链接3-拉氏展开.doc

链接2—行列式按行（列）展开（Laplace展开）：
引理 如果阶行列式的第行除外的其余元素都为零，则这个行列式等于与其代数余子式的乘积，即。
证 先证最简单的情况：设
，
这是前节例3（“切块”）中时的情况，由例3的结论，即有。又因，故得。
再证一般的情况：设的第行除外的其余元素都为零：

将的第行依次与上面的行逐行对换，再将第列依次与左面的列逐列对调，共经次对调，将调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为，则
，
而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已证的结果有，因此
。◆
定理1.2 阶行列式的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于的值，即
， (1.13)
或 。
证 任选的第行，把该行元素都写作个数之和：

++，
由引理即得
。
这称为“按第行展开”，按第列展开可类似证明，即
。◆
这个定理称为行列式按一行（列）展开法则（Laplace展开）。
Laplace展开为行列式化简提供了又一种思路：将阶行列式的计算化为阶行列式的计算，这称为降阶。
补例1： 设，求其展开式中项的系数。
解： 将按第一行展开：
，
则可见项的系数为的代数余子式。
例1：（p.19例1，黑板演算示范）用降阶法计算

补例2： 计算n阶行列式

解法一：按第一列展开：

便得到一个递推公式： 。
但用此式较难递推，将其变形为：
。
用此公式递推可得：
。
而，，故首先递推得：
。
由此再作递推：
。
解法二：得到递推公式后，用数学归纳法。易见
； 。
假设 ， ，
则得
。
例2： 证明范得蒙行列式：

其中
。
证 用数学归纳法：当时，
，
等式成立。假设等式对阶范得蒙行列式成立，即。则对n 阶范得蒙行列式：

按第一列展开并提取公因子，得
。
后面的行列式是一个阶范得蒙行列式，由归纳假设可写作
，
代入上式便得
。
例3：（p.21，板书示范。）（注：书上的“上下翻转”、“左右翻转”的提法不好，应改为“换行换列”，与性质对应，便于搞清产生了几个负号。）
例4：（p.21，板书示范，多介绍几个做法。）