电路课程研究性实验.doc

电气1291班测试题
1、 列车在平直线路上以20的速度行驶，当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。
3、 有高100cm 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm(如下图)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度（水面与孔口中心间的距离）随时间变化的规律。

(提示：水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率），其中0.62 为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度，为容器里水面的高度)

4、设河边点的正对岸为点，河宽两岸为平行直线，水流速度为，有一鸭子从点游向点，设鸭子（在静水中）的游速为，且鸭子游动方向 始终朝着点，求鸭子游过的迹线的方程。

5、质量为的质点受力的作用沿作直线运动。设力仅是时间的函数：。在开始时刻时，随着时间的增大，此力均匀地减小，直到时，。如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律。

6、一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面。求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）。
7、设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间的变化规律.

8、设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落。取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点。记为重力加速度常数。试求物体下落的距离随时间的变化规律。
9、在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为，并且假定周围空气的温度保持不变，试求出尸体温度随时间的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

10、设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.

11、某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C0, 为了降低车间内空气中C0的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C0的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C0百分比降低到多少?

12、在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？

13、碳14()是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.

14、设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A点沿垂直于OA的直线以等速向正北行走；甲从乙的左侧O点出发, 始终对准乙以的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.

15、如图是由电阻R、电感L及电容C（其中R,L,C是常数）串联而成的回路, 时合上开关, 接入电源电动势。设
且初始电量和电流均为0, 求电量和电流

16、设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.

17、在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，碳14与碳12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？（提示：碳14()是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质。在活体中，碳14的数量与稳定的碳12的数量成定比，生物体死亡后，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。）

18、一个煮熟了的鸡蛋有98摄氏度，把它放在18摄氏度的水池中，5分钟后，鸡蛋的温度是38摄氏度。假定没有感到水变热，鸡蛋到达20摄氏度需多长时间？

19、设有长度为的弹簧，其上端固定，用5个质量为的重物挂于弹簧下端，使其伸长了，今取去其中一个重物，使弹簧由静止开始振动，若不计弹簧本身重量，求所挂重物的运动规律。

20、一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦力, 求链条滑下来所需的时间.

21、有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.

22、在某池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼1000尾。在时刻，鱼数是时间的函数，其变化率与鱼数及成正比。已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾，求放养月后池塘内鱼数的公式。
23、求曲面与曲面所围成的立体的体积。
24、求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线的转动惯量。
25、设薄片所占的闭区域为介于两个圆,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。
26、求球面含在柱面() 内部的面积。
27、求由曲面及所围成的立体的体积。
28、设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域由直线和轴所围成，薄板上分布着面密度的电荷，且在上连续，求该薄板上的全部电荷。
29、设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。
30、设一均匀的直角三角形薄板，面密度为常量，两直角边长分别为，求该三角形对其中任意直角边的转动惯量。
31、一曲面与围成的漏斗盛满液体，斗内任意点处的液体密度为，求斗内液体的质量。
32、设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线到时重力所作的功。
33、作图并计算由平面，平面z=0，柱面所围成的立体体积．
34、计算抛物面在平面z=1下方的面积．
35、行李大小
中国民航对中美、中加国际运输航线上免费交运的行李是这样规定的：每人免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过158厘米，但两件之和不得超过273厘米，又每件最大重量不得超过32公斤，试问这两个箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？

自动化1291班测试题
1、 求平面和柱面相交线上的最低点。
2、 求平面和柱面相交线上的最高点。
3、 求曲面的最低点。
4、 求曲面与平面的交线上的最低点。
5、 一窗子上半部是半圆，下半部是矩形。若窗子周长固定，试求何时窗子的面积最大。
6、 要建造一个表面积为108的长方形敞口水池。问水池的尺寸如何才能使容积最大。
7、 欲将一半径为的铁球加工成长方体。当长方体的长宽高分别为多少时，长方形的体积最大。
8、 求原点到曲线的最短距离。
9、 求原点到曲线的最长距离。
10、 求点到部分球面上的最长距离。
11、 求点到部分球面上的最短距离。
12、 已知强度为的电流通过电阻R时，单位时间内所产生的热量为。今把电流（常数）分配到电阻分别为的三个元件上。试问3个元件的电流成何比例时，则单位时间内在三个元件上所产生的热量总和最小？并求热量总和的最小值。
13、 有一店里传输线由三段组成，各段长分别为。这条传输线所允许的电压降为伏特。每段电流强度依次为安培。试计算这条传输线各段的截面积，使此传输线所用铜的份量最小。（电阻系数为）
14、 设生产函数，K为资本数量，为劳动力数量，，为常数，的价格为，的价格为，求两种投入要素的最佳组合比例（多要求投入组合在各种投入要素每增加1货币单位的投入所增加的边际产量都相等时，组合比例最佳）

15、 某企业，为熟练人工数，为普通人工数，若其工资分别为元和元。若该企业熟练工与普通工各占一半。问其比例是否最佳？并求最佳组合的工资比例。（多要求投入组合在各种投入要素每增加1货币单位的投入所增加的边际产量都相等时，组合比例最佳）
16、 设某企业在两个隔离市场，出售同一种产品。这两市场需求分别为，（为价格，为销售量）。总成本 []。若实行差别定价，求，两市场价格分别为多少时，利润最大。

17、 设某企业在两个隔离市场，出售同一种产品。这两市场需求分别为，（为价格，为销售量）。总成本 []。若实行统一定价，其价格为多少时，利润最大。
18、 设某公司生产两种产品，，需求函数分别为
（，分别为价格与销量）其联合成本为，求利润最大条件下两种产品的销量和价格，并求最大利润。

19、 为测定刀具的磨损速度，每隔1小时测量1次刀具厚度，的实验数据如下：
时间

0

1

2

3

4

5

6

7
厚度

27.0

26.8

26.5

26.3

26.1

25.7

25.3

24.8

根据上述数据建立和之间的关系。（提示：设，通过求最小值以确定a,b）
20、 已知过去几年利润和产量的数据如下：
产量（千件）

40

41

55

70

90

100
厚度（千元）

32

34

43

54

72

85
试求产量和利润的函数关系。（提示：设，通过求最小值以确定a,b）
21、 已知矩形的周长为24，将它绕起一边旋转而成一圆柱体。试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积。

22、 要做一个体积为2立方米的有盖长方体水箱。问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

23、 有一宽为24米的长方形铁板，把它两边折起后做成一个断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法能使断面的面积最大？

24、 要做一个体积为2立方米的无盖长方体水箱。问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

25、 设某企业在两个隔离市场，出售同一种产品。这两市场需求分别为，（为价格，为销售量）。总成本 []。若实行差别定价，求，两市场价格分别为多少时，利润最大。

26、 设某企业在两个隔离市场，出售同一种产品。这两市场需求分别为，（为价格，为销售量）。总成本 []。若实行统一定价，求，两市场价格分别为多少时，利润最大。

27、 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售商品的广告，据统计，销售收入R(万元)于电台广告费用x(万元)和报纸广告费用y(万元)之间的关系为，在广告费用不限的情况下，求最优广告策略。

28、 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售商品的广告，据统计，销售收入R(万元)于电台广告费用x(万元)和报纸广告费用y(万元)之间的关系为，在广告费用为1.5万元的情况下，求最优广告策略。

29、利用函数极值的思想解决实际问题：工厂A到铁路的垂直距离为3公里，垂足B到火车站C为5公里，汽车运费20元/吨公里，铁路运费15元/吨公里，为使运费最省，在M点建一转运站，且M在铁路BC间，问M应建在何处?
30、某旅游景点准备在两个山顶间设置一缆车索道，已知两山顶间相距200米，为施工方便，依山势建有一个塔，且塔顶与两山顶等高等距离，现在塔顶与山顶间悬挂索道，允许索道在中间下垂10米，且两部分下垂程度一致，请计算在这两个山顶间所用索道的长度．
（提示：1.由于塔顶与山顶等高等距离，故问题可转化为在等高且相距100米的塔顶与山顶间悬挂索道，则整个索道长即为塔顶与山顶间索道长度的2倍，下面来求塔顶与山顶间索道的长度．
2.由于空中缆车索道的曲线应满足悬链线方程：
x∈[－50,50]
而曲线的最低点（0,y（10））与最高点（50,y（50））相差10米，故有
y（50）=y（0）+10 即
求出a值，再求y值．）
31、 某企业在两个被分割的市场上出售同一种产品，根据市场需求，企业决定在市场甲内现场出售，后获现金R0=50（万元RMB）在市场乙内储存x年后按当时价格出售，第x年末可得收入为：R=R0（万元RMB），而银行利率为r=0.05，试为企业决策在市场乙内储存多少年时使得企业总收益最大?
32、某游乐场新建一鱼塘，在钓鱼季节来临之际前将鱼放入鱼塘，鱼塘的平均深度为6m，开始计划时每3m3有一条鱼，并在钓鱼季节结束时所剩的鱼是开始的25％，如果一张钓鱼证可以钓鱼20条，试问：最多可以卖出多少钓鱼证．鱼塘的平面图如图。

33、最佳存款
中国人民银行经过几次下调存款利率，目前银行整存整取的
年利率如下表：

存期
一年期
二年期
三年期
五年期
年利率%
2.25%
2.43%
2.70%
2.88%

现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存一万元，以供6年后上大学使用。若此期间利率不变，请为其设计一种存款方案，使6年后所获收益最大.并求出最大收益.

34、一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可以近似认为是圆轨道．通信卫星运动的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为R=6400km，问卫星距地面的高度h应为多少？试计算通信卫星的覆盖面积．
（提示：假设卫星距离地面高度为h．卫星所受的万有引力为，卫星所受离心力为．其中M是地球质量，m是卫星质量，ω是卫星运行的角速度，G是万有引力常数．根据牛顿第二定律得，整理得………………………………………（1）其中g为重力加速度常数．
Z

α
h

x

将g=9.8，R=6400000，代入（1）式就可以计算出h的值．
取地心为坐标原点，地心与卫星中心的连线为z轴建立坐标系，如图所示：
卫星的覆盖面积为

β

R
其中Σ为上半球面x2+y2+z2=R2(R≥0)上被圆锥角α所限定的曲面部分．
所以卫星的覆盖面积为
其中D为xoy上的区域x2+y2≤R2sin2β．
由于cosβ=sinα=R/(R+h)，因此积分区域为．
35、一座山，水平位置与高度满足函数Z=320-x2/500-y2/500，试设计一条坡度不超过300的路线直到山顶，并用图标出来．

36、一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1n mile处．我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度位0.42n mile/min，鱼雷速度位敌舰速度的2倍．试问敌舰航行多远时将被击中？
（提示：首先建立直角坐标系，设敌舰为动点Q(初始点为Q0(1,0)处)，鱼雷为动点P(初始点为P0(0,0)处)，如图所示：
y

Q

P(x,y)

P0(0,0) Q0(1,0) x

设敌舰的速度为v0，鱼雷的追击曲线为y=y(x) ．在时刻t时，鱼雷在点P(x,y)处，此时敌舰在点Q(1,v0t)处．由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰，而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y=y(x)的切线方向．所以
或

两边对x求导，注意横坐标x与时间t之间存在函数关系，故

即
(1)
由已知鱼雷的速度为2v0，即

因为，(x=x(t)是时间t的增函数)，所以

即
(2)
将(2)式代入(1)式得到y=y(x)满足的微分方程
，(0<x<1) (3)
另外由初始条件y(0)=0，y’(0)=0．
由(3)式中可以解出追击曲线y=y(x) ．）

37、A x

P(x,y)

B

y
如图， 一初始速度为零的质点，仅受到重力的作用，沿光滑固定的曲线由定点A滑行到定点B( B低于A，但不在同一铅直线上)．为使滑行的时间最短，问该曲线应为什么形状？
（提示：也许你会认为最速降线应该是连接A和B的直线段．牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球，其中一个沿着圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A 滑到B，结果发现沿圆弧的球先到达B点．
据能量守恒原理，一质点在一高度处的速度(初始速度为零)，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经过的路线无关．设质点质量为m，重力加速度为g，质点从A下滑到P(x，y)点时的速度为v，则
即 ．
以s表示曲线从A点算起到P(x，y)的弧长，有

由弧微分可得

从而整个下降时间t就是的积分，即确定函数y(x)使
(1)
取极小值．这是泛函中的极值问题．令，由变分法理论知(1)式满足下面的方程(对于一般的读者不必深究这一步中间过程)：

即

化简得 y[1+(y’)2]=c (2)
显然有初始条件 y(0)=0．
只要解出(2)式，并代入初始条件就知道了最速降线究竟是什么样的曲线．）