高二数学 讲义：圆锥曲线与方程.doc

讲义：圆锥曲线与方程

内容讲解：
一、椭圆与方程
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长 长轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率

3、椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：
设是椭圆上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．
4、弦长公式
若直线与圆锥曲线相交与、两点，则
弦长

典型题型：
例1、已知方程表示椭圆，求的取值范围．

练习：已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( )
A -1<k<1 B k>0 C k≥0 D k>1或k<-1

例2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．

例3、椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

例4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______

例5、已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

练习：已知直线l:y=2x+m，椭圆C：，试问当m为何值时：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
例6、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

练习：已知斜率为1的直线l经过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.

练习：已知椭圆C：，直线l:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA⊥OB

例7、椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)，点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为_____

二、双曲线与方程
1、双曲线的定义
16、 第一定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
当时, 的轨迹为双曲线;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为以为端点的两条射线
（2）双曲线的第二定义
平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线.
设是双曲线上任一点，点到对应准线的距离为，点到对应准线的距离为，则．

2、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形

标准方程

范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长 实轴的长
焦点
、
、
焦距

对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率

准线方程

渐近线方程

3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.；
4、以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．
与双曲线共轭的双曲线为

典型例题：

例

练习：若方程表示双曲线，求的取值范围.

例2、已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

例3、（1）下列曲线中离心率为的是（ ）
Ａ. 　Ｂ. Ｃ. Ｄ.
（2）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
（3）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B . C . D.

例4、
（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；
（2）是否存在直线l，使点为直线l被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。

三、抛物线与方程
知识要点：
1、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
2、抛物线的几何性质：
标准方程

图形

顶点

对称轴
轴
轴
焦点

准线方程

离心率

范围

3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
4、焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；

典型例题：
例1、点M与点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

例2、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值

练习：求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上

例3、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

练习： 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是（ ）
A. B. C. D.
例4、设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

课后作业
1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线

2、若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是
3、椭圆的离心率为，则
4、求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。

5、已知直线l：y=2x+m与椭圆C：交于A、B两点
(1) 求m的取值范围；
(2) 若|AB|=，求m的值.
6、过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是

7.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
（A） (B) (C) (D)
8. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，
则双曲线的标准方程为______________________
9.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为_______________________

10. 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程.

11、 (1)已知抛物线的标准方程是x2＝4y，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．

12、已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，求p的值为______．

13、焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程为( )
A．x2＝16y或y2＝16x B．y2＝16x或x2＝12y
C．y2＝16x或x2＝－12y D．x2＝16y或y2＝－12x
14、抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B. C. D. 0