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数学夜自习讲评纲要
第一部分 初中知识复习
高等数学夜自习讲评纲要 第4页（共4页）
第一节 因式分解
1．因式分解的方法
○提公因式法
○公式法
a.平方、立方差公式
b.完全平方、完全立方公式
○☆十字相乘法
○☆求根分解法
【例】分解因式：

令所以可以得到

○☆待定系数法
【例】分解因式：

第二节 ☆整式（多项式）的除法（长除法）
【例】计算：（YBP5）
第二部分 高中知识复习

第一节 函数概念
1.1映射的概念（任一、唯一）
○函数是一种特殊的映射
1.2函数的表示方法
1.3函数的概念和图象（GSP369）
1.3.1 二次函数的图像与性质
1.3.2 分段函数的表达式与图像
1.3.3 函数的平移及伸缩变换
1.3.4 ☆复合函数（一层嵌套）
○单调性（同增异减）
增增→增 减减→增 减增→减 增减→减
○奇偶性（一偶则偶）
奇奇→奇 偶偶→偶 奇偶→偶 偶奇→偶
1.4函数的简单特性
1.4.1单调性：○定义证明○☆导数判断
1.4.2奇偶性：○定义判断○定义证明
1.4.3☆周期性
○定义域的无界性
1.5☆函数与方程
第二节 基本初等函数Ⅰ
2.1幂函数（为常数）
2.1.1分数指数幂
2.1.2☆幂函数的图像与性质

2.2对数函数
2.3指数函数
2.4☆反函数
2.4.1 反函数的产生与定义
2.4.2 反函数的图像特点
2.4.3 ☆反函数的特殊性（存在反函数的充分条件）
第三节 三角函数
3.1任意角、弧度
3.2任意角的三角函数的产生（YBP8）
3.3三角函数的图象和性质
○三角函数的平移及伸缩变换
3.4三角恒等变换
3.4.1三角函数的诱导公式
3.4.2两角和与差的三角函数
、、
3.4.3倍角公式（升幂公式）（YBP8）
（二倍角）

（三倍角）

3.4.4降（升）幂公式（YBP8）

3.4.5☆几个三角恒等式（YBP10）
a. ☆三角运算平方关系
b. ☆积化和差公式

c. ☆和差化积公式

3.4.6万能公式

推导过程：

3.4.7关于一般三角函数，（其中）
○等量关系：
○坐标变换
a.先伸缩，后平移
b.先平移，后伸缩
3.4.8 ☆三角函数（单位圆）中的不等关系
，
第四节 导数及其应用
4.1导数的概念

4.2导数的运算法则（降次运算）

4.2.1导数的基本运用
○判断函数的单调性
4.2.2复合函数的求导（链式法则）
4.3导数在研究函数中的应用
4.4导数在实际生活中的应用
4.5☆定积分
4.5.1 定积分的产生（圆面积公式的引入）
4.5.2 定积分的定义
4.5.3 定积分的基本计算
牛顿-莱布尼兹定理
4.5.4 定积分的基本性质
第五节 极坐标（YB12）
5.1 极坐标系的建立与极坐标中点的坐标表示
5.2 极坐标系与平面直角坐标系的转化（YB13）
① ②
第六节 常用几何图形（YBP13）
6.1 扇形和弓形

6.2 圆锥曲线
6.2.1 椭圆、双曲线、抛物线

第三部分 大一高等数学难点讲评

第一章 函数与极限
1.1 函数
1.1.1集合与区间
○邻域（GSP4）
1.1.2函数概念
○取整函数（GSP8）
1.1.3 函数的几种特性
○函数的☆有界性（GSP9）
1.1.4 反函数
○反三角函数（GSP14）
1.1.5 复合函数与初等函数
○复合函数（多层嵌套）
1.2 数列的极限
1.2.1误差的定义（GSP22）
1.2.2数列极限的定义与表示（GSP23）
存在常数只要，所对应的就都满足不等式：
则称常数是数列的极限，或称数列收敛于常数
我们记作或者
1.2.3数列极限的几何解释（GSP23）
1.2.4数列极限的证明思路（GSP24）
○由推得，其中为一包含且进行取整的函数（反解待定参数法）
1.2.4数列极限的理解
○误差是用来刻划与常数的接近程度。具有任意性和稳定性的双重意义。误差 的任意性刻划了与的无限接近；然而同时又具有相对稳定性，一经取定，它就确定了，这样就可以用有限形来表示无限接近于的过程。
○用来刻划的增大程度，要使，那么要变化到什么程度才可以。定义中表明了比大的各项：都满足。是否以为极限，关键是对，这样的是否存在。
○一般地，与有关，取得越小，其相应地就越大。如果存在，这样地就不唯一。
1.2.5数列极限定义的充要性
○反解待定参数法成立的前提
1.2.6收敛数列的有界性（GSP26）
证明流程：由数列收敛证得数列有界
1.2.7数列极限的其它性质
○唯一性：若数列收敛，则数列的极限是唯一的。
○子列的收敛性
在数列中任意抽取无穷多项并保持这些项在原数列中地先后次序，这样得到的数列称为原数列的子列。
若数列收敛，则的任一子列也收敛，且极限相同。
1.3 函数的极限
1.3.1自变量趋于有限值时函数的极限
○时函数的极限定义与表示（GSP30）
设函数在时有定义。如果存在常数并且只要自变量满足不等式，对应的函数值都满足不等式：
则称常数是时函数的极限值，我们记作或者
如果这样的常数无法找到即不存在，那么则称当时，函数没有极限
○时函数极限的几何解释（GSP31）
○时函数极限的证明思路（GSP31）
由推得，并且满足（反解待定参数法）
○函数极限定义的充要性
反解待定参数法成立的前提
○时函数的左、右极限（GSP32）
○☆单侧极限、函数极限存在的充要条件（GSP33）
若时函数有极限，那么此函数极限与左、右极限具有关系

或者
1.3.2自变量趋于无穷大时函数的极限
○时函数的极限定义与表示（GSP34）
设函数在时有定义。如果存在常数并且只要自变量满足不等式，对应的函数值都满足不等式
则称常数是时函数的极限值，我们记作或者
如果这样的常数无法找到即不存在，那么则称当时，函数没有极限
○时函数极限的几何解释（GSP34）
○函数图像的水平渐近线（GSP35）
○局部保号性定理（GSP35）
若（或），并且，（或），当（或）时，恒不为且将与拥有相同的符号。
○局部保号性定理的推论（GSP35）
如果当（或当）时，函数≥，且（或），那么≥；若≤，则相应的有≤
1.3.3自变量趋于有限值时函数有极限的判定
○连续函数，在定义域范围内必有极限；
○有间断点的函数，又分为：
第一类间断点，在间断点有极限，这类间断点又叫可去间断点；
第二类间断点，在间断点没有极限，这样又可分以下两种情况：
a.左右极限存在但不相等，如阶跃函数（GSP33）
b.左右极限至少有一个不存在，如振荡或趋向无穷，如时，函数和函数就无极限
1.3.4自变量趋于无穷大时函数有极限的判定
○函数在无穷远点的极限，这个只要能判定此时函数值是不是趋向一个定数就能确定是有极限，否则无极限。如时，、都是没有极限的。
1.3.5
1.4 无穷小与无穷大
1.4.1无穷小
○无穷小的本质是一个当（或）时以0为极限的函数
○无穷小的性质定理
定理1：在自变量的某个变化过程中，函数有极限的充要条件是，其中是同一变化过程中的无穷小
定理2：有限个无穷小的和是无穷小
定理3：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。
1.4.2无穷大
○无穷大的本质是一个当（或）时不存在极限的函数
○无穷大的性质定理
定理4：在自变量的某个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为无穷小，且，则为无穷大