旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积.doc

旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积湖北省黄石市下陆中学周国强教学中常遇见旋转或平移情形下求图形阴影部分的面积类问题，其中的阴影部分或成一个整体或是零散分布，其形状或是规则图形或是不规则图形，其状态往往是动态的解决此类问题的关键是以静制动，化不规则图形为规则图形，再用相应规则图形的面积公式求解一、点旋转例1如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，将点C绕点D逆时针旋90至点E，连接AE，若AD3，BC5，则ADE的面积是 _ 析解：已知梯形的上下底长，这个梯形的形状、大小是不能确定的，所以腰长也不能确定，从而ADE的形状、大小亦不能确定，似乎ADE的面积不可求但据“点E是点C绕点D逆时针旋90得到，且梯形是直角梯形”在这样的特定条件下，考虑到梯形的上下底之差为一定值“2”，作EFAD，交AD的延长线于F，作CGAD交AD的延长线于G，则四边形ABCG是矩形，DG2，易证RtDEFRtCDG(角、角、边)，所以EFDG2，故ADE的面积等于ADEF323二、点平移例2如图2，半圆O的直径为10，C、D是半圆的三分点，点P是直径AB上任一点，则阴影部分的面积是_析解：由于点P在直径AB上平移（C、D点的位置不动），阴影部分的形状不规则且是不确定考虑到当点P运动到圆心O这一特殊位置时，所求图形面积是一扇形面积，故可将阴影部分的面积转化为扇形的面积来求于是连OC、OD、CD，因C、D是半圆的三等分点，所以AOCCODDOB60，所以OCD是等边三角形，所以CDAB，所以SS，从而SS，故阴影部分的面积扇形OCD的面积 三、线段旋转例3如图3，矩形ABCD的对角线AC和BD相交点O，过点O的直线绕点O旋转，分别交AD和BC于点E、F，若AB4，BC7，则图中阴影部分的面积是_析解：乍看，随着直线EF绕点O旋转，阴影部分总是零散分布且AOE和BOF的形状、大小都未确定，但因矩形对边平行，不难看出，只要点E不与点A或D重合，点F不与点B或C重合，总有SS或SS（因为BOFDOE，AOECOF），故可将零散分布的三块（阴影部分）集中到同一三角形ACD或BCD中去，即图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半：7414，事实上，当点E或F与矩形端点重合时，三块阴影部分变成两块阴影部分，其面积正好也等于ACD或BCD面积四、线段平移例4如图4，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为8和6，将BD沿CB方向平移，使D与A重合，B与CB延长线上的E点重合，求阴影部分的面积析解：本题虽有动态条件，但因菱形是确定的，所以阴影部分的形状、大小是确定的若整体求之，需知其形状到底是哪类四边形，由平移知，AEBD，ADEB，且AEBD6，因为ACBD，所以ADBC5，又AEBD，所以阴影部分的形状实际上是一个直角梯形，故其面积（3+6）418；若分割求之，则可分别求得两个三角形的面积后再相加（同学们不妨试试）五、图形的旋转例5如图5，汽车在雨中行驶时，司机为看清前方的道路，要启动挡风玻璃前的雨刷图是一个汽车雨刷示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？某同学仔细观察了雨刷的转动情况，量得CD8cm,DBA20,端点C和D与A的距离是115cm和35cm他经认真考虑，只选用了其中部分数据就求得了结果请你也帮助他算一算雨刷扫过的面积析解：雨刷扫过的面积是一个不规则图形的面积，需转化为规则图形面积来计算连AC、AD，不难看出：阴影部分的面积扇形ACC的面积+ADC的面积ADC的面积扇形ADD的面积，由于ADC是ADC绕点A旋转90得到的，所以ADC的面积ADC的面积，故阴影部分的面积扇形ACC的面积扇形ADD的面积（11532）300六、图形平移例6如图6，将O沿直线L平移得到O和O，且其中一个圆经过另一个圆的圆心，若O的半径为4，求图中阴影部分的面积析解：显然，由O平移知，图中阴影部分的面积等于一个圆的面积减去空白部分AOB O的面积的2倍（空白部分是对称的）连AB、O O、OA、OB，则AB与O O互相垂直平分（设垂足为C），因为OC OA，所以OAC30，从而A OB120，那么这个空白部分的面积等于24sin602，故图中阴影部分的面积为2（2）4事实上，由于图形阴影部分千姿百态，且题型多样，设及的知识面广，所以求图形中阴影部分面积是一项复杂的“工程”，受学段和本人水平所限，本文仅是投石问路、抛砖引玉罢了