浙大学生建模比赛范例一.doc

HIV与AIDS预测与防治模型

洪侃(3013001234)、周晨光(3013001233)、任寰(3013001235)
摘要：
本模型在多方案的探讨下逐步修正，在因素上多加考虑，使问题逐步逼近于真解。在解决问题过程中建立微分方程组，再对解的性态来进行探讨，利用了常微分方程稳定性的一般理论，并利用matlab 6.5，结合实际数据，对其轨迹的走向进行分析，求解出了一般流行病的理论阀值，并对政府对艾滋病的防治工作给予肯定和期望。
本模型使用于一般的艾滋病发生地，亦对现今我国艾滋病的发展趋势作了适当的估计。

关键词：
焦点，退化结点，平衡点（奇点），阀值，社会干预力量。

一、 一、     问题重述
传染病对人民的生活和一个国家经济的发展有很大的危害。近20年来象AIDS病、疯牛病、SARS等相继爆发，在全球蔓延。结核、白喉、鼠疫、登革热等一些老的传染病也重新抬头。
艾滋病是一种对人类十分有害的传染病，它是人体免疫系统被HIV（人类免疫缺陷病毒）破坏而使人体丧失了抵抗力，不能抵御那些威胁生命的病菌，从而使人体发生多种不可治愈的疾病，最后导致感染者死亡的一种严重传染病。它一般经过不安全的输血、吸毒、不洁性接触、母婴等传播方式在人群中流行。联合国艾滋病规划署和世界卫生组织估计，全球已有5310万人感染了HIV病毒，其中1880万已经死亡。艾滋病流行给社会经济带来巨大的损失，给家庭和个人带来无比的灾难。
艾滋病自国外传入我国后，传播迅速。自1985年发现首例艾滋病感染者以来，艾滋病在中国快速蔓延。据估计，到2002年底，中国HIV病毒感染者和AIDS发病人数累计估计已近100万。若不采取有力措施到2010年有可能增至1000万。
在分析HIV/AIDS的传播、预防和控制过程中，对感染者的数量、控制措施的有效性等定量描述和估计对政府和卫生防疫部门的决策有重要的帮助。请收集数据，根据HIV/AIDS的传染机理、传播过程建立数学模型来描述HIV/AIDS的传播情况，对HIV/AIDS传播规律进行分析，对HIV/AIDS感染数量进行预测。并根据你的模型和分析给报社写一篇短文，阐述问题的严重性，提出相应的建议。

二、问题的假设
1、人群分为三类：患者或感染者，易感染人群（高发人群），不易感染人群。
2、从病毒感染途径来考虑，仅考虑吸毒静脉注射，性活动混乱两个因素，因为通过这两者感染的病人在目前艾滋病人中占最大的比例。
3、不同模型之中的参数量不是一定的，而是会根据不同情况来设定的。即模型中的参数只在一定范围内有效，且当病情趋于恶化时，必须再适当调整其参数系数来对问题进行估计。
4、患者包括病人和HIV感染者，由于人口的流动，患者可与外界发生接触，并通过适当接触，使易感染者患病。实际中HIV感染者可以转变为病人，在本题中把他们化归为一个统一体，即患者。且患者在目前的科技条件中，并无康复的希望。
5、 5、符号说明：
x(t) t时刻患者人数（单位：万）；
y(t) t时刻易感染人群数目（单位：万）；
z(t) t时刻不易感染人群数目（单位：万）；
α 表示易感染者由于与患者接触而成为患者的几率；
β 表示由于病变所引起的病人死亡率；
γ 表示社会力量干预系数；
ε 表示患者对易感染者造成的影响力，病人多时，易感染者也增多，增长率与当时病人人数成正比。

三、模型的建立、求解及分析
模型I：
原理：
在不考虑防疫措施和病人多寡对易感染者造成的影响，可建立如下微分方程组：
即
由于该方程组形式简单，可直接解得：

亦可通过描线素场来确定轨线的走向：
y轴非负半轴各点均为奇点。

分析：
从图中可以看出，易感染人数y(t)不超过阀值时，病人x(t)将趋于0，而当易感染人数y(t)超过时，则患者越来越多，即将发生一个时期的流行，但易感染人数总是不断减少，当易感染人数减少至y=时，病人数目开始下降，且最终趋于0，可见上述模型对艾滋病简单且乐观。若按这种模型，易感染者人数只有减少，没有增加，易感染者大部都要转变为患者，以至死亡。艾滋病患者的“生力军”的减少，使得随着时间的推移，死亡成了艾滋病患者的归宿，艾滋病也将自然消亡。而事实上正是患者的多寡会对易感染者人数产生影响，才使得艾滋病得以蔓延。
鉴于此，建立模型II如下：
模型II：
原理：
考虑患者多寡对易感染者的影响，但不考虑防疫措施，即放任自流。
可建立如下微分方程组：

在没有采取防疫措施时，患者对易感染者的影响总要大于患者的死亡率，即，此时
可由(x(t),y(t))的线素场来大致推断起轨迹走向：
当或时，艾滋病必会发生大面积流行，以随时间的增长，x(t)会近似直线上升：x(t)。
当时，虽然易感染人群基数y(t)较小，但因无防治措施，使得易感染人群逐渐增多，积累至一定数量（大于后），也会发生大面积流行。
此模型中，易感染人群超过了定量（此量一般较大）为艾滋病的泛滥提供了滋生的土壤，以至最终会产生亡国灭种的大灾难。
鉴于无防疫措施产生的严重后果，社会力量的干预对艾滋病的防治就显得十分重要。

模型III：
原理：
既考虑患者对易感染者的影响，又考虑社会力量的影响。
社会力量根据现有患者和易感染人群的规模来调配合理的资源进行防治。一方面对一部分患者实施隔离，另一方面大力宣传艾滋病的预防注意事项。前者主要使得平均接触感染率变小，后者主要是使易感染人群的数目减少，在的右方添加一个(防治措施的强度与当时易感染人数成正比，与当时患者数目的平方成正比)。于是模型可修正为：

先求出奇点：
令
由(1)知：x=0或y=
若，代入(2)知，亦满足方程，说明y轴的非负半轴上的点均为奇点；
若，则，此时由(2)解得：

①当时，得到第一象限内唯一奇点

定理（证明附后）：当时，记
若，则为稳定焦点；
若，则为稳定单切结点。

由大致图像知：时，其动点坐标x(t)总会趋于附近，因此在社会力量的干预下，一般可将艾滋病控制在一定的范围内，这样便可控制艾滋病的扩散，进而为研制药物解决艾滋病问题提供了缓和时间。
②当时，即第一象限内无奇点。时，，x增大，
又，

即，即y减少
时，，即x减少

在时，依旧会减少，且在附近依旧会减小，可得到大致图形如左。
(1).易感染人数是疾病流行的阀值，当时，患者随时间的增加而单调递增，艾滋病发生流行。
(2).易感染人数时，若(x,y)在A区，艾滋病被逐渐消灭，而当(x,y)在B区时，随着时间推移，(x,y)趋于一个极限值，达到稳定平衡。
(3).易感染人数时，即使患者人数非常小，但由于一部分人的生活习惯不文明，对道德不够尊重，为艾滋病的流行提供了肥沃的土壤；
(4).易感染人数，即使患者人数相当多，但易感染人数较少，随着艾滋病患者大部分死亡，患者人数减少乃至消灭。此种疾病就不会再流行了。
（5）当，说明社会干预力量越大，越小，越易控制，反之将失控。

五、总结：
1、优点：本文建立了三个模型，逐个考虑一向易感染人群的因素，得出和实际较为符合的结论。结合模型I与实际说明患者对易感染人群影响较大。而模型II则进一步肯定了社会群体力量对艾滋病控制具有决定性的影响力，通过对社会干预系数的认识，模型III使用与大部分艾滋病的流行情况。
2、模型III可以再次调整x，y的次数，对模型作进一步实用性调整，有时仍可考虑线性近似。
3、缺点：没有把z(t)即不易感染人群考虑进模型，并排除了z对x，y的影响，在某种程度上依然是可忽略的。而z的增长速度教育社会力量的干预和y的人数有关。对总体人数也没有作一个明确的假定，只是考虑了人群中两个比较重要的类别，而对不易感染人群做了充分信任。

六、附录：
定理证明：
证明：考察模型III的非线形微分方程组在点的几乎线形系统。作如下替换：替换为x，替换为y，
得：

其特征方程为：

形式简记为：
其中：p=
q=
由常微分方程中初等奇点类型判断的理论可知：
必为稳定的奇点（焦点或结点），而不会是鞍点。
又由(3)知，在正半平面，y>0，x总是单调升的，故不会是双切结点或星形结点，即。
又由几乎线形系统与原系统奇点类型相同可知：
，为焦点，且焦点一定是顺时针绕向的；
，为单切结点。

七、参考文献：
1、 1、《数学建模》 杨启帆、方道元著
2、 2、《常微分方程及其应用——方法、理论、建模、计算机》周义仓等编著；
3、 3、《数学模型》姜启源著；
4、 4、《数学建模竞赛——赛题简析与论文点评》郝孝良等编著；
5、 5、《常微分方程教程》丁同仁、李承治合著
6、 6、《微分方程模型与混沌》王树禾著；

八、模型结论：
我们认为这个模型的建立是比较成功的，和实际情况也相当的吻合。得出的大致结论如下：如果没有政府的外加有效措施，结果将是病情的日益严重，对整个社会构成严重威胁；如果政府能够采取比较大的力度，那么病情将会稳定在一定的数值上，我们可以等待科技的发展，最终铲除这种病毒，而且在这个等待的过程中我们的死亡人数达到了最小的可能。因此，政府必须要切实采取有力和坚决的措施来控制疾病的蔓延，使我们的社会健康的发展。

对提出建议的支持数据：

（1）如果政府不采取措施有效加以控制，其结果在2010年将达到1000万，
M文件
function xdot = pan(t,x)
xdot=[-0.15*x(1)+0.0008*x(2)*x(1);
-0.0008*x(2)*x(1)+x(1)];
>> t_final=8; x0=[100;250];
[t,x]=ode45('pan',[0,t_final],x0);
plot(t,x),
figure; plot(x(:,1),x(:,2)); axis([0 2000 0 2000]);

（2）如果政府采取有效而大力措施，才能使艾滋病患者在一定时间内控制在一个稳定数量。
如果采取措施非常有效，艾滋病毒将被完全控制住，数目极少。但需要比较长的一段时间。

M文件
function xdot = xuanaomijia(t,x)
xdot=[-0.015*x(1)+0.0001*x(1)*x(2);
-0.0000001*x(1)*x(1)*x(2)-0.0001*x(1)*x(2)+0.01*x(1)];
>>t_final=500; x0=[85;200];
[t,x]=ode45('xuanaomijia',[0,t_final],x0);
plot(t,x),
figure; plot(x(:,1),x(:,2)); axis([0 500 0 1000]);