数列（1）的极限是0，可记为
；
数列（2）的极限是1，可记为
.
数列的极限定义中强调，当无限增大时，是否无限接近于一个确定的常数。下面再看两个数列：
（3）；
（4）.
容易看出，数列（3）随着的无限增大也无限增大，但并不趋近于一个确定的常数，所以数列（3）没有极限；数列（4）随着无限增大，在0与1这两个数上来回跳动，也不趋近于一个确定的常数，因此数列（4）也没有极限.
由此可见，并不是任何数列都有极限，如果数列的极限不存在，我们说数列是发散的.
2．函数的极限
由于数列可看作自变量为自然数的函数：，所以数列的极限也是函数极限的一种类型，即当时，函数的极限。
（1） 当时，函数的极限
首先，考察函数当
时的变化趋势。由图中可以看出，当无限
增大时，函数无限接近于常数1.
如果当无限增大（即）时，函数无限接近于一个确定的常数，那么就把常数叫做函数当时的极限，记为
或 .
由此可知，.
在函数的极限中，是指自变量既取正值无限增大（记为），同时也取负值无限增大（记为）.但有时只能或只需考虑（或）时的变化趋势，则分别记为
（或）.
可以证明，的充分条件是.
例如， ， ，
所以，当时，函数的极限不存在.
（2）当时，函数的极限
对于函数，除研究当时的极限以外，还需研究无限接近于某一常数时，函数的变化趋势.
设函数在点的邻域内（可以除外）有定义，如果当无限趋近于（但）时，函数无限接近于一个确定的常数，那么就把常数叫做函数当时的极限，记为
或 .
例1 考察极限（为常数）和.
解 由图中可以看出，不论如何变化，
函数的值始终为，因此
.
由图可以看出，当时，函数
的值的变化趋势是无限接近于，因此，
.
例2 讨论函数，当时的极限.
解 由于（），因此从图
中可以看出，当时，函数图象上的点沿直线
无限接近于点，对应的函数值无限接近于6，所以
.
从例2中可以看出，函数在处无定义，但当时的极限存在.这也说明了函数当时是否有极限与在点是否有定义无关。
（3）左、右极限
是指自变量从的左、右两侧趋近于时函数的极限（即单侧极限），比如，分段函数在分段点处的极限一般需要由单侧极限求得。
如果从的左侧（即）趋近于（记作）时，函数的值无限接近于常数，则把叫做函数当趋近于时的左极限，记作
或 .
如果从的右侧（即）趋近于（记作）时，函数的值无限接近于常数，则把叫做函数当趋近于时的右极限，记作
或 .
左右极限和极限的关系是： 的充要条件是
.
例3 设函数

求及，并问当时 在？
解 由于是分段函数的分段点，由图可知
，
.
因为左极限与右极限不相等，所以不存在.
例3表明，函数在处有定义，但极限不存在.
例4 设，求.
解 因为是分段函数的分段点，如图所示，所以求需要求左、右极限.由于
，
，
故 .
二、极限的性质
极限的唯一性 如果函数的极限存在，那么极限值是唯一的.
函数极限的有界性 如果，为常数，那么在时为有界变量。
应当注意，有极限的变量必有界，但有界变量却不一定有极限.如是有界变量，但当时，它的值总在之间摆动，并无极限.
极限的保号性 如果，且（或），那么存在的某一邻域，当在该邻域内（）时，有（或）。
保号性还可以描述为
如果在的某一邻域内有（或），且，那么（或）。
极限的夹逼性 如果对于的某一邻域内的一切（可以除外），有

且 ，
那么有
.
三、 无穷小量与无穷大量
当我们考虑变量的变化趋势时，有两种重要的情形：一种是变量的绝对值“无限变小”，一个是变量的绝对值“无限变大”.下面分别讨论这两种情形.
1．无穷小量
如果函数当（或）时的极限为零，则称函数当（或）时为无穷小量，简称无穷小.
例如，因为，所以变量当时为无穷小量.因为，所以变量当时为无穷小量.因为，所以变量当时为无穷小量.
关于无穷小量，有两点需要说明：
（1）无穷小量是以零为极限的变量.不能误解为一个绝对值很小很小的数是无穷小量.比如，等都不能叫无穷小量，这些都是确定的常数.
我们约定：常数0是无穷小量.
（2）无穷小量是与自变量的某一变化过程相联系的.比如，函数当时是无穷小量，但当时就不是无穷小量（）.因此，我们不能笼统地说是无穷小量，而应指明自变量的变化过程。关于无穷小和极限的关系我们有：
的充要条件是
。
其中，A为常数，。
例如，函数.显然，而，这时.
为了书写方便起见，今后我们把简写成.
无穷小量具有以下性质：
性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.
性质2 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.
性质3 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.
例5 求
解 因为，所以为有界函数.又因为，因此由性质3可得
.
2．无穷大量
如果函数值的绝对值当（或）时无限增大，则称函数当（或）时为无穷大量，简称无穷大，记作
（或）.
例如，函数，当时无限增大，因此.即当时，函数为无穷大量.
有时还需要把无穷大量分为正无穷大（记作）或负无穷大（记作），即
或.
关于无穷大量，也有两点需要说明：
（1）无穷大量是绝对值无限增大的变量，它不是一个绝对值很大很大的数.比如，等都不能叫无穷大量，它们都是确定的常数.
（2）无穷大量是与自变量的某一变化过程相联系的.比如，函数当时为无穷大量，但当时则为无穷小量.
无穷大量与无穷小量之间具有以下关系：
如果，则；反之，如果，且，则.
例如，因为，所以.
3．无穷小的比较
无穷小量虽然都是趋于零的变量，但是，在自变量的同一变化过程中，无穷小量趋于零的速度却不一定相同.为了比较两个无穷小量趋于零的快慢速度，我们给出关于无穷小量的“阶”的概念.
设在自变量的同一变化过程中均为无穷小量.
（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作；
（2）如果（为常数），则称与是同阶的无穷小，记作；
（3）如果，则称与是等价无穷小，记作.
显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，即的情况.
例如，，所以当时，是关于的高阶无穷小，即.
，所以当时，与是同阶无穷小，即.
第三节 极限的运算法则
本节将介绍极限的四则运算法则.这些法则，对于函数的极限与数列的极限都成立.它们对于极限的计算是十分有用的.
设及都存在，则有下列极限运算法则：
法则1 ；
法则2
法则3 （）.
说明：（1）法则1和2可以到有限个函数的和与积的情形；
（2）由法则2可以推出
；
；
（3）运算法则只有在每个函数的极限都存在的情况下才能使用.
例1 求
解 原式
.
例2 求
解 因为，所以由法则3可得
.
一般地，对于多项式
，
则 .
对有理函数（为多项式）
的求法有两种情形：
1．如果，则
，
因此，计算只要计算函数值即可.
2．如果，法则3不能直接应用.
若此时，则；若，则可约去公因式，再用上述方法求其极限.
例3 求。
解
由于，根据无穷小的倒数是无穷大，得
.
例4 求。
解 当时，分子与分母都为0，故必可约去公因式，

.
例5 求。
解 当时，上式两项均为无穷大，不能用法则1.一般的方法是先通分，再求极限.于是有
原式
.
例6 求。
解 当时，分子与分母的极限都为0.分子又是无理式，一般的方法是先进行根式有理化，再消去.于是有
原式

.
例7 求。
解 当时，分子和分母的极限均为无穷大.由于在数列的极限中，当时，有，所以，分子和分母同除以，使得每一项的极限存在，再用法则可得
.
例8 求。
解 分子和分母同除以的最高次幂，可得
原式。
用同样的方法可得公式：

其中为正整数.
如，因为分子的次数高于分母的次数；，这里分子的次数低于分母的次数；而.
由此可见，对于有理函数求时的极限时，用上面的公式甚为方便。
例9 求.
解 由于时，项数也是无限的，所以不能用法则1，应先求和，再求极限.于是有

。
试 一 试
求下列极限
（1）； （2）；
（3）； （4）；
第四节 两个重要极限
一、 （取弧度单位）
作单位圆如图所示.先考虑的情形.设，过单位圆上的点A作切线交OB于T，过点B作半径OA的垂线BC，连接弦AB.于是有
.
因为

所以
，
即

考虑到当时，故可用同除不等式两边，得
，
或
.
又当时，.由于
，，
所以，对于也成立。
由于 ，因此，根据极限的夹逼性可得
.
还可以将极限写成的另一种形式：
。
例1 求。
解 将看成一个变量，即令，则当时.于是，有
。
例2 求。
解 因为 ，所以
＝1
例3 求。
解 因为当时，所以
。
注意 重要极限是用来求某些无穷小的正弦与无穷小之比的极限的，因此，一般地有
，
其中，“”中的变量必须一致.
例4 求.
解 因为，所以
。
例5 求。
解 令，则，且当时.因此
。
二、
首先观察取正整数时，数列的变化趋势，如表所示.

可以看出，当增大时，也增大，但增大的速度越来越慢，且不会超过3.因此可以证明此数列的极限一定存在且为一个无理数，记为，即
.
当取实数而趋于无穷大时，仍有
.
如果令，那么当时，故上式可改写为
.
式中的.
例6 求.
解 因为，令，则当时.所以
。
例7 求。
解 令，则当时.于是有

＝。
例8 求。
解 令，则，且当时。于是有
。
注意 重要极限是用来求形如的极限的，因此，一般地有
，
或 ，
其中，“”中的变量必须一致.
例9 求。
解 。
例10 求
解 。
例11 求。
解 令，则，当时.于是有
。
从以上例子可以看出，当时， 等.
等价无穷小可用于简化某些极限的计算.
设在自变量的同一变化过程中，，且存在（或），则
.
这表示在求极限时，分子分母的无穷小因子，可用等价无穷小代换，使计算简化.
例12 求.
解 当时，，故有
。
例13 求
解 当时，，，于是有
原式。
例14 求.
解 如果原式变成，这个结果是错误的.正确的做法是
原式
（时，）
。
注意：变量加减时，不能用等价无穷小。
第五节　 函数的连续性与间断点
一、 函数的连续性
1．函数的增量
设函数在的某一邻域内有定义，如果自变量由变到，那么就叫做自变量的增量（或改变量），记为，即 ；
此时，，函数相应地从变到，其差叫做函数的增量（或改变量），记为，即
自变量的增量可正可负，函数的增量可正可负，也可为零。、是不可分割的整体记号，不表示乘积的关系。在几何上，函数的增量表示当自变量从变
到时，曲线上相应点的纵坐标的增量，如图所示.
例1 求函数在下列条件下的增量：
（1）当由1变到；
（2）当由1变到；
（3）当由1变到.
解 （1）；
（2）；
（3）
.
2．函数在点的连续性
如果函数在点处没有断开，当自变量在点处的增量趋近于零时，相应的函数增量也趋近于零；这就是函数在点的连续性，即
如果函数在的某一邻域内有定义，且有
，或者
那么称函数在点处连续，为的连续点.
例2 证明函数在点处连续。
证 由例1可知在点处的增量为
.
因为
，
所以函数在点处连续.
函数在点连续，就是当时，的极限值恰好等于该点的函数值.也就是说如果函数在点连续，那么函数必须同时满足下面三个条件：
（1）函数在点一定要有定义；
（2）函数在点的极限要存在；
（3）该点的极限值等于函数值.
例3 设函数

问为何值时，在点处连续.
解 ，，
由于在点连续，所以有成立，即时，在处连续.
例4 确定常数，使函数

在点连续.
解 （1）在点有定义，；
（2）在点的极限要存在，由于
，
，
所以 ，
根据在处连续，必须满足的条件
，
因此
从而，当时在点连续.
如果在开区间内每一点连续，则称是区间内的连续函数.如果在内连续，，且，，则称是闭区间上的连续函数。连续函数的图形是一条连绵不断的曲线。
例5 证明函数在内连续.
证 函数在内有定义.设是内任意一点，则有
.
注意到，且当时.根据无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小这一性质，有
.
由于是内的任意一点，因此函数在内连续.
同理可证，在内连续.
二、函数的间断点
如果函数在点处不满足连续的条件，即如果函数在点处有下列3种情况之一：
（1）函数在处没有定义；
（2）极限不存在；
（3）极限（A为常数），但.
则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点或不连续点.
函数的间断点有以下2类4种情况：
（1）如果点为间断点，且，则称点为函数的可去间断点.

例6 函数

在处有定义, 。但
,
因此, 是函数的可去间断点.，如图所示.
由于函数在可去间断点处的极限存在，函数在处不连续的原因是极限值不等于函数值，或者是函数在处无定义，因此，只要改变或者补充定义在处的函数值，即令，就可以使点成为函数的连续点。
例如，在例4中，如果改变函数在处的定义，令，则函数

在处连续。
（2）如果点为间断点，且，则称点为的跳跃间断点.
例7 函数

在处的极限不存在.事实上，因为
，
，
所以，因此点是函数的跳跃间断点，其跃度为2，如图所示。
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.
（3）如果点为间断点，且与中至少有一个为无穷大，则称点为函数的无穷间断点.
例8 函数在处无定义，且，所以点是函数的无穷间断点.
例9 函数在处无定义.当时函数的极限不存在，且不为无穷大.其函数值在与1之间无限次地振荡，，因而不能趋近于某一定值，所以称是函数的振荡间断点.
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点。
三、 初等函数的连续性
由基本初等函数的图象可知，基本初等函数在其定义区间内都是连续的。由极限的四则运算，容易推出连续函数经四则运算后，连续性保持不变。所以有下面的结论：
（1）如果函数和在点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也在点连续.
（2）如果函数在点连续，且，而函数在点连续，那么复合函数在点连续.
因为初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算而得到，所以根据基本初等函数的连续性可知，一切初等函数在其定义区间内都是连续的。利用初等函数的连续性，我们可以很方便地求一些函数的极限.只要是初等函数定义区间内的点，那么.即求极限值转化为求函数值了.
例10 讨论函数

的连续性。
解 当时，由于为初等函数，所以在内连续。当时，由于也为初等函数，所以在内也连续。
当时，由于
，
而 ，
因此在处不连续。所以，函数在内连续。
四、闭区间上连续函数的性质
最值原理 闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值.
函数的最大值（记作）与最小值（记作）统称为最值.
最值原理表明：如果函数在闭区间
上连续，则在上至少有一点（可能是端点），
使得对于上的一切都有 ，
即函数值为最大值；同样，也至少存在一点（），使得对于
上的一切都有，即函数值为最小值，如图所示。
注意 对于在开区间内连续的函数或者在闭区间上有间断点的函数，最值原理的结论不一定成立。例如，函数在开区间内连续，但它在内无最大值和最小值。
介值原理 设M和分别是函数在上的最大值和最小值.如果函数在上连续，则对于满足的任一实数，至少存在一点，使得
。
介值原理表明，闭区间上的连续函数
可以遍取与M之间的一切值，这一性
质反映了函数连续变化的特征。其几何意义是，
闭区间上的连续曲线与水平直线（）至少有一个交点，如图所示.
零点原理 如果函数在上连续，且，则至少存在一点，使得.
该原理的几何意义是，如果与异号， 则闭区间上的连续曲线与轴至少有一个交点，如图所示.
例11 证明方程在内至少有一个实根.
证 设，显然在上连续.由于
，，
因此，由零点存在定理知，至少存在一点，使得
.
即方程在内至少有一个实根.
本 章 小 结
一、主要内容
函数的概念；基本初等函数的图象及性质；复合函数、分段函数及初等函数的概念；数列极限与函数极限的概念；左右极限；无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质及无穷小的比较；极限运算法则；两个重要极限；函数连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。
二、基本要求
（1）知道函数的基本特征，能够熟练求出函数的定义域；熟知基本初等函数；知道
复合函数的复合过程。
（2）掌握无穷小与无穷大的概念，知道无穷小与无穷大的性质和关系；知道无穷小的阶的比较。
（3）熟练掌握极限的各种运算法则和两个重要极限，并使用它们求出各种形式的极限；
知道利用无穷小的性质和等价无穷小求极限。
（4）知道函数在一点和一个区间上连续的概念，知道初等函数的连续性；了解函数
间断点的分类；知道闭区间上连续函数的性质。
习 题 2
1． 已知，求。
2． 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
3．设，求.
4．作出下列分段函数的图形：
（1）； （2）；
（3） （4）
5．设

（1） 求的定义域，并画出它的分段点；
（2） 求的值；
（3） 画出的图形.
6．讨论下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
7．求下列函数的反函数：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
8．指出下列各函数的复合过程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）.
9．设函数

讨论当时，的极限是否存在.
10．设函数

求，，，.
11．在下列各题中，哪些是无穷小量？哪些