概率论在体育比赛中的应用.doc

合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）

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本科生毕业论文（设计）

题目： 概率论在体育比赛中的应用

系 部 数学系
学科门类 理 学
专 业 数学与应用数学
学 号 1007210002
姓 名 吴 禧
指导教师 沈 辰

2012年 5 月 1日

15

概率论在体育比赛中的应用

摘 要

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在现代快速发展的社会中，概率论作为一门研究随机现象的重要数学学科，在经济，管理，科学以及体育等许多领域内都有着十分广泛的应用并且发挥着重要的作用.可见概率论与我们的日常生活的方方面面有着非常紧密的联系.本论文是研究概率论在体育比赛中的应用，主要是通过一些人们常见的体育比赛项目中出现的涉及到概率论的相关知识的问题进行分析，说明和研究并最终解决.以增强大家对于概率论在体育比赛中的应用的理解，提高人们对于概率论在日常生活中应用的意识，同时也可以提高大家学习概率论的兴趣.
关键词：概率论 体育比赛 实际应用

ABSTRACT

In the modern world which develops fast, probability as an important math subject that research random phenomenon has a wide application in many fields such as economy, administration, science and physical education and has an important effect. We can see that probability has a very close contact with our daily life in many aspects. This essay is to research the practical application in sports tournament mainly through some common sports related to emerging probability theory analysis of the problem, and studies and final settlement. In order to enhance the probability theory in sports in the understanding of the application and the sense of practical application in our daily life with probability, at the same time, it can also enhance the interest of studying probability.
Key words: Probability Sports tournament Practical application

目 录

1.引言 1
2.预备知识 2
3.概率论在体育比赛中的应用 5
3.1概率论在射击比赛中的应用 5
3.1.1事件的独立性在射击比赛中的应用 5
3.1.2 n重贝努利实验在射击比赛中的应用 6
3.2概率论在乒乓球比赛中的应用 7
3.3概率论在网球比赛中的应用 8
3.4概率论在篮球比赛中的应用 9
3.5概率论在足球比赛中的应用 11
3.5.1全概率公式在足球比赛中的应用 11
3.5.2排列和组合在足球比赛中的应用 12
4.小结 13
参考文献 14

1.引言
在我们现在的生活的各个方面都与数学有着十分密切的联系，数学学科在我们生产和生活的几乎所有领域都发挥着重要的甚至不可替代的作用.概率论作为数学学科中一门重要的分支学科与我们的生产生活联系更加紧密.因此在现代社会人们对于概率论的相关应用已经越来越重视.概率论是主要研究随机现象的一门数学学科，所以学习并掌握好概率论对于分析研究以及解决生产生活中出现的随机现象有着很好的指导意义.
近年来，随着中国综合国力的不断增强经济持续快速增长，人们的生活水平已经越来越好.由于日常生活条件的日益改善以及党和政府的号召，广大人们群众能有更多的精力进行除学习工作以外的其他文艺体育活动.2008年的北京奥运会[1]，2010年的广州亚运会，2011年的上海游泳世锦赛和深圳大学生运动会这些近几年来我国承办的大型国际性体育盛会给包括中国人民在内的广大世界人民留下了非常深刻和美好的印象和记忆.这些大型体育盛会的举办不但提高的中国在世界的良好形象，也让许多中国人开始关注体育，热爱体育并且从事体育运动锻炼，这有助于提高中国人民的身体素质.
因为，人们对于体育比赛关注和热爱程度的普遍提高，概率论在体育比赛当中所起到的作用也就会越来越明显.的确，掌握好概率论对于现代许多体育比赛有很大的帮助.所以为了能使本论文的读者有很好的理解与认识，本文将会通过一些典型的体育比赛案例结合概率论相关知识进行解释说明，将概率论在体育比赛中的应用进行很好的总结.我相信读完本论文以后不仅能使读者的概率论知识有了更好的温故，而且对于体育运动也会更加热爱.

2.预备知识

组合
定义：从个不同的元素中任意选取个元素合成一组（不考虑元素间的顺序），则称这个是一个组合，这种组合的总个数表示为
其中

概率的定义和性质

定义：随机事件发生的可能性的大小的数值，称为随机事件发生的概率，记作

性质：
1.非负性：即；
2.规范性：即若是必然事件，那么则有；
3.有限可加性：即假如事件和事件互不相容，那么则会有；

条件概率与乘法公式[2]

条件概率：如果两个事件是条件下的两个随机事件，，则称在事件发生的前提条件之下事件 发生的概率为条件概率，并记作.其中.
乘法公式：由 ，我们可以得到,此等式即为乘法公式.

事件的独立性

独立性：对于任意的两个事件和，如果成立，那么则称事件和是相互独立的，并简称为独立的.

全概率公式和贝叶斯公式

完备事件组：如果事件满足以下两个条件
1.互不相容并且
2.
则是一个完备事件组
.
全概率公式：设随机试验对应的样本空间为，设是样本空间U的一个完备事件组，是任意一个事件，那么有

贝叶斯公式：设是样本空间的一个完备事件组，B是任意一个事件，并且则有

重贝努利实验

重要定理：在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则那么事件恰好发生次的概率即为:
离散型随机变量

离散型随机变量的定义：若随机变量只取有限多个或者可列的无限多个值，那么则称为离散型随机变量.

离散型随机变量的分布列：设为离散型随机变量，可能的取值为,且,,那么则称为的分布列.分布列也可以用如下表格形式来表示。

…

…

…

…

分布列所具有的性质：
（1）
（2）

随机变量的分布函数

分布函数的定义：设为随机变量，称函数为的分布函数.
分布函数的一些性质：
(1)
(2) 是单调不减函数
(3)
（4）右连续

连续型随机变量

连续型随机变量的定义：假如对于随机变量的分布函数,存在非负可积函数,使得对于任意的实数有 = ，于是我们则称为连续型随机变量，并且函数为的概率密度函数，有时简称为概率密度.

概率密度的性质：
1.
2.
3.
4. 设为的连续点，则存在，并且=

随机变量的期望

离散型随机变量的期望：设离散型随机变量的分布列为 ，那么则称和数为随机变量的数学期望，简称为期望.记作

连续型随机变量的期望：设连续型随机变量X的概率密度为，则称为随机变量的期望.记作

3.概率论在体育比赛中的应用

3.1概率论在射击比赛中的应用

射击这一运动是中国的一个传统优势项目，每届奥运会中国射击队都能夺得不少金牌和奖牌，因此中国射击队一直是中国奥运代表团的一个金牌大户，由于中国射击队每次奥运会都能取得很好的成绩，所以中国射击队一直受到大家的重视.射击这一运动与概率论有着十分广泛的联系.下面通过以下两个例子来探讨一下概率论在射击比赛中的应用.

3.1.1事件的独立性在射击比赛中的应用

下面请读者一起来探讨一下独立性在射击中的应用问题[3]：由于离2012年伦敦奥运会越来越近了，所以我国许多已经获得奥运会比赛资格的射击运动员们都在刻苦训练，积极备战，在国家队某射击训练馆中有甲乙两名射击运动员正在训练，两射击选手彼此独立地向同一目标进行射击，设甲选手射中目标的概率为0.7，乙选手射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率是多少？

运用事件的独立性的相关知识结合上题分析可得，设事件表示甲射中目标，事件表示乙射中目标，事件C表示目标被射击中，那么就有,又由于事件和事件都独立且,,所以有
所以综上所述目标被击中的概率为0.88

由以上事例我们可以看出事件的独立性在多人射击比赛中有着十分广泛的应用,对于同一目标进行射击时如果射击的人数越多则目标被命中的概率也就越大，与此同时我们还可以看出不同射击选手的射击命中概率并不影响其他选手的命中概率.

3.1.2 n重贝努利实验在射击比赛中的应用

问题一[4]：一年轻射击选手为了备战明年在辽宁省将要举行的第十二届全国运动会正在刻苦努力进行训练以争取为在所在的代表队能多拿金牌，一天射击训练中，该选手对同一目标独立的射击4次，每次射击的命中率为0.8，求（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率

分析：因为每次射击都是相互独立的，所以这个问题可以看成是4次贝努利实验

（1） 设事件表示4次射击恰好命中两次，所以所求的概率为

（2） 设事件表示4次射击中至少命中一次，事件表示4次射击都没有射击中，那么有,则有

综上所述恰好命中两次的概率为0.1536；至少命中一次的概率为0.9984

问题二：一射击运动员在一次日常训练中对一目标独立地进行射击4次，如果至少命中一次的概率为，求这个射击运动员射击一次命中目标的概率是多少？
分析：设事件A表示运动员4次射击全没有命中目标，事件B表示射击一次命中目标；则=1-==,那么= ,于是
因此这个射击运动员射击一次命中目标的概率即为

上述事例说明n重贝努利实验对于预测射击运动员命中目标次数的概率由很好的指导作用.当我们想预测射击运动员在若干次射击后命中目标的次数时就可以结合n重贝努利实验的公式进行计算预测.

3.2概率论在乒乓球比赛中的应用

乒乓球是中国老百姓都很喜欢的一项运动，在中国经常打乒乓球的人很多，而且高手也很多.乒乓球作为中国的国球一直受到许多中国人的重视与关注，当然中国乒乓球队自成立到现在始终在世界乒乓球坛以王者自居，而且为我们祖国取得了无数的冠军和荣誉，中国乒乓球队不仅是中国人的骄傲也是亚洲甚至世界的骄傲.面结合概率论的一些知识我们来谈一谈概率论在乒乓球比赛中究竟有哪些应用.

相关问题一：现在许多乒乓球单打比赛中都规定，在五局的比赛中赢三局比赛的运动员获胜，甲乙两名运动员在每一局比赛中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，当比赛前两局结束时，甲以2:0暂时领先，求甲在以后的比赛中家获胜的概率是多少？

结合上述题目我们进行分析，已知前两局比赛就结束时甲以2:0暂时领先，所以第三局比赛如果甲再次取胜，那么甲就将赢下这场比赛；但是如果第三局比赛如果乙获胜的话，甲想获得本场比赛胜利必须在第四局比赛中战胜乙；然而如果乙接连赢下第三第四局的话，甲如果想获胜必须在第五局中打败对手乙.

因此设事件表示甲获得胜利，那么=0.6+0.4×0.6+0.4×0.4×0.6=0.936
所以综上所述甲在以后的比赛中家获胜的概率是0.936

相关问题二：小王和小李两人都是乒乓球爱好者，两者都经常打乒乓球，一次小王想找小李进行一次乒乓球挑战，两人约定这次乒乓球挑战赛谁输了谁就要请对方吃饭，而根据以往小李与小王打过的比赛估计，小李每局比赛战胜小王的概率为0.4，而小王战胜小李的概率却为0.6，那么选择哪一种比赛场次对小李更有利一些呢？是三战两胜，五战三胜，还是七战四胜？[5]

看到了小李的困惑，我们应该用我们学过的概率论的相关知识来帮助他解决他心中的疑虑，所以结合上述的条件，我们来进行具体的分析[6]

对于小李而言，如果他选择了三局两胜，事件表示小李前两局均获胜，事件表示前两局比赛，小李和小王各胜一局，第三局小李获胜从而小李取得最终胜利.
则，所以采取三局两胜制时，小李获胜的概率为

如果小李选择了五战三胜的话，设事件表示小李前三局全胜；事件表示小李前三局赢了两局，第四局战胜了小王，最终获胜；事件表示小李和小王前四局各赢两场，第五局小李获胜.

那么由上述,,则所以选择五局三胜制时小李获胜的概率为

如果小李选择了七战四胜制的话，设事件表示小李前四局全胜；事件表示小李前四局赢了三局，第五局获胜；事件表示小李前五局赢了三局，第六局战胜了小王，；事件表示小李和小王前六局各自赢了三局，第七局小李胜利.

那么由上述条件， ,，
那么选择七战四胜制时小李获胜的概率为:

所以由上述三种情况可以看到，比赛的局数越少，小李获胜的概率就越大，所以小李选择三局两胜制更有利于他自己. [7]同时从上面这三种情况我们也可以总结出一种比赛设置的局数越多越有利于实力占优势的选手或者队伍，从而也就越公平公正，而比赛局数设置的过少，则有利于实力稍弱的选手或队伍，这种情况下往往容易出现爆冷的情况，因此一种体育比赛设置合理的局数是十分重要的.所以我们可以看到在一些大型重要比赛的决赛中设置的局数都相对较多：比如NBA总决赛的七战四胜制；斯诺克台球世锦赛决赛的35局18胜制等.这样设置的目的都是有利于实力强的一方，从而保证了比赛的公平和公正.

3.3概率论在网球比赛中的应用

2011年中国网球金花李娜在网球场上不断给大家带来惊喜，2011年1月举行的澳大利亚网球公开赛上李娜一路杀进到了决赛，虽然最终没有获得冠军，但是却让许多中国人为她感到骄傲，随后的法国网球公开赛，中国金花李娜在法网女单决赛中以2:0击败了上届法网冠军意大利选手斯齐亚沃尼夺得了中国网球史上甚至是亚洲网球史上的第一个女子大满贯单打冠军.由于李娜的不断突破以及中国网球的崛起，网球这一运动也越来越受到中国人的关注和支持，并且越来越多的中国人加入到了这一世界流行的运动中促使了中国网球运动不断提高和进步.

下面我们就网球运动涉及到的概率论知识进行讨论
在打网球时我们常常会遇到机会球,对于机会球的处理许多业余网球运动爱好者往往会用尽全力去打以求一击得分,而对于那些职业运动员在这种情况下却只会用七八成左右的力去处理并进行连续攻击.看过网球比赛的人都知道很明显职业网球运动员处理机会球的方式更加合理有效，而业余运动员处理的方式却有不小漏洞并且经常会使自己失分.下面我们来用概率知识对上面的现象加以解释:
问题举例:网球比赛时对处理机会球一拍狠击和多拍连续击打的得分概率的比较
在前一种情况下，一拍狠击的打法,如果成功的话,则对方回球失误概率高达0.8（即对方可能回球出界，可能回球下网也可能接不住球）.但是如果球被对方防回,则进攻方因为在第一次击球时已经用尽全力无法进行有效的防守而容易导致进攻方自己反而因此防不住对手的回球而失分，这种情况是许多网球选手不愿意看到，可是这种情况在网球场上却时有发生，有时在一些级别较高的比赛上（比如四大满贯）也可以经常看到这种情况.
而在后一种情况下，连续进攻打法假如第一拍打中,对方回击失误概率为0.7,如果球被对方防回,但是由于进攻方在第一次击球时没有用尽全力便可以防住对手的回球,假设进攻方连续的第二拍攻击打中并且能使对方回球失误的概率保持在0.7 .

那么我们来把上述两种情况的得分概率进行一下比较：
在前一种情况之下的得分概率为=0.8＋(1-0.8)×0=0.8；
而在后一种情况之下的得分概率为=0.7＋(1-0.7)×0.7=0.91；
所以我们根据上面的两种情况可以归纳总结出
如果再连续击打三拍的得分概率为=0.7＋(1-0.7)×0.7+（1-0.7)×(1-0.7)×0.7=0.973
连续击打四拍的得分概率为=0.7＋(1-0.7)×0.7＋(1-0.7)×(1-0.7)×0.7＋(1-0.7）×（1-0.7)×（1-0.7)×0.7=0.9919
所以当连续击打了n拍时的概率为=0.7＋(1-0.7）×0.7＋(1-0.7）×（1-0.7）×0.7＋…＋(1-0.7）n-1×0.7≈1

当n趋向于无穷大时，进攻方得分的概率可以接近到100%，[8]所以这就解释了为什么有经验的职业网球运动员在遇到机会球时往往只会用七八成左右的力进行连续攻击而不是寻求一击制胜，因为这样他们得分的概率会更大，对自己会更有利.以上就是用我们熟悉的概率论的知识解决了网球中出现的机会球的处理问题.希望能给读者一些启发和思考，也希望能给希望打网球的爱好者一些有益的启示.

3.4概率论在篮球比赛中的应用

近年来随着姚明，林书豪等越来越多的中国或者华裔球员在NBA取得成功以及NBA在中国市场的成功运作使得NBA在中国越来越受到中国人的欢迎.在在中国许多中国人特别是年轻人们特别喜欢篮球这项运动，他们经常打篮球，看篮球，热爱篮球给他们带来的快乐.在在中国看NBA比赛成为了一种时尚.
现在由于在中国看NBA比赛直播的人越来越多，所以人们对于比赛结果的预测越来越感兴趣，尤其是对于季候赛的预测.下面我就利用概率论中数学期望的一些知识来解释说明概率论在篮球比赛中到底有哪些应用. [5]

问题举例：2011年4月底NBA的季后赛大幕正式拉开，竞争更加激烈的比赛开始了.在东部联盟的首轮八只球队对阵中，最受人关注的是常规赛排名第一的芝加哥公牛队和排名第八的印第安纳步行者队的比赛.因为大家都很关注公牛队的NBA历史上最年轻的MVP-罗斯的表现.根据NBA赛制规定，NBA季后赛实行的是七战四胜制的赛制（即比赛双方中先取得四场比赛胜利的球队淘汰对手晋级下一轮比赛）对于这一轮比赛大家有不少人对这轮比赛的可能场次进行了预测，有的预测要打四场，有的认为打五场，有的觉得可能打六场，甚至还有人认为会打七场比赛.既然如此我不妨用期望的知识来对比赛场次进行预测以解决大家非常关心的问题.

由于芝加哥公牛队是公认的强队，所以我们假设每场比赛公牛队获胜的概率为，步行者队获胜的概率为，由于比赛双方中先取得四场比赛胜利的球队可以淘汰对手晋级下一轮比赛，所以这一轮比赛结束时所进行的场次数只能为四，五，六，七这四种结果.下面我们进行分析.

假设比赛结束时进行了四场比赛，如果公牛队获胜晋级则概率为,
如果是步行者队获胜晋级则概率为
因此比赛结束时进行了四场比赛的概率为

假设比赛结束时进行了五场比赛，如果公牛队最终获胜晋级，那么公牛队获得了第五场比赛的胜利，则在前四场比赛中公牛队已经赢了其中三场比赛，那么公牛队前四场比赛赢了三场的概率为,因此公牛队赢下此系列赛的概率为.但假如是步行者队最终获胜晋级的话，那么步行者队赢得了第五场比赛而且前四场比赛获得了三场比赛的胜利，所以步行者队获得此系列赛胜利的概率应为因此比赛结束时进行了五场的概率为

假设比赛结束时进行了六场比赛，如果公牛队最终胜利晋级，那么公牛队获胜晋级的概率即为，如果步行者队最终赢得比赛晋级的话，那么步行者队获胜晋级的概率为 所以比赛结束时进行了六场比赛的概率为

假设比赛结束时进行了七场比赛，如果是公牛队最终获胜晋级，则公牛队获胜晋级的概率为，最终如果是步行者队赢得胜利晋级下一轮，那么步行者队晋级的概率应为，那么比赛结束时一共进行了七场比赛的概率是

由以上讨论的情况做成随机变量的分布列

4
5
6
7

0.1552
0.2688
0.29952
0.27648
则以上随机变量的数学期望为 =
那么由上述期望结果我们可以大约算出芝加哥公牛队与印第安纳步行者队的第一轮比赛大约要进行5场或者6场. [9]
由上述可见，学好期望对于以后预测NBA季后赛甚至总决赛场次数有很大的帮助作用和指导意义，当然这也适用其他与之类似的体育比赛的预测.

3.5概率论在足球比赛中的应用
3.5.1全概率公式在足球比赛中的应用

足球号称世界第一运动，因为在全球范围内无论是哪个国家或者地区都有许多喜欢足球，热爱足球甚至从事足球这项运动的人.四年举行一次的世界杯更是球迷们的狂欢节.中国同样有许多热爱足球的人,中国国家队水平不高经常让中国老百姓失望，但是这丝毫不会减少大家对足球的热情，作为一个中国人我希望中国足球会越来越好.
下面我们来看看大家都喜爱的足球与概率论到底有哪些关联

相关问题：在某届欧洲杯足球比赛上，西班牙，德国，英格兰和荷兰队进入到了四强，这四支球队中的一支将有希望最终夺冠.决赛四强对阵情况是西班牙对阵英格兰，而德国将与荷兰队争夺另一个进入决赛的名额，由于四支球队都是强队，所以两场半决赛将会十分激烈.先比赛完的一场半决赛中世界第一西班牙队战胜了英格兰队率先进入了决赛，大家此时都将目光放到了西班牙队上，根据以往的比赛成绩，西班牙战胜德国的概率为0.8，战胜荷兰队的概率为0.3，而德国队战胜荷兰队的概率为0.5，那么西班牙球迷迫切想知道西班牙队最终能获得冠军的概率究竟是多大？

对于上面西班牙球迷十分迫切关心的问题，让我们来利用概率的知识来帮助他们解决他们心中的疑虑.
由于西班牙队已经率先挺进决赛，所以还没有完成的德国和荷兰的比赛对于最终的冠军归属有很大的影响，如果德国战胜了荷兰队，那么西班牙队就有80%的可能性夺冠，但是如果荷兰队取得了半决赛的胜利，那么西班牙队夺冠的希望只有30% 根据以上条件，把西班牙队夺冠记为事件，德国战胜荷兰记为事件，而荷兰战胜德国则记为事件.由全概率公式，则是一个完备事件组，那么有公式就可以得出

其中可以看出以及是条件概率,表示西班牙在决赛战胜了另一场半决赛的胜者德国队夺冠,=0.8,表示西班牙队在决赛战胜了另一场半决赛的胜出者荷兰队夺冠,=0.3.

所以根据上述公式（全概率公式）我们就可以计算出西班牙队最终夺冠的概率为
=

所以西班牙队最终夺冠的概率应该为55%[10]
看到了西班牙队的最终夺冠的概率，西班牙队的球迷应该可以松一口气，好好享受西班牙队在决赛上的精彩表演啦，因为西班牙队夺冠概率还是比较大的.以上是利用了全概率公式的知识解决了足球比赛中的常见问题，希望能给读者和球迷一些帮助.

3.5.2排列和组合在足球比赛中的应用

每次举行一些足球比赛时经常要事先安排好比赛场次，为了能使足球比赛顺利进行.下面就是举办足球比赛时经常遇到的一类问题.

某大学要举行一次校园足球比赛以增强大学生的体质，学校规定每个学院至少要派出一支球队参加这项赛事，最终一共有12支球队参加这次比赛.这12支球队要进行单循环比赛来决出最后的冠军，那么一共需要安排多少场比赛才能保证比赛顺利进行？

通过以上问题的条件分析，可以知道这是概率论中典型的排列组合问题，即从12支球队中任意选取2支球队进行组合的一类问题，所以选法一共有
==66

所以一共需要安排66场比赛才能保证比赛顺利进行.

可见排列和组合对于计算足球比赛需要安排的场次数由很大的帮助.

4.小结

通过第二章的一些概率论的一些简单知识的温故以及第三章所举出的射击，乒乓球，网球，篮球和足球比赛中涉及到的与概率论有关的应用举例，我们可以很清楚地发现，概率论在体育中的应用实在是太广泛了，所以无论是何种体育运动项目，只要我们仔细观察我们就可以发现与概率论有联系的方面，的确体育比赛与概率论有着十分密切的联系，同时体育比赛也离不开概率论.
本论文举出了一些读者十分熟悉的一些体育比赛并结合这些体育比赛中出现的各种问题用我们所学过的概率论的知识加以解释和说明，这不但能使读者发现概率论在日常体育比赛中的灵活应用，而且还能使读者感到概率论是一门与我们生活联系紧密同时又非常有趣的学科，我相信读过本论文后会使读者对概率论有更新更好的理解和认识.
与此同时，对于体育爱好者而言，阅读过此论文以后也能收获许多东西，比如篮球爱好者可以通过数学期望预测季后赛比赛大约场数，足球爱好者通过学习全概率公式可以预测自己所支持球队夺冠的概率到底有多大，网球爱好者或运动员能够更好地处理半机会球，乒乓球羽毛球或者斯诺克爱好者可以根据自己的实力情况制定出有利于自己的比赛场数。由此可见概率论对于体育比赛有着很大的帮助，学习好概率论你会发现在任何体育比赛中都可以解决一些复杂问题，从而使体育比赛更加有趣，更加有吸引力，同时也更有利于你.
当然，概率论的用途不仅仅只限于体育比赛中，在我们日常生活的各个方面都存在概率论的身影，可见概率论的应用范围是十分广泛的，概率论与我们的生活联系是非常紧密的，因此学好概率论对于我们生活许多方面都有很好的指导作用.

参考文献

[1] 曹宏举.从北京奥运会看概率在体育中的体现和应用 [J].高等数学研究, 2010.7:55-57.
[2] 魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2008.4;33-35.
[3] 柳金甫，王义东.概率论与数理统计[M].湖北：武汉大学出版社，2006:18-19.
[4] 辛小龙，刘新平. 概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2007.8:24-25.
[5] 杨颖.浅谈概率论在比赛中的应用[J]. 科技资讯2008，1：204.
[6] 曹宏举.一些体育项目竞赛规则的概率学分析  [J].中国城市经济,2011,17:227-22..
[7] 张德然，刘玉霞.强弱对擂弱者的最优选择 [J]. 数理统计与管理，1994.6:51-52.
[8] Finklestein J M,Schafer R E. Improved Goodness of Fit Tests[M].Biometrika ,1971(58)：55-57.
[9] 杨先伟.数学期望在体育比赛中的应用[J].无锡：无锡职业技术学院学报，2009.10：42-43.
[10] 陈家鼎，刘婉如，汪仁官.概率统计讲义[M]. 北京：高等教育出版社，2004.5:32-36.

致谢
这次我的毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是由沈辰老师全面和具体的指导之下进行的．沈老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘．沈老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作．在此还要感谢帮助过我的同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励．我要在这里对他们表示深深的谢意！
感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们这些年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆．