直线中的对称.doc

直线中对称问题归类解析
直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称
例1 已知点A（－2，3），求关于点P（1，1）的对称点B（）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A（－2，3）关于点P（1，1）的对称点为B（），则由中点坐标公式得解得所以点A关于点P（1，1）的对称点为B（4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。

2、直线关于点的对称
例2 求直线关于点P（2，－1）对称的直线l的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为。
解：由直线l与平行，故设直线l方程为。
由已知可得，点P到两条直线距离相等，得
解得，或（舍）。则直线l的方程为
评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线上取两个特殊点，并分别求其关于点P（2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。

3、点关于直线的对称
例3 求点A（2，2）关于直线的对称点坐标。
利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A（2，2）关于直线的对称点为A′（），则直线AA′与已知直线垂直，故可设直线AA′方程为，把A（2，2）坐标代入，可求得。
∴直线AA′方程为。
由方程组解得AA′中点M。
由中点坐标公式得，解得
∴所求的对称点坐标为（1，4）。
评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。
分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上。
解法2（相关点法）：设B（a，b）是A（2，2）关于直线的对称点，根据直线AB与l垂直，线段AB中点在直线上，
则有
解得
∴所求对称点的坐标为（1，4）。
评注：①中点在上；②所求点与已知点的连线与垂直。

4、直线关于直线的对称
例4 求直线关于直线对称的直线l的方程。
分析：设所求直线l上任一点为P（），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线方程进行求解。
解：设所求直线l上任意一点P（）（）关于的对称点为Q（），
则解得
又因为点Q在上运动，则0。
，解得。即直线l的方程为。
评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。

直线中的对称问题习题
题组训练一
[例1]已知点A(5，8)，B(4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标．

[例2]已知点A的坐标为(一4，4)，直线L的方程为3x+y-2=O．求点A关于直线L的对称点A＇的坐标．

[例3]求直线3x-y-4=O关于点P(2，-1)对称的直线L的方程．

[例4]求直线2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线的方程

知识点归纳 1、点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题 设P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点为P′
特别地，P（x0，y0）关于原点O（0，0）的对称点为P′
2、点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下： 设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有 可求出x′、y′
3、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点（x，y）关于x轴的对称点为 ；
（2）点（x，y）关于y轴的对称点为 ；
（3）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为 ；
（4）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为 ；
（5）点（x，y）关于直线x=a的对称点为 ；
（6）点（x，y）关于直线y=b的对称点为 ；
（7）点（x，y）关于直线y=x+b的对称点为 ；
（8）点（x，y）关于直线y=－x+b的对称点为 ；
题组训练二
[例5] 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程

[例6] 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y－2=0，在直线l上求一点P. （1）使|PA|+|PB|最小； （2）使|PA|－|PB|最大.
例7] 直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标。

练习： 1、已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为 A.（a，b） B.（b，a） C.（－a，－b） D.（－b，－a）
2、已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是 A. m5=np B.p=－5
C.m=－n且p=－5 D.m 1 =－n1且p=－5
3、直线y=3x─4关于点P(2,─1)对称的直线L的方程是
4、点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为
5、与直线x+2y－1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为
6、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是
7、光线通过A(-2，4)，经直线2x-y-7=O反射,若反射线通过点B(5，8),求入射线和反射线所在直线的方程．
8、已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小

9、已知△ABC的一条内角平分线CD所在直线方程是2x+y-1=O，两个顶点是 A(1，2)，B(-1，-1)，求顶点C的坐标

10、（1）已知点A(2，0)，B(-2，-2)在直线L: x+y-3=O上求一点P使得 │PA│+│PB│最小，并求出最小值。
（2）已知点A(2，0)，B(5，5)在直线L: x+y-3=O上求一点P使得 │PB│-│PA│最大，并求出最大值。

3
简单的事情用心做，用心的事情重复做，重复的事情坚持做！