机器人技术机器人运动学及其数学基础省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,I.,机器人学,机器人学,机械电子工程,Dr.Kevin Craig,第1页,I.,机器人学,IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA),安克雷奇,文章：,856/2034,分会场：,154,国家：,47,IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems(IROS),圣路易斯,文章：,936/1599,分会场：,192,国家：,53,第2页,I.,机器人学,Technical Session,主要内容,Human robot interaction,Medical robotics,Sensor fusion,Legged robots,Underwater robots,Manipulator motion planning,Camera calibration,Intelligent transportation systems,SLAM:Features and landmarks,Humanoid robot body motion,Microrobots,Biologically-inspired robotic devices,Rehabilitation robotics,Field robotics,Grasping,Nanorobotic manipulation,Fish-like robot,Parallel robot ,第3页,第二章,机器人运动学及其数学基础,第4页,参考教材,美,付京逊,机器人学,中南大学,蔡自兴,机器人学,美,理查德,鲍尔,机器人操作手,数学,编程与控制,第5页,参考教材,美,付京逊,机器人学,美籍华人,普渡大学（,Purdue University,）电机工程专业著名教授,4,部著作、,400,多篇论文,第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模式识别之父,1985,年逝世,第6页,参考教材,中南大学,蔡自兴,中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名教授,中国人工智能学会智能机器人专委会理事长,曾与付京逊教授一起工作过,第7页,第一节 引言,第8页,串联机器人能够用一个开环关节链来建模,由数个驱动器驱动,转动,或,移动,关节串联而成,一端固定在基座上，另一端是自由，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务,关节,相对运动,造成杆件运动，使末端执行器定位于所需要方位上,在普通机器人应用问题中，人们感兴趣是：末端执行器相对于固定参考坐标数,空间几何描述,，也就是机器人运动学问题,机器人运动学即是研究机器人手臂,末端执行器位置和姿态,与,关节变量空间,之间关系,第9页,运动学研究问题,Where is my hand?,Direct Kinematics,HERE!,How do I put my,hand here?,I,nverse,Kinematics:,Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,第10页,哈佛大学,Roger Brockett,建立指数积公式,运动学,滚动接触,非完整控制,数学基础,-,刚体运动,参考文件：,机器人操作数学导论,作者：理查德,摩雷,李泽湘,夏卡恩,萨斯特里,翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）,研究运动学方法,第11页,1955,年丹纳维特（,Denavit,）和哈顿伯格（,Hartenberg,）提出了一个,采取矩阵代数方法,处理机器人运动学问题,D-H,方法，其数学基础即是,齐次变换,含有直观几何意义,能表示动力学、计算机视觉和,百分比变换问题,为以后百分比变换、透视变换,等打下基础,第12页,第二节,数学基础,齐次坐标和齐次变换,第13页,2.1,点和面齐次坐标,2.1.1,点齐次坐标,普通来说，,n,维空间齐次坐标表示是一个（,n+1,）维空间实体。有一个特定投影附加于,n,维空间，也能够把它看作一个附加于每个矢量特定坐标,百分比系数。,引入齐次坐标目标是为了表示几何变换旋转、平移和缩放,式中,i,j,k,为,x,y,z,轴上单位矢量，,a=,b=,c=,，,w,为百分比系数,显然，齐次坐标表示,并不是唯一,，随,w,值不一样而不一样。在计算机图学中，,w,作为通用百分比因子，它可取任意正值，但在机器人运动分析中，总是取,w,=1,。,列矩阵,一个点矢：,第14页,例,1,：,能够表示为：,V=3 4 5 1,T,或,V=6 8 10 2,T,或,V=-12 -16 -20 -4,T,第15页,齐次坐标与三维直角坐标区分,V,点在,O,XYZ,坐标系中表示是,唯一,（,a,、,b,、,c,）,而在齐次坐标中表示能够是多值。,不一样表示方法代表,V,点在空间位置上不变。,第16页,几个特定意义齐次坐标：,0 0 0 n,T,坐标原点矢量齐次坐标，,n,为任意非零百分比系数,1 0 0 0,T,指向无穷远处,OX,轴,0 1 0 0,T,指向无穷远处,OY,轴,0 0 1 0,T,指向无穷远处,OZ,轴,0 0 0 0,T,没有意义,2,个惯用公式：,点乘,:,叉乘,:,第17页,2.1.2,平面齐次坐标,平面齐次坐标由,行矩阵,P=a b c d,来表示,当点,v=x y z w,T,处于平面,P,内时，矩阵乘积,PV=0,，或记为,与点矢 相仿，平面 也没有意义,第18页,点和平面间位置关系,设一个平行于,x,、,y,轴，且在,z,轴上坐标为单位距离平面,P,能够表示为：或,有：,PV=,比如：点,V=10 20 1 1,T,必定处于此平面内，而点,V=0 0 2 1,T,处于平,P,上方，点,V=0 0 0 1,T,处于,P,平面下方，因为：,第19页,2.2,旋转矩阵及旋转齐次变换,2.2.1,旋转矩阵,设固定参考坐标系直角坐标为,Oxyz,，动坐标系为,Ouvw,，研究旋转变换情况。,初始位置时，动静坐标系重合，,O,、,O,重合，如图。各轴对应重合，设,P,点是动坐标系,O,uvw,中一点，且固定不变。则,P,点在,O,uvw,中可表示为：,、为坐标系,Ouvw,单位矢量，则,P,点在,oxyz,中可表示为：,第20页,当动坐标系,Ouvw,绕,O,点回转时，求,P,点在固定坐标系,oxyz,中位置,已知：,P,点在,Ouvw,中是不变依然成立，因为,Ouvw,回转，则：,用矩阵表示为,:,（,2-7,）,第21页,反过来：,2.2.2,旋转齐次变换,用齐次坐标变换来表示式（,2-7,）,第22页,2.2.3,三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵,三个基本旋转矩阵,即动坐标系 求 旋转矩阵，也就是求出坐标系 中各轴单位矢量 在固定坐标系,中各轴投影分量，很轻易得到在两个坐标系重合时，有：,第23页,方向余弦阵,第24页,同理：,三个基本旋转矩阵,:,第25页,合成旋转矩阵,:,例,1,：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参考坐标系 做以下运动：,R,（,x,90,）；,R(z,90),；,R(y,90),。求运动后点 在固定参考坐标系,下位置。,解,1,：用画图简单方法,第26页,解,2,：用分步计算方法,R,（,x,90,）,R,（,z,90,）,R,（,y,90,）,（,2-14,）,（,2-15,）,（,2-16,）,第27页,上述计算方法非常繁琐，能够经过一系列计算得到上述结果。将式（,2-14,）（,2-15,）（,2-16,）联写为以下形式：,R,3,x3,为二者之间关系矩阵，我们令：,定义,1,：,当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴次序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转次序,左乘,。,注意：,旋转矩阵间,不能够交换,第28页,平移齐次变换矩阵,注意：,平移矩阵间能够交换，,平移和旋转矩阵间不能够交换,第29页,2.2.4,相对变换,举例说明：,例,1,：,动坐标系,0,起始位置与固定参考坐标系,0,重合,动坐标系,0,做以下运动：,R(Z,90)R,（,y,90,）,Trans(4,，,-3,7),，求合成矩阵,解,1,：用画图方法：,第30页,解,2,：用计算方法,依据定义,1,，我们有：,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，所以矩阵左乘。,假如我们做以下变换，也能够得到相同结果：,例,2,：先平移,Trans(4,-3,7),；绕当前 轴转动,90,；,绕当前 轴转动,90,；求合成旋转矩阵。,（,2-20,）,第31页,解,1,：用画图方法,解,2,：用计算方法,（,2-21,）,第32页,式（,2-20,）和式（,2-21,）不论在形式上，还是在结果上都是一致。所以我们有以下结论：,动坐标系在固定坐标系中齐次变换有,2,种情况：,定义,1,：,假如全部变换都是,相对于固定坐标系,中各坐标轴旋转或平移，则依次,左乘,，称为,绝对变换,。,定义,2,：,假如动坐标系,相对于本身坐标系当前坐标轴,旋转或平移，则齐次变换为依次,右乘,，称为,相对变换,。,结果均为动坐标系在固定坐标中位姿,（位置,+,姿态）,。相对于固定坐标系，,也就是说，动坐标系绕本身坐标轴做齐次变换，,要到达绕固定坐标系相等结果，就应该用相反次序。,第33页,右乘意义：,机器人用到相对变换时候比较多,比如机械手抓一个杯子，如右图所表示，手爪需要转动一个角度才抓牢，相对于固定坐标系表示太麻烦，能够直接依据手爪坐标系表示,但也要知道在,O,中位姿，就用右乘概念。,o,H,第34页,2.2.5,绕经过原点任意轴旋转齐次变换,有时动坐标系,O,可能绕过原点,O,分量分别为,r,x,、,r,y,、,r,z,任意单位矢量,r,转动,角。,研究这种转动好处是可用,O,绕某轴,r,一次转动代替绕,O,各坐标轴数次转动,为推导此旋转矩阵，可作下述,5,步变换：,绕,X,轴转,角，,使,r,轴处于,XZ,平面内,绕,Y,轴转,-,角，使,r,轴与,OZ,轴重合,绕,OZ,轴转动,角,绕,Y,轴转,角,绕,X,轴转,-,角,第35页,由上图轻易求出：,由定义,1,和定义,2,，上述,5,次旋转合成旋转矩阵为：,（,2-25,）,第36页,带入式,（,2-25,），得,由该式能够推出,3,个基本旋转矩阵,第37页,2.2.6,齐次变换矩阵几何意义,设，有一个手爪，即动坐标系,O,，已知，初始位置重合，那么,O,在,O,中齐次坐标变换为：,，假如手爪转了一个角度，,则：,第38页,T,反应了,O,在,O,中位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中位置和姿态。,该矩阵能够由,4,个子矩阵组成，写成以下形式：,为,姿态矩阵（旋转矩阵）,，表示动坐标系,O,在固定参考坐标系,O,中姿态，即表示,O,各坐标轴单位矢量在,O,各轴上投影,为,位置矢量矩阵,，代表动坐标系,O,坐标原点在固定参考坐标系,O,中位置,为,透视变换矩阵,，在视觉中进行图像计算，普通置为,0,为,百分比系数,第39页,假如需要求解,O,在,O,中位置和姿态，此时齐次变换矩阵为 ，即求逆矩阵：,其中：,这些式子以后经常碰到，在机器人计算中，所要求就是齐次变换矩阵,第40页,2.2.7,透镜成像齐次变换,第41页,所以，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为,0 -0,，没有摄像头时为,0 0 0,。,第42页,知识点：,点和面齐次坐标和齐次变换,三个基本旋转矩阵,绝对变换：假如全部变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。,相对变换：假如动坐标系相对于本身坐标系当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,绕任意轴旋转：,5,步次序,透视变换,第43页,知识点：,三个基本旋转矩阵,第44页,例题,1,：,O,与,O,初始重合，,O,作以下运动：绕,Z,轴转动,30,；绕,X,轴转动,60,；绕,Y,轴转动,90,。求,T,。,第45页,例题,2,：,O,与,O,初始重合，,O,作以下运动：绕,X,轴转动,90,；绕,w,轴转动,90,；绕,Y,轴转动,90,。求,T,；改变旋转次序，怎样旋转才能取得相同结果。,解：,解：,绕,Z,（,w,）轴转动,90,；,绕,X,轴转动,90,；,绕,Y,轴转动,90,。,第46页,例题,3,：,矢量 在,O,中表示为 ，,O,相对于,O,奇次变换为：,解：,1,）,第47页,解：,2,）,解：,3,）,，,，,第48页,例题,4,：,如图所表示，,1,）写出 、；,2,）求,解：,1,）,第49页,解,2,）：依据定义,2,，绕本身旋转，右乘,第50页,习题,1,：,O,与,O,初始重合，,O,作以下运动：绕,z,轴转动,90,；绕,v,轴转动,90,；绕,x,轴转动,90,。求,T,；改变旋转次序，怎样旋转才能取得相同结果。,习题,2,：,已知齐次变换矩阵,要求,R,（,f,),求,f,和,值,第51页,第三章 机器人运动学,机器人运动学主要是把机器人,相对于固定参考系,运动作为,时间函数,进行分析研究，而不考虑引发这些运动力和力矩,也就是要把机器人,空间位移,解析地表示为,时间函数,，尤其是研究机器人,关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间,关系,本章将讨论机器人运动学几个含有实际意义基本问题。,第52页,3.1,机器人运动学所讨论问题,3.1.1,研究对象,机器人在基本机构形式上分为两种，一个是关节式串联机器人，另外一个是并联机器人，如图：,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,1972 Victor Scheinman,在,Unimation,企业为通用；,1980Westinghouse,收购；,1988Stubli,收购；,Nokia Robotics,在,80,年代卖出,1500,余台,PUMA,系统；,Nokia,Robotics division1990,年卖出。,第53页,运动学研究问题,Where is my hand?,Direct Kinematics,HERE!,How do I put my,hand here?,I,nverse,Kinematics:,Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,第54页,研究问题,:,运动学正问题,-,已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标位置和姿态（,齐次变换问题,）。,运动学逆问题,-,已知操作机杆件几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器到达这个预期位姿？如能到达，那么操作机有几个不一样形态能够满足一样条件？,逆,第55页,3.2,机器人杆件，关节和它们参数,3.2.1,杆件，关节,操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接刚体（杆件）组成,每一对关节杆件组成一个,关节,自由度,，所以,N,个自由度操作机就有,N,对关节,-,杆件。,0,号杆件（普通不把它看成机器人一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最终一个杆件与工具相连,关节和杆件均由底座向外次序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不组成闭环。,关节,杆件,末端操作手,机座,两自由度,第56页,关节：,普通说来，两个杆件间是用,低付,相联,只可能有,6,种低付关节：,旋转,（转动）、,棱柱,（移动）、,圆柱形,、,球形,、,螺旋,和,平面,，其中只有,旋转和棱柱形,关节是串联机器人操作机常见，各种低副形状以下列图所表示：,旋转,棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,第57页,3.2.2,杆件参数设定,条件,关节串联,每个杆件,最多,与,2,个杆件相连，如,A,i,与,A,i-1,和,A,i+1,相连。第,i,关节关节轴,A,i,位于,2,个杆件相连接处，如图所表示，,i-1,关节和,i+1,关节也各有一个关节轴,A,i-1,和,A,i+1,。,A,i,A,i+1,A,i-1,第58页,杆件参数定义,和,l,i,关节,A,i,轴和,A,i+1,轴线公法线长度,关节,i,轴线与,i+1,轴线在垂直于,l,i,平面内夹角，有方向性,由,A,i,转向,A,i+1,，,由右手定则决定正负,由运动学观点来看，杆件作用仅在于它能保持其两端关节间,结构形态,不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件长度,l,i,，一个是杆件扭转角,A,i,A,i+1,第59页,杆件参数定义,和,L,i,和,L,i-1,在,A,i,轴线上交点之间距离,L,i,和,L,i-1,之间夹角，由,L,i-1,转向,L,i,，由右手定则决定正负，对于旋转关节它是个变量,确定杆件,相对位置关系,，由另外,2,个参数决定，一个是杆件偏移量 ，一个是杆件回转角,A,i,A,i+1,A,i-1,第60页,移动关节杆件参数定义,确定杆件结构形态,2,个参数,L,i,与,i,与旋转关节是一样。确定杆件相对位置关系,2,个参数则相反。这里,i,为常数，,d,i,为变量。,上述,4,个参数，就确定了杆件结构形态和相邻杆件相对位置关系，在转动关节中，,L,i,i,d,i,是固定值，,i,是变量。在移动关节中，,L,i,i,i,是固定值，,d,i,是变量。,第61页,3.3,机器人关节坐标系建立,对于每个杆件都能够在关节轴处建立一个正规笛卡儿坐标系（,x,i,y,i,z,i,），（,i=1,2,n,），,n,是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（,n+1,）个坐标系。,基座坐标系 定义为,0,号坐标系（,x,0,y,0,z,0,）,它也是机器人惯性坐标系，,0,号坐标系在基座上位置和方向可任选，但 轴线必须与关节,1,轴线重合，位置和方向可任选；,最终一个坐标系（,n,关节），能够设在手任意部位，但必须确保 与 垂直。,第62页,机器人关节坐标系建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性工作。,为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，,Denavit,和,Hartenberg,于,1955,年提出了一个为运动链中每个杆件建立附体坐标系矩阵方法,（,D-H,方法）,，建立标准以下：,D-H,关节坐标系建立标准,右手坐标系,原点,O,i,：设在,L,i,与,A,i+1,轴线交点上,Z,i,轴,：与,A,i+1,关节轴重合，指向任意,X,i,轴,：与公法线,L,i,重合，指向沿,L,i,由,A,i,轴线指向,A,i+1,轴线,Y,i,轴,：按右手定则,第63页,关节坐标系建立标准,A,i,A,i+1,A,i-1,原点,O,i,：设在,L,i,与,A,i+1,轴线交点上,Z,i,轴：与,A,i+1,关节轴重合，指向任意,X,i,轴：与公法线,L,i,重合，指向沿,L,i,由,A,i,轴线指向,A,i+1,轴线,Y,i,轴：按右手定则,杆件长度,L,i,沿,x,i,轴，,z,i-1,轴与,x,i,轴交点到,0,i,距离,杆件扭转角,i,绕,x,i,轴，由,z,i-1,转向,z,i,杆件偏移量,d,i,沿,z,i-1,轴，,z,i-1,轴和,x,i,交点至,0,i 1,坐标系原点距离,杆件回转角,i,绕,z,i-1,轴，由,x,i-1,转向,x,i,第64页,两种特殊情况,两轴相交，怎么建立坐标系？,0,i,A,i,与,A,i+1,关节轴线交点；,Z,i,A,i+1,轴线；,X,i,Z,i,和,Z,i-1,组成平面法线 ；,Y,i,右手定则；,A,i,A,i,+,1,o,i,z,i,-,1,z,i,x,i,y,i,第65页,两轴平行，怎么建立坐标系,(A,i,与,A,i+1,平行,),？,先建立,0,i-1,然后建立,0,i+1,最终建立,0,i,注意：,因为,A,i,和,A,i+1,平行，,所以公法线任意点,在,A,点位置；,按照先前定义，,d,i,为,O,i-1,点和,A,点之间距离，,d,i+1,为,B,点和,C,点间距离，这么设定能够，但我们能够变更一下，将,0,i,点放在,C,点，定义,O,i,在,L,i+1,和,A,i+1,轴交点上，这么使,d,i+1,=0,使计算简便，此时,d,i,=,A,i,-,1,A,i,A,i,+,1,A,i,+,2,l,i,-,1,o,i,-,1,x,i,-,1,y,i,-,1,z,i,-,1,A,B,D,C,o,i,（,x,i,）,（,y,i,）,z,i,x,i,y,i,o,i,+,1,x,i,+,1,y,i,+,1,z,i,+,1,d,i,+,1,l,i,+,1,d,i,第66页,相邻,关节坐标系间齐次变换过程,机器人运动学正解,将,x,i-1,轴绕,z,i-1,轴转,i,角度，将其与,x,i,轴平行；,沿,z,i-1,轴平移距离,d,i,，使,x,i-1,轴与,x,i,轴重合；,沿,x,i,轴平移距离,L,i,，使两坐标系原点及,x,轴重合；,绕,x,i,轴转,i,角度，两坐标系完全重合,依据上述坐标系建立标准，用以下旋转和位移我们能够建立相邻,O,i-1,和,O,i,坐标系之间关系,A,i,A,i+1,A,i-1,第67页,机器人运动学正解方程,D-H,变换矩阵,=,=,第68页,机械手坐标变换图如图所表示，机械手末端（即连杆坐标系,i,）相对于基座坐标系,0,描述用,o,T,i,表示，即：,0,z,A1,A2,A3,A4,A5,A6,0,E,X,0,T,6,1,T,6,2,T,6,3,T,6,4,T,6,5,T,6,机械手坐标变换图,机器人运动学正解方程,第69页,举例：,Stanford,机器人,第70页,A,1,A,2,A,3,A,4,A,5,A,6,d,1,z,1,x,1,y,1,O,1,d,2,z,2,x,2,y,2,O,2,z,3,y,3,x,3,O,3,y,4,z,4,x,4,O,4,z,5,y,5,x,5,O,5,d,3,z,6,x,6,y,6,O,6,d,6,z,0,y,0,x,0,O,0,为右手坐标系,原点,O,i,：,A,i,与,A,i+1,关节轴线交点,Z,i,轴：与,A,i+1,关节轴重合，指向任意,X,i,轴：,Z,i,和,Z,i-1,组成面法线,Y,i,轴：按右手定则,L,i,沿,x,i,轴，,z,i-1,轴与,x,i,轴交点到,0,i,距离,i,绕,x,i,轴，由,z,i-1,转向,z,i,d,i,沿,z,i-1,轴，,z,i-1,轴和,x,i,交点至,0,i 1,坐标系原,点距离,i,绕,z,i-1,轴，由,x,i-1,转向,x,i,第71页,解：,第72页,第73页,第74页,第75页,3.4,例题,试求立方体中心在机座坐标系,0,中位置,该手爪从上方把物体抓起，同时手爪开合方向与物体,Y,轴同向，那么，求手爪相对于,0,姿态是什么？,在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着,6DOF,关节机器人机座坐标系原点，它也能够见到被操作物体（立方体）中心，假如在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到这个物体可由齐次变换矩阵,T,1,来表示，假如摄像机所见到机座坐标系为矩阵,T,2,表示。,x,y,z,第76页,解,1,：,所以物体位于机座坐标系（,11,，,10,，,1,）,T,处，它,X,，,Y,，,Z,轴分别与机座坐标系,-Y,，,X,，,Z,轴平行。,x,y,z,y,机,z,物,y,物,x,物,z,机,o,O,机,O,物,第77页,解,2,：,X,机,第78页,工作空间,工作空间:末端操作手能够抵达空间位置集合,怎样取得工作空间,:,利用正运动学模型,改变关节变量值,可达空间:,末端操作手能够最少以一个姿态抵达空间位置集合,灵活空间:末端操作手能够以任何姿态抵达空间位置集合,第79页,怎样确定可达空间,?,首先，,令,3,改变,示例,:,平面,3,连杆机器人,l2,l3,l1,然后,2,改变,最终，,改变,1,第80页,3.5,机器人末端操作器位姿其它 描述方法,用矩阵表示刚性体转动简化了许多运算，但它需要,9,个元素来完全描述旋转刚体姿态，所以矩阵并不直接得出一组完备广义坐标。,一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标方向，被称为欧拉角三个角度，,、,、,就是这种广义坐标。,有几个不一样欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系姿态。三种最常见欧拉角类型列在表中,第81页,3,种最常见欧拉角类型,步,1,步,2,步,3,类型,1,绕,OZ,轴转,角,绕当前,O,U,轴转,角,绕当前,OW,轴转,角,类型,2,绕,OZ,轴转,角,绕当前,O,V,轴转,角,绕当前,OW,轴转,角,类型,3,绕,OX,轴转,角,绕,OY,轴转,角,绕,OZ,轴转,角,u,v,w,x(u),y(v),z(w),o,u,v,w,u,v,W,类型,1,：表示法通惯用于陀螺运动,第82页,类型,2,：,所得转动矩阵为右乘,类型,2,绕,OZ,轴转,角,绕当前,O,V,轴转,角,绕当前,OW,轴转,角,第83页,类型,3,：普通称此转动欧拉角为偏航角、俯仰和横滚，（这种方法也叫做,偏航、俯仰和横滚,角表示方法）这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器运动，其旋转矩阵为,类型,3,绕,OX,轴转,角,绕,OY,轴转,角,绕,OZ,轴转,角,第84页,正运动学问题,:,已知关节角度或位移，计算,末端操作手对应位姿,.,逆运动学问题,:,已知,末端操作手位姿，求解对应关节变量,.,为,什么逆运动学问题更困难,?,可能存在多解或无解,通常需屡次求解非线性超越方程,3.6,运动学逆问题,第85页,解存在性,目标,点应位于工作空间内,可能存在多解，怎样选择最适当解？,存在双解,!,第86页,求解方法,假如各关节可用某算法取得，一个机械手是有解.算法应包含全部可能解.,封闭形式解（解析解）,数值解,方法,我们对封闭形式解法更感兴趣,代数方法,几何方法,第87页,可解性主要结论是：,全部含有转动和移动关节系统，在一个单一串联中总共有,6,个（或小于,6,个）自由度时，是可解，其通解普通是数值解，它不是解析表示式，而是利用数值迭代原理求解，它计算量要比解析解大。,但在一些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于,0,或,90,情况下，含有,6,个自由度机器人可得到解析解。,为使机器人有解析解，普通设计时，使工业机器人足够简单，尽可能满足这些特殊条件。,对于给定机器人，能否求得它运动学逆解解析式（也叫封闭解）。,运动学逆问题可解性,第88页,运动学逆问题多解性,机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解,.,显然对于真实机器人，只有一组解与实际情况最相对应，所以必须作出判断，以选择适当解。,通常采取以下方法剔除多出解：,若该关节运动空间为 ，则应选 。,1,依据关节运动空间选取适当解。比如求得机器人某关节角两个解为,第89页,2,选择一个与前一采样时间最靠近解，比如：,若该关节运动空间为 ，且 ，则应选,3,依据避障要求，选择适当解,4,逐层剔除多出解,对于含有,n,个关节机器人，其全部解将组成树形结构。为简化起见，应逐层剔除多出解。这么能够防止在树形解中选择适当解。,第90页,迭代法,计算量大,几何法,适合用于自由度较少情况,反变换法,运动学逆问题解法,第91页,用未知逆变换逐次左乘，由乘得矩阵方程元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程右边移到左边,考查方程式左、右两端对应元素相等，以产生一个有效方程式，理论上可得到,12,个方程。,然后求这个三角函数方程式，以求解未知数,把下一个未知数移到左边,重复上述过程，直到解出全部解,缺点：无法由数种可能解中直接得出适当解，,需要经过人为选择,运动学逆问题解法,反变换法,Paul,等人提出方法,(1981,年，也叫求逆方法，是解析解,):,第92页,Paul,等人提出方法,第93页,所以，通惯用四象限反正切函数来确定,值，其象限定义为：,此时不能用反余弦 来求解关节角，因为这么求解不但关节角符号不确定（），而且角精度也难以确保（，即角度改变引发值改变不大）。,第94页,例,1,：欧拉角表示逆运动学求解：,第95页,由式中矩阵（,1,，,3,）元素相等，有,第96页,第97页,例,2,：斯坦福机器人运动学逆问题解,第98页,式中：,由两端矩阵元素（,3,4,）对应相等可得：,第99页,作三角变换：,式中：,得到：,即有：,第100页,由（,1,4,）和（,2,4,）元素对应相等，得：,第101页,式中第四列：,第102页,式中第三列：,第103页,高腕,低腕,z,4,x,4,O,4,z,5,y,5,x,5,O,5,取前一个采样点值,5,第104页,几何解法（适合用于少自由度）,标准,:,将原始空间几何问题转化为若干个,平面几何问题,x,y,L,1,L,2,应用,“,余弦定理,”:,x,2,+y,2,=l,1,2,+l,2,2,2,l,1,l,2,cos,(180,2,),2,第105页,几何,解法,(续,),则有,:,x,y,再次利用余弦定理得到,:,l,2,2,=x,2,+y,2,+l,1,2,-,2,l,1,(x,2,+y,2,)cos,即,cos,=,(x,2,+y,2,+l,1,2,-,l,2,2,)/,2,l,1,(x,2,+y,2,),在,0,180,范围内求解，最终利用,1,=,转换为多项式,1,第106页,通常超越方程难以求解，因为变量,通常以,cos,(,),或,sin,(,),形式出现,.,能够转换为变量,u=tan,(,/2,),多项式，,然后利用下式求解,:,cos,(,),=(1-,u,2,)/(1+,u,2,),s,in,(,),=,2,u/,(1,+u,2,),第107页,3.7,微动矩阵和微动齐次变换,对象,:,微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节位移运动关系,定义,:,各关节当角度转动 小于,5,，平移在,0.1mm,以下时，微动矩阵大致可用,用途：,误差赔偿、微驱动、微操作,第108页,设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中齐次变换为,o,T,N,，,做微动，绕任意轴,w,轴转 ；绕各坐标轴平移,dx,dy,dz,求：在 中位置和姿态,.,定义 为微动齐次变换矩阵,在忽略高次项情况下：微动齐次变换与次序无关,第109页,第110页,所以说，微动齐次变换与次序无关,第111页,3.7.2,微动平移和微动旋转齐次变换,平移：,旋转,R,，绕经过原点任意轴 旋转 角,:,第112页,在微动范围内,绕任意轴转动 角,能够看作绕,x,y,z,轴微转动合成。所以：,所以：,第113页,所以微动率,=,微动齐次变换：,dT,=,T,第114页,己知变换矩阵,转动：,平移：,求,d T,解：,第115页,反过来：假如我们要求,在,中齐次交换矩阵为,实际测得为,那么末端执行器坐标系要怎样运动才能抵达期望值？,转动：,平移：,第116页,3.7.3,等效微动位移求解,前面研究是：,动坐标系,O,n,在,O,o,中变换为,T,，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次变换。,现在我们研究：,动坐标系,O,n,相对于本身坐标系做了微位移或微转动，到达绕基准坐标一样效果则怎样求解。,第117页,dT=T,（绕基准坐标系）,=T,T,（绕动坐标系）,左乘,绕基准,右乘,绕动坐标轴,强调等效,第118页,设：,有：,s,n,a,第119页,研究绕本身轴微动率,和绕固定坐标系坐标轴微动率之间是什么关系,，,举例说明：,例：一动坐标系相对于固定坐标系齐,次变换为,n,s,a,p,己知相对固定坐标系微动平移和转动,求：与,求,dT,求与之等效绕动坐标系微平移和微转动,第120页,解：,=,第121页,第122页,解：,解：绕本身平移和转动,其结果等于绕固定坐标系转动和旋转,等效,第123页,3.7.4,等效微动变换普遍形式,机器人运动学方程：,定义：,前一个坐标系看成当前坐标系基准坐标系,相对于,是动坐标系,假如,相对于,产生了一个微动，它微动齐次变换为,第124页,那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？因为对机器人来讲,我们关心是末端执行器运动情况。,同理假如,相对于,产生一个微动,有：,这是微动齐次变换普遍形式,第125页,微动率求解,按照前面讲等效理论有：,这是两个普通形式,如机器人末端产生一个误差,假如在别外一个关节上赔偿,就要采取上面方法。,第126页,说明：假如我们发觉末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）,我们能够认为末端操作器相对于自己坐标系发生了微位移。只是微动率和,不一样而己。其结果是等效。,这些在进行误差赔偿和微动时有用,如产生误差,怎样赔偿？能够反向运动末端关节来赔偿,3.7.5,微动齐次变换意义,第127页,3.7.6,误差及误差赔偿,制造和检测误差,运算过程中圆整、插补、拟合造成误差,原理性误差,构件承受负载、加速度、重力变形误差,传动误差,环境影响误差,误差起源：,单关节赔偿,多关节赔偿,误差赔偿：,第128页,单关节赔偿：,这是一个准确求法,这只是一个理想方法。满足上述赔偿实际上是很困难,有时几乎是不可能,第129页,有时用近似方法,认为这是理论值,认为这是实测值,同理：,认为这是理论值,认为这是实测值,这种方法是不准确,有误差,不过假如能满足精度要求就能够,第130页,例题,按准确方法计算,绕本身坐标系 赔偿,第131页,这是准确,值,能够看出与我们以前做例题恰好相反,第132页,绕固定坐标系赔偿,第133页,按近似方法计算,第134页,多关节赔偿：,目标为：,实际为：,忽略高次项，有：,绕本身,同理,绕前一个坐标系,我们有：,第135页,以,O,i,绕本身为例,为了消除,令多关节做微动,由此产生,赔偿,多关节微动率为,（绕本身）,因为,注意：,我们在定义,DH,坐标系时,Z,轴和回转轴重合，所以，绕,X,Y,是旋转不了。,所以,第136页,又假如都是转动关节,没有移动,令,得到,按照元素对应相等,求解,能够求解。,这里,是,i,相对于本身微转角,第137页,知识点复习,第138页,数学基础知识点：,点和面齐次坐标和齐次变换,三个基本旋转矩阵,绝对变换：假如全部变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。,相对变换：假如动坐标系相对于本身坐标系当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,绕任意轴旋转：,5,步次序,第139页,关节坐标系建立标准,A,i,A,i+1,A,i-1,原点,O,i,：设在,L,i,与,A,i+1,轴线交点上,Z,i,轴：与,A,i+1,关节轴重合，指向任意,X,i,轴：与公法线,L,i,重合，指向沿,L,i,由,A,i,轴线指向,A,i+1,轴线,Y,i,轴：按右手定则,杆件长度,L,i,沿,x,i,轴，,z,i-1,轴与,x,i,轴交点到,0,i,距离,杆件扭转角,i,绕,x,i,轴，由,z,i-1,转向,z,i,杆件偏移量,d,i,沿,z,i-1,轴，,z,i-1,轴和,x,i,交点至,0,i 1,坐标系原点距离,杆件回转角,i,绕,z,i-1,轴，由,x,i-1,转向,x,i,运动学知识点：,第140页,两种特殊情况,两轴相交，怎么建立坐标系？,O,i,A,i,与,A,i+1,关节轴线交点；,Z,i,A,i+1,轴线；,X,i,Z,i,和,Z,i-1,组成平面法线；,Y,i,右手定则；,A,i,A,i+1,第141页,相邻,关节坐标系间齐次变换过程,机器人运动学正解,将,x,i-1,轴绕,z,i-1,轴转,i,角度，将其与,x,i,轴平行；,沿,z,i-1,轴平移距离,d,i,，使,x,i-1,轴与,x,i,轴重合；,沿,x,i,轴平移距离,L,i,，使两坐标系原点及,x,轴重合；,绕,x,i,轴转,i,角度，两坐标系完全重合,A,i,A,i+1,A,i-1,第142页,机器人运动学正解方程,D-H,变换矩阵,=,=,第143页,逆运动学定义,逆运动学存在性,逆运动学可解性,逆运动学多解性（剔除方法）,逆运动学解