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最小二乘法数据拟合

设给定数据，
在集合中找一个函数
， (1)
其误差是
， (2)
使满足
(3)
是上给定的权函数。上述求逼近函数的方法就称为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(3)的函数称为上述最小二乘问题的最小二乘解。
并且有结论：
1)对于给定的函数表，，在函数类中存在唯一的函数，使得关系式(3)成立。
2)最小二乘解的系数可以通过解法方程
， (4)
作为曲线拟合的一种常用的情况，如果讨论的是代数多项式拟合，即取

那么相应的法方程(4)就是
(5)
其中，，并且将简写成“”。
此时，，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。

例：已知某高度传感器测得的数据如下表：
表1
序号
1
2
3
4
5
6
7
时间
（秒）
1
2
3
4
6
7
8
高度
（米）
2
3
6
7
5
3
2

试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合。

（一）算法：
解：取二次方多项式去拟合（当然也可以取三次、四次等，次数越高计算越复杂），

由式(5)可建立法方程组（其中取）
(6)

由表1的数据可以计算出
，，，，，，
计算结果列在表2中

1
2
3
4
5
6
7
求和
时间
（秒）
1
2
3
4
6
7
8
31
高度
（米）
2
3
6
7
5
3
2
28

1
4
9
16
36
49
64
179

1
8
27
64
216
343
512
1171

1
16
81
256
1296
2401
4096
8147

2
6
18
28
30
21
16
121

2
12
54
112
180
147
128
635

将表2中算得的结果代入法方程(6)，可得：

解方程组可得：

故所求拟合曲线为：

（二）用MATLAB编程求解：
多项式函数 使用 polyfit（x,y,n），n为次数

拟合曲线
　　x=[1,2,3,4,6,7,8];
　　y=[2,3,6,7,5,3,2];
　　解：MATLAB程序如下：
x=[1,2,3,4,6,7,8];
y=[2,3,6,7,5,3,2];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0:0.01:10;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')

计算结果为：

p =
-0.3864 3.4318 -1.3182