科技大学机械工程控制基础系统的稳定性.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,第五章 系统稳定性,本章主要教学内容,5.1 系统稳定性初步概念,5.2,Routh(劳斯)稳定判据,5.5 系统相对稳定性,5.4 Bode稳定判据,5.3 Nyquist稳定判据,5.3节为本章难点，5.2、5.4、5.5节为本章重点,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第1页,5.1,稳定性基本概念,本节教学内容,5.1.1 稳定性定义,5.1.2 稳定充要条件,5.1.3 稳定必要条件,本节教学要求,1.了解系统稳定性物理,概念,3.掌握用稳定必要条件,判断系统稳定性方法,2.熟悉系统稳定性数学,定义及充要条件,5.系统稳定性,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第2页,不稳定现象,5.1.1 稳定性定义,5.1 稳定性基本概念,稳定摆,不稳定摆,稳定,临界稳定,不稳定,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第3页,稳定性定义,一个系统称之为稳定，是指控制系统在,外部扰动作用,下偏离其原来平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能,自动恢复,到原来,平衡状态。,5.1.1 稳定性定义,稳定,不稳定,线性系统稳定性是控制系统本身固有特征，取决于系统本身结构和参数，与输入无关。,以上定义只适合用于线性定常系统。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第4页,5.1.1 稳定性定义,稳定性其它说法,大范围渐近稳定,：,不论扰动引发初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有平衡状态，不然就称为小范围(小偏差)稳定。注意：,对于线性系统，小范围稳定,大范围稳定。,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始平衡状态间存在恒定偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,说明：经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。因为,分析时依赖模型通常是简化或线性化；,实际系统参数时变特征；,系统必须具备一定稳定裕量。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第5页,稳定性条件分析方法脉冲响应法：,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号,(,t,)作用，此时系统输出为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点问题，显然，当,t,时，若：,则系统（渐近）稳定。,5.1.2 系统稳定充要条件,5.1 稳定性基本概念,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第6页,脉冲响应法分析,5.1.2 系统稳定充要条件,假如,p,i,和,i,均 为负 值,当,t,时,x,0,(,t,),0。,稳定性与零点无关.,线性系统脉冲响应,线性系统稳定充要条 件,自动控制系统稳定,充分必要条件,是：系统特征方程根全部含有负实部，,或,闭环系统极点全部在S平面左半部。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第7页,由已知条件知系统含有负实根或含有负实部,共轭复根,，所以系统稳定。,5.1.2 系统稳定充要条件,举例,某单位反馈系统，其开环传递函数为,其闭环传递函数为：,系统特征方程和特征根为：,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第8页,系统稳定必要条件是,系统特征方程各项系数含有相同符号，且无零系数。,5.1.3 系统稳定必要条件,5.1 稳定性基本概念,设系统特征根为,s,1,、,s,2,、,s,n-1,、,s,n,，则,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第9页,5.1.3 系统稳定必要条件,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,系统特征方程全部根含有负实部则特征方程系数必定同号（不妨设为均大于零）。,用待定系数法分析特征方程根与系数关系,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第10页,例,某水位控制系统如图，讨论该系统稳定性。,：被控对象水箱传递函数,：执行电动机传递函数,K,1,：进水阀门传递系数,K,p,：杠杆比,H,0,：希望水位,H ：实际水位,5.1.3 系统稳定必要条件,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第11页,5.1.3 系统稳定必要条件,系统闭环传递函,数和特征方程,K=K,p,k,m,K,1,K,0,为 系统开环放大系数,该系统为三阶系统，但缺乏s项，即对应特征多项式中有系数为0，不满足系统稳定必要条件，所以该系统不稳定。,这种系统属于结构不稳定系 统，无 论怎样调整该系统参数，如(,K、T,m,)，都不能使系统稳定，要使系统稳定，必须对系统进行校正。,系统稳定性,分 析,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第12页,5.2,Routh（劳斯）稳定判据,5.系统稳定性,本节教学内容,5.2.1 Routh行列式,5.2.2 Routh判据,5.2.3 Routh判据特殊,情况,本节教学要求,1.掌握利用Routh判据判,断系统稳定性方法,2.了解特殊情况下Routh,判据利用,牢斯(,Routh,)判据无需求解特征根，直接经过特征方程系数判别系统稳定性，属于稳定性判断中一个代数方法。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第13页,5.2.1 Routh行列式,列写Routh行列式，是利用Routh判据进行系统稳定性分析主要工作，其步骤以下:,列写系统特征方程,由系统特征方程各项系数排成Routh行列表前两行,其中，第一行为,s,n,、,s,n,-2,、,s,n,-4,各项系数依次排成；,第二行为,s,n,-1,、,s,n,-3,、,s,n,-5,各项系数依次排成。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第14页,计算Routh行列式每一行都要用到该行前面两行数据。,计算行列式其余各行,5.2.1 Routh行列式,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第15页,比如6阶特征方程,其牢斯行列式为,5.2.1 Routh行列式,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第16页,假如符号相同,，说明,系统含有正实部特征根个数等于零,，,系统稳定；,假如符号不一样,，则,符号改变次数等于系统含有正实部特征根个数,，,系统不稳定。,控制系统稳定充分必要条件,牢斯行列式第一列元素不改变符号！,Routh判据,牢斯判据实质是对Routh行列表中“,第一列,”,各数符号进行判断：,5.2.2 Routh判据,注：通常,a,0,0，所以，劳斯稳定判据能够,简述,为,劳斯阵列表中第一列各数均大于零。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第17页,例1 牢斯判据判定稳定性,符号改变二次,系统有两个不稳定特征根.,5.2.2 Routh判据,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第18页,5.2.2 Routh判据,例2 牢斯判据判定稳定性,系 统,特 征,方 程,牢 斯,判 据,0,0,2-(9/7),K,s,1,0,0,K,s,0,0,K,7/3,s,2,0,2,3,s,3,K,3,1,s,4,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第19页,5.2.2 Routh判据,例3 牢斯判据判定系统,相对稳定性,已知系统特征方程：,s,3,+7s,2,+14s+8=0,试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行直线s=-1右侧。,将,s,平面虚轴左移一个单位距离，即结构一个,z,平面，则直线,s,=-1右侧极点即为,z,平面右侧极点。,劳斯行列表,系统有两个特征根位于平行于虚轴直线,s,=-1右侧。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第20页,5.2.2 Routh判据,例3 牢斯判据判定系统,相对稳定性,已知系统特征方程：,s,3,+7s,2,+14s+8=0,试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行直线s=-1右侧。,将,s,平面虚轴左移一个单位距离，即结构一个,z,平面，则直线,s,=-1右侧极点即为,z,平面右侧极点。,劳斯行列表,系统有一个特征根位于（-1，j0）点。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第21页,5.2.3 Routh 判据特殊情况,特殊情况1：第一列出现0,第一列出现0,(各项系数均为正数),处理方法：用任意小正数,代之。（因第一列符号改变两次，该系统不稳定。）,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第22页,特殊情况2：某一行元素均为0,(各项系数均为正数),处理方法,：用全 0 行上一行元素组成辅助方程,用对该方程求导后方程系数替换全0行.,求导得:,比如,：,出现全0行,5.2.3 Routh 判据特殊情况,还可由辅助方程求出对应极点,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第23页,劳斯阵列出现全零行表明,系统在,s,平面有对称分布根,共轭虚根,对称于虚轴两对共轭复根,对称于虚轴一对实根,5.2.3 Routh 判据特殊情况,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第24页,5.2 Routh(劳斯)稳定判据,【习题5.5】图示系统,确定,K,、,a,取何值时,系统维持以,=2 s,-1,连续振荡。,X,i,(,s,),X,o,(,s,),系统产生连续振荡，说明系统为临界稳定系统，则劳斯行列式第一列会出现0元素。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第25页,5.2 Routh(劳斯)稳定判据,课后作业,教材185186 页：5.3，5.4,5.7(选做题),科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第26页,5.3,Nyquist稳定判据,5.系统稳定性,本节教学内容,5.3.1 幅角原理,5.3.2 Nyquist稳定判据,5.3.3 开环含有积分步骤,情况,本节教学要求,1.了解Nyquist判据依,据幅角原理,2.掌握Nyquist判据使,用方法,3.熟悉开环含有积分步骤,时奈氏轨迹绘制判断,Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特征,G,(j,),H,(j,),来判断系统特征方程,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,根是否全部含有负实部，是一个几何判据，而且还能够判断系统相对稳定性。奈氏判据依据是幅角原理。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第27页,开环传递函数,闭环传递函数,5.3.1 幅角原理,系统开环特征多项式与闭环特征多项式关系,设新变量,F,(,s,),D,b,(,s,):,闭环特征多项式,D,k,(,s,):开环特征多项式,F,(,s,),建立了系统闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数,G,(,s,),H,(,s,)之间关系.,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第28页,5.3.1 幅角原理,幅角原理,设,L,s,为,s,平面上一条封闭曲线，,F,(,s,)在,L,s,上解析，,Z,、,P,分别为,F,(,s,)在,L,s,内零、极点个数。当,s,按顺时针方向沿,L,s,改变一周时，向量,F,(,s,)在,F,平面所形成曲线,L,F,将包围原点,N,次，且,N=Z-P,。,L,s,s,j,o,F,(,s,),F,Re,Im,o,N,=-2,N0：,F,(,s,),绕,F,平面原点顺时针转,N,圈；,N1时，Nyquist轨迹逆时针包围（-1，j0）点一圈，系统闭环稳定（,N,=-1）；,当0,K,1时，系统闭环不稳定（,N,=0）；,当,K,=1时，系统临界稳定（Nyquist轨迹穿过(-1，j0)点对应,F,(,s,)穿过F平面原点）。,5.3.2 Nyquist稳定判据,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第34页,例3,已知系统开环传递函数,系统开环有一个不稳定极点(P=1),而,由-到+改变时，,GH,平面轨迹,G,K,(j,),逆时针包围点(-1,j0)一圈(N=-1)，所以,Z=N+P,=0,系统闭环稳定。,-K,G(j,),Im,Re,0,n,(-1,j0),5.3.2 Nyquist稳定判据,Nyquist轨迹如图，试分析系统稳定性。,即使开环不稳定系统，闭环能够稳定，但这种系统动、静态品质通常不好，应该尽可能防止。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第35页,5.3.3 开环含有积分步骤情况,问题提出,当系统开环传递函数含有积分步骤（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点时，因为,G,K,(,s,),在,L,s,上不再是解析函数，所以不可直接应用Nyquist判据判断闭环系统稳定性。处理这一问题基本思绪是：用半径,0,半圆在虚轴上极点右侧绕过这些极点，即将这些极点划到,s,左半平面，从而使得,G,K,(,s,),在,L,s,上依然是解析函数。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第36页,原点处右半圆弧数学方程,r,0,时,系统开环传递函数,s平面原点处极点所对应Nyquist轨迹,s=re,j,(,r,0),系统开环传递函数,从00,+,：,其Nyquist轨迹为,GH,上幅值为无穷大，弧度为-,v,/2圆弧。,5.3.3 开环含有积分步骤情况,r,j,O,0,+,0,-,s,从0/2：,（s平面）,（,G,k,平面）,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第37页,原点处有极点系统开环Nyquist轨迹：（1）普通情况,=0,+,=0,+,5.3.3 开环含有积分步骤情况,作出,由,0+,改变时,Nyquist,曲线;,从,G,(j0+),开始，以,半径逆时针补画,v,90,0,圆弧(辅助线)。,r,j,O,0,+,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第38页,其辅助线起始点一直在无穷远正实轴上。（假如是非最小相位系统，且,v,=2，应怎样作辅助线？）,对于最小相位系统，应该以半径为无穷大圆弧顺时针方向连接正实轴端和,G,(j,),H,(j,)轨迹起始端。,5.3.3 开环含有积分步骤情况,原点处有极点系统开环Nyquist轨迹：（2）最小相位系统,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第39页,例1,已知系统开环传递函数 ，和开环,Nyquist,图，,应用Nyquist判据判断闭环系统稳定性。,因为开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1，j0)两圈，且P=0，则闭环系统不稳定，且不稳定极点数Z=2。,5.3.3 开环含有积分步骤情况,=+,=-,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第40页,例2,系统开环传递函数为,其开环Nyquist图以下，判断系统稳定性。,曲线(2)为,T,4,较大时，因为导前步骤正相位使,G,k,(j,)过负实轴频率增加，系统开环Nyquist轨迹不包围(-1,j0),点，系统稳定；,5.3.3 开环含有积分步骤情况,曲线(1)为,T,4,较小时，因为导前步骤正相位起作用频率较高，,G,k,(j,)在较低频率时即穿越负实轴，系统开环Nyquist轨迹顺时针包围(-1,j0),点两圈，系统不稳定。,|G,k,(j,)|随频率增加而单调衰减。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第41页,例3,单位反馈系统开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统稳定性。,系统闭环稳定。,作系统,开环 Nyquist曲线，如图。,判断,开环稳定,P,=0；,开环 Nyquist曲线不包围(-1,j0)点；,5.3.3 开环含有积分步骤情况,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第42页,0,+,：,A,(0,+,),(0,+,)180,：,A,(,)0,(,)180,例4,系统开环传递函数 ，绘制其Nyquist轨迹，并判别闭环系统稳定性。,T,1,T,2,，Nyquist轨迹顺时针包围（-1,j0）点2次（,N,=2），而,P,0,，即,Z=N+P,=2,系统闭环不稳定。,5.3.3 开环含有积分步骤情况,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第43页,课后作业,教材186页：5.9（1）、（2）,5.9（3）(选做题),（要求作出,从-+Nyquist轨迹）,5.3 Nyquist稳定判据,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第44页,本节教学内容,5.4.1 Nyquist图与Bode,图对应关系,5.4.2 相位穿越概念,5.4.3 Bode稳定判据,本节教学要求,1.掌握Nyquist图与Bode,图对应关系,2.熟悉Nyquist图与Bode,图相位穿越概念,3.掌握用Bode判据分析,系统稳定性方法,5.4,Bode稳定判据,5.系统稳定性,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第45页,5.4.1 Nyquist图与Bode图对应关系,相连,(,v,为开环积分步骤数目),起始点,(0,+,),Nyquist曲线辅助线:,(0,+,)+,v,90,线,Nyquist图,Bode图,单位圆,0分贝线,单位圆以外,L()0部分,单位圆内部,L()0 全部频率范围内,，对数相频特征曲线,(,),(含辅助线)与,-180,线正负穿越次数之差等于,P,/2,时，系统闭环稳定；不然，闭环不稳定。,(,),自上而下,(,),自下而上,负穿越,(,),自下而上,(,),自上而下,正穿越,对数值,L,(,)0,范围内相频,(j,)穿越-线,G,(j,),H,(j,),穿过负实轴(-1-,)段,Bode判据与Nyquist判据对应关系,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第51页,例1,5.4.3 Bode稳定判据,开环特征方程有两个右根,P,=2,正负穿越数之差-1,闭环不稳定,.,P,=2,开环特征方程无右根,P,=0,正负穿越数之差0,闭环稳定,。,P,=0,开环特征方程有两个右根,P,=2,正负穿越数之差为+1,，所以,闭环稳定,.,P,=2,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第52页,开环特征方程无右根,P,=0，,L,(,)0范围内,(,)和-线不相交即,正负穿越数之差为0,闭环稳定,。,例2,已知系统开环传递函数 和Bode图以下，分析系统闭环稳定性。,5.4.3 Bode稳定判据,0.2,0.8,50,200,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第53页,开环稳定系统Bode判据,尤其地，当,P,=0(开环系统稳定)时，,Bode,判据可简述以下：,c,g,闭环系统不稳定。,5.4.3 Bode稳定判据,GH,Im,Re,o,G,K,(j,),c,g,GH,Im,Re,o,G,K,(j,),c,g,GH,Im,Re,o,G,K,(j,),c,g,开环稳定系统Bode判据与Nyquist判据对应关系十分显著，该判据正确利用是本节必须要掌握内容.,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第54页,说明：若有多个,c,，则取最大,c,进行判断。,5.4.3 Bode稳定判据,上图中，对,c,3,而言，因为,c,3,0,o,，,K,g,1（或,K,g,0,dB）,5.5.2 系统稳定性裕量,G,(j,),H,(j,),稳定裕度在Nyquist图上表示,K,g,稳定裕度在Bode图上表示,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第60页,不稳定系统“稳定裕量”及其标注,0,o,K,g,1(或,K,g,0,dB,).,G,(j,),H,(j,)轨迹 (1),包围,(-1,j0),点；,(2)先穿过负实轴，后穿过单位圆。,5.5.2 系统稳定性裕量,不稳定裕度在Nyquist图上表示,K,g,不稳定裕度在Bode图上表示,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第61页,普通地，开环稳定系统欲使其闭环稳定只需满足以下条件之一：,系统稳定或不稳定程度，可经过稳定裕度进行衡量:,结论,5.5.2 系统稳定性裕量,系统增益裕量、相位裕量增加使系统稳定性增加,但会使响应速度下降。,增益裕量相位裕量,伺服机构：,10-20分贝40度以上,过程控制：,3-10分贝20度以上,在控制工程实践中,为使开环稳定系统闭环有满意稳定性贮备,普通希望:,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第62页,例1 单位反馈控制系统开环传递函数,5.5.2 系统稳定性裕量,K,=10:,=21,0,，,K,g,=8dB，系统稳定,K,=100:,=-30,0,K,g,=-12dB,系统不稳定,-,20,-,40,-,60,6,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第63页,5.5.2 系统稳定性裕量,例2,单位反馈系统开环传递函数 ，试确定使相位裕量,=45,0,时,a,值。,开环频率特征,幅、相频特征,相位裕度,(,幅值穿越频率,),科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第64页,5.5.2 系统稳定性裕量,例3,设系统开环传递函数 ，试分析当阻尼比,很小（,0）时，闭环系统稳定性。,幅、相频特征,谐振频率友好振峰值,因为系统开环稳定且,c,g,，故系统闭环稳定；,即使系统相位裕度较大，但幅值裕度较小，故系统相对稳定性不好。,科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第65页,5.5 系统相对稳定性,课后作业,教材186187页：5.10 (不得用Routh判据),5.12 (选做题),科技大学机械工程控制基础系统的稳定性,第66页,