自动控制原理习题及答案.docx

1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。

答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。去掉采样开关后的连续系统输出表达式为

对闭环系统的输出信号加脉冲采样得

再对上式进行变量替换得

2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期T=0.1s。试求系统稳定时K的取值范围。

答案:首先求出系统的闭环传递函数。由

求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故

系统闭环传递函数为，特征方程为
D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0
将双线性变换代入上式得
0.632ω2+1.264ω+(2.736-0.632K)=0
要使二阶系统稳定，则有
K＞0，2.736-0.632K＞0
故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。

3. 求下列函数的z变换。
(1). e(t)=te-at
答案:e(t)=te-at
该函数采样后所得的脉冲序列为
e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…
代入z变换的定义式可得
E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…=0+Te-aTz-1+2Te-2aTz-2+…+nTe-naTz-n+…=T(e-aTz-1+2e-2aTz-2+…+ne-naTz-n+…)
两边同时乘以e-aTz-1，得
e-aTz-1E(z)=T(e-2aTz-2+2e-3aTz-3+…+ne-a(n+1)Tz-(n+1)+…)
两式相减，若|e-aTz-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得

最后该z变换的闭合形式为

(2). e(t)=cosωt
答案:e(t)=cosωt
对e(t)=cosωt取拉普拉斯变换．得

展开为部分分式，即

可以得到

化简后得

(3).
答案:
将上式展开为部分分式，得

查表可得

(4).
答案:

对上式两边进行z变换可得

得

4. 求下列函数的z反变换
(1).
答案:
由于

所以

得

所以可得E(z)的z反变换为
e(nT)=10(2n-1)
(2).
答案:
由于

所以

得

所以E(z)的z反变换为
e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1
(3).
答案:
由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…
所以其反变换为
e*(t)=2δ(t-T)-6δ(t-3T)+10δ(t-5T)-14δ(t-7T)+18δ(t-9T)+…
(4).
答案:
解法1：由反演积分法，得

解法2：由于

所以

得

最后可得z反变换为

5. 分析下列两种推导过程：
(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有

答案:
(2). 对于和(1)中相同的x(k)，有
x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1

试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。
答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2，…
Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)
按z变换定义有

将上述结果代入Z[x(k)-x(k-1)]=(1-Z-1)X(z)中可得

可见，(1)的推导正确，(2)的推导第一步就错了，导致最后结果错误。

6. 假设一个序列f(k)，有如下的z变换形式

(1). 求f(k)。
答案:首先求出F(z)的z反变换

由此可得
f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.71·1(k) k=0，1，2，…--
(2). 序列的稳态值为多少?
答案:在计算序列的稳态值之前，应该先判断(z-1)F(z)的稳定性。通过查看(z-1)F(z)的极点z1=-0.6，z2=0.3，可见(z-1)F(z)是稳定的。由终值定理可得

7. 某一过程的离散传递函数为

(1). 计算输出c(k)关于r(k)的单位阶跃响应。
答案:单位阶跃信号的z变换为，因此

z反变换为

c(k)=11.426ej2.594(0.64ej0.675)·1(k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k·1(k)+19.5·1(k)=11.426(0.64)k(ej2.594+j0.675k+e-j2.594-j0.675k)·1(k)+19.5·1(k)=22.85(0.64)kcos(0.675k+2.594)·1(k)+19.5·1(k) k=0，1,2，...
(2). c(k)的稳态值为多少?
答案:可知，c(k)的稳态值为19.5。可以通过终值定理来检验这一结果的正确性，稳态增益为

8. 考虑如下的差分方程：
y(k+1)+0.5y(k)=z(k)
则当输入x(k)为单位阶跃序列时，零初始条件下响应y(k)等于多少?
答案:同时对方程两边进行z变换，得
zY(z)+0.5Y(z)=X(z)
当输入信号为单位阶跃序列时

因此

所得结果为

9. 已知系统传递函数为，试求能控标准型、能观测标准型、约当标准型，并画出状态变量图。
答案:(1)能控标准型为

(2)能观测标准型为

(3)

由上式可得对角型

状态结构图分别如下图(a)、(b)和(c)所示。
http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555745/AId_688732/PIC/9.4404E7.jpg
[提示] 需要注意的是：当传递函数的分子与分母的阶次相等时，d≠0。

10. 已知系统和，判断Φ1与Φ2是否是状态转移矩阵。若是，试确定系统矩阵A；如果不是，说明理由。
答案:状态转移矩阵应满足：，Φ(0)=I，则

假设Φ1(t)与Φ2(t)为转移矩阵，则

则

所以Φ1(t)不是转移矩阵，Φ2(t)是转移矩阵，其系统矩阵为。
[提示] 由状态转移矩阵的定义可知，判断是否符合，状态转移矩阵必须满足的两个条件：(1)Φ(0)=I；(2)交换律。

11. 已知系统矩阵，至少用两种方法求状态转移矩阵Φ(t)。
答案:(1)定义法

(2)拉氏反变换法

[提示] 求取状态转移矩阵的方法有多种，对于阶次3阶以下的系统，采用拉氏反变换法计算较为简单。

12. 已知系统状态方程为，初始条件为x1(0)=1，x2(0)=0。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
答案:此题为求非齐次状态方程的解，对于非齐次状态方程，有

[提示] 状态方程的解是两部分的叠加，即初始状态引起的自由运动(零输入响应)和控制输入引起的强制运动(零状态响应)，解的公式为。

13. 给定二阶系统，t≥0，现知对应于两个不同初态时状态响应为
时，
时，
试求系统矩阵A。
答案:方法1：先计算状态转移矩阵Φ(t)。设

齐次状态方程的解x(t)=Φ(t)x0，依题意应有
(9-21)
(9-22)
解方程组得
φ11(t)=2e-t-e-2t
φ12(t)=2e-t-2e-2t
φ21(t)=-e-t+e-2t
φ22(t)=-e-t+2e-2t
故

方法2：根据式(9-21)、式(9-22)可以列出下面式子，用以求得Φ(t)。

[提示] 齐次状态方程，t≥0，x(0)=x0的解为x(t)=Φ(t)x0，已知x0和x(t)，则可先求出Φ(t)，再求系统矩阵A。

14. 已知连续系统的动态方程为，y=[1 0]x设采样周期T=1s，试求离散化动态方程。
答案:状态转移矩阵：

则
y(k)=Cx(k)=[1 0]x(k)
[提示] 连续时间系统的离散化模型的系数矩阵G和H满足：G=Φ(T)=eAT，，而系数矩阵C和D与连续系统相同。

15. 线性系统的空间描述为http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9XGFs%0D%0AcGhhICYxXFwgMCZcYmV0YVxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XXgrXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtj%0D%0AfTFcXCAxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRddVxcIHk9WzHjgIAtMV1444CA44CAXGVuZHthcnJheX0%3D，确定使系统为状态完全能控和状态完全能观测的待定常数α和β。
答案:能控性判别矩阵

若系统状态完全能控，则｜M｜≠0，即α和β应满足：
β-α-1≠0
能观性判别矩阵
(9-23)
若系统状态完全能观测，则|N|≠0，即α和β应满足：
-β+α+1≠0 (9-24)
联立式(9-23)、式(9-24)，得
β≠α+1
[提示] 单输入单输出系统状态完全能控的充要条件是：能控性判别矩阵M=[b Ab … An-1 b]满秩，即det(M)≠0；同理，状态完全能观测的充要条件是：能观测判别矩阵满秩，即det(N)≠0。

16. 设系统状态方程为，并设系统状态能控且能观测，试求a值。
答案:
在任意3阶实现情况下能控且能观测，则a≠1，2，4(没有零极点对消)。
[提示] 系统状态能控性与能观测性与传递函数零极点的关系是：当传递函数出现零极点对消时，状态不是完全能控且能观测的，即当传递函数出现了零极点对消，系统的状态可能会出现：能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测。

17. 已知系统传递函数为，试写出系统能控不能观测，不能控能观测，不能控不能观测的实现。
答案:
传递函数有零极点对消，因此系统状态不是能控且能观测的。
能控不能观测实现：
y=[1 1]x
不能控能观测实现：
y=[0 1]x

不能控不能观测实现：
y=[0 1]x
[提示] 当传递函数出现零极点对消时，状态不是完全能控且能观测的，即当传递函数出现了零极点对消，系统的状态可能会出现：能控不能观测、不能控能观测或既不能控又不能观测。

18. 设线性定常系统为

y=[1 -1 1]x
判别其能控性，若不是完全能控的，试将该系统按能控性分解。
答案:系统能控性判别矩阵为

其秩rankM=2＜n，所以系统是不完全能控的。
构造非奇异变换阵Rc：
，，(其中R3是任意的，只要能保证Rc为非奇异即可)
即 ，
变换后的状态空间描述为
http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AId_688741/PIC/9.A8BB30.jpg

[提示] 当系统状态不完全能控时，即rankM=n1＜n(n为系统矩阵A的维数)，则有n=n1个状态是不完全能控的，可按能控性分解：系统的状态空间被分解成能控的和不能控的两部分，引入线性变换，选择非奇异变换矩阵http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555754/AId_688741/PIC/9.B881A4.jpg，其中n个列矢量可以按如下方法构成：前n1个列矢量是能控性判别矩阵M中的n1个线性无关的列，另外n-n1个列在确保Rc为非奇异条件下，完全是任意的。

19. 上题中线性定常系统，判别其能观测性，若不是完全能观测的，试将该系统按能观性分解。
答案:系统能观性判别矩阵为

其秩rankN=2＜n，所以系统是完全能观的。
构造非奇异变换阵：
R'1=c=[1 -1 1]，R'2=cA=[1 -3 2]，R'3=[0 0 1](其中R'3是任意的，只要能保证为非奇异即可)
即，
变换后的状态空间描述为
http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555755/AId_688742/PIC/9.B23E4F.jpg

[提示] 当系统状态不完全能观测时，即rankN=n1＜n(n为系统矩阵A的维数)，则有n-n1个状态是不完全能观测的，可按能观测性分解：系统的状态空问被分解成能观测的和不能观测的两部分，引入线性变换，选择非奇异变换矩阵http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555755/AId_688742/PIC/9.AB4594.jpg，其中n个行矢量可以按如下方法构成：前n1个行矢量是能观测性判别矩阵N中的，n1个线性无关的行，另外n-n1行确保R。存在，完全是任意的。

20. 设系统的状态空间描述为http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTEm%0D%0AMFxcMCYxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdeCtcbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2N9MVxcMVxlbmR7%0D%0AYXJyYXl9XHJpZ2h0XXVcXHk9WzHjgIAwXXjjgIDjgIDjgIBcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D，试分析系统的状态稳定性和输出稳定性。
答案:(1)状态稳定性
平衡状态xe=0
李雅普诺夫第一法：系统矩阵A的特征多项式为

得 λ1=-1，λ2=1
λ2=1具有正实部，所以系统在平衡状态是不稳定的。
(2)输出稳定性
系统的传递函数G(s)=c(sI-A)-1b

闭环极点s=-1具有负实部，所以系统输出是稳定的。
[提示] 输出稳定性(BIBO稳定)的充要条件是：系统的传递函数的极点均具有负实部；李雅普诺夫第一法判断线性定常系统状态稳定性(又称内部稳定性、平衡状态的稳定性)的充要条件是：系统矩阵A的特征值都具有负实部。

21. 试用李雅普诺夫第二法判断，平衡状态的稳定性。
答案:平衡状态xe=0
构造
则
判定性质：http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30tMu%2B8nDDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIBcXFxsZWZ0fFxi%0D%0AZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTImM1xcMyYtNlxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0fD0xMi05PTPvvJ4wXGVu%0D%0AZHthcnJheX0%3D
负定，xe是渐近稳定的平衡点，且当||x||→∞时，V(x)→∞，因此平衡状态是大范围渐近稳定的。
[提示] 李雅普诺夫第二法直接判断平衡状态的稳定性方法：构造正定的李雅普诺夫函数V(x)，通过V(x)的符号性质来判断平衡状态的稳定性。

22. 下式中a为常数，试确定平衡点的稳定性。
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9X3sxfT14X3syfS1heF97MX0oeF97MX1eezJ9%0D%0AK3hfezJ9XnsyfSlcXFxkb3R7eH1fezJ9PS14X3sxfS1heF97Mn0oeF97MX1eezJ9K3hfezJ9Xnsy%0D%0AfSlcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D
答案:xe=0是唯一的平衡点。
试取

显然，V(x)＞0，且有连续一阶偏导，即
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGRvdHtWfSh4KT1cZnJhY3tccGFydGlhbFYoeCl9e1xwYXJ0aWFseF97MX19XHRpbWVzIFxmcmFj%0D%0Ae1xtYXRocm17ZH14X3sxfX17XG1hdGhybXtkfXR9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsVih4KX17XHBhcnRp%0D%0AYWx4X3syfX1cdGltZXMgXGZyYWN7XG1hdGhybXtkfXhfezJ9fXtcbWF0aHJte2R9dH09MnhfezF9%0D%0AW3hfezJ9LWF4X3sxfSh4X3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV0rMnhfezJ9Wy14X3sxfS1heF97Mn0o%0D%0AeF97MX1eezJ9K3hfezJ9XnsyfSldPS0yYSh4X3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV57Mn0%3D
当a＞0时，有V(x)＜0，xe是渐近稳定的平衡点，且当时，V(x)→∞，故有大范围渐近稳定；
当a=0时，有，xe是李氏稳定的平衡点；
当a＜0，有V(x)＞0，xe是不稳定的平衡点。
所选V(x)可判稳定性，故是李雅普诺夫函数。

23. 设系统传递函数为，判断能否利用状态反馈矩阵将传递函数变成，若有可能，求出一个满足的状态反馈矩阵K。
答案:能。

上式无零极点对消，因此状态是完全能控的，可以通过状态反馈任意配置极点。
用能控标准型Ⅰ实现：；y=cx
其中：，，c=[-2 1 1]
为使传递函数变为，需配置极点，使得期望极点为
s1=s2=-2，s3=-3
期望特征多项式为
f(s*)=(s+2)2(s+3)=s3+7s2+16s+12
反馈矩阵K=[k1 k2 k3]，
引入状态反馈后的特征多项式为
f(s)=|sI-(A-bK)|=s3+(2+k3)s2+(k2-5)S+k1-6
令f(s*)=f(s)，有 http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30yK2tfezN9PTdcXGtfezJ9LTU9MTZcXGtfezF9LTY9MTJc%0D%0AZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D
解得 http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31rX3sxfT0xOFxca197Mn09MjFcXGtfezN9PTVcZW5ke2Fy%0D%0AcmF5fQ%3D%3D
配置极点后出现零极点对消，系统不能观测。但传递函数只描述外部特性，故可达到目的。
[提示] 通过状态反馈配置极点改变闭环的极点，但是有可能出现零极点对消，出现对消后，系统不是能控且能观测的。而传递函数只描述系统的外部特征，所以是可以实现的。状态反馈极点配置的步骤：判断能控性；求期望特征多项式f(s*)；求引入反馈矩阵的特征多项式f(s)；令f(s*)=f(s)，得出反馈矩阵K。

24. 设系统状态空间描述为

y=[0 1]x
(1)画出系统的状态结构图；
(2)求系统的传递函数；
(3)判断系统的能控性和能观测性；
(4)求系统的状态转移矩阵Φ(t)和Φ-1(t)；
(5)当，u(t)=0时，求系统输出y(t)；
(6)设计全维状态观测器，将观测器极点配置在{-10+j10，-10-j10)处；
(7)在(6)的基础上，设计状态反馈u=v-Kx，反馈矩阵K，使系统闭环极点配置在{-5+j5，-5-j5}处；
(8)画出系统总体状态结构图。
答案:(1)原系统的状态结构图如图9-5所示。
http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555760/AId_688747/PIC/9.10C0FE6.jpg
(2)
(3)能控性判别矩阵rankM=2=n，故系统是状态完全能控的。
能观测性判别矩阵 rankN=2=n，故系统是状态完全能观测的。
(4)

(5)
(6)设观测器输出误差反馈矩阵，令
=s2+(5+g2)s+6+6g1+5g2=(s+10-j10)(s+10+j10)=s2s+20s+200
比较对应项系数得
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y301K2dfezJ9PTIw44CA44CA44CAXFw2KzZnX3sxfSs1Z197%0D%0AMn09MjAwXGVuZHthcnJheX0%3D 解得
(7)状态反馈u=v-Kx，设状态反馈矩阵K=[k1 k2]，令
=s2+(5+2k2)s+6-2k1+10k2=(s+5-j5)(s+5+j5)=s2+10s+50
比较对应项系数得
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y301KzJrX3syfT0xMOOAgOOAgOOAgFxcNi0ya197MX0rMTBr%0D%0AX3syfT01MFxlbmR7YXJyYXl9
解得
(8)整体系统状态结构图如图9-6所示。
http://221.174.24.96:801/YFQUESTION/YFVOICEPIC/DB_25/Catalog_9875/QId_555760/AId_688747/PIC/9.1376568.jpg
[提示] 本题是综合题，是控制系统的模型转换、定量和定性分析和控制系统的设计综合应用。

25. 已知线性系统的状态空间描述为
http://221.174.24.96:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9MSYw%0D%0AXFwwJjBcZW5ke2FycmF5fVxyaWdodF14K1xsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y30xXFwxXGVuZHth%0D%0AcnJheX1ccmlnaHRddVxceT1bMuOAgC0xXXjjgIDjgIBcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D
试求：(1)能控Ⅰ型；(2)能观测标准Ⅰ型。
答案:(1)能控性判别矩阵 rankM=2=n，故系统是状态完全能控的，故可求出能控标准型。
特征多项式
a0=0，a1=-1
选择变换矩阵Tc，使得

(2)能观性判别矩阵rankN=2=n，所以系统是状态完全能观测的。
选择变换矩阵To，使得

经坐标变换后的能观测标准Ⅰ型为

[提示] 利用线性变换，系统经非奇异变换，可以转化为各种标准型。