二阶矩阵与平面向量 综合检测 (2).doc

综合检测(二)
1．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换下得到曲线F，求F的方程．
【解】　设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0，y′0)，
则＝＝，
即∴
又∵点P在椭圆上，代入得
＋y′＝1，
即x2＋y2＝1.
∴曲线F的方程为x2＋y2＝1.
2．若点A在矩阵M＝对应的变换作用下得到点为B(1,0)，求α的值．
【解】　由题意知＝，
所以
解得
从而可知，α＝2kπ－，(k∈Z)．
3．已知直线l与直线3x＋5y＋6＝0平行，且过点(5,6)，求矩阵将直线l变成了什么图形？并写出方程．
【解】　由已知得直线l的方程为3x＋5y－45＝0，设P(x，y)为l上的任意一点，点P在矩阵对应的变换下对应点P′(x′，y′)．
则＝＝，
∴∴代入3x＋5y－45＝0，
得3x′＋25y′－45＝0，
∴直线l变换成直线3x＋25y－45＝0.
4．求直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式．
【解】　设点(x，y)为直线y＝2x上的任意一点，其在矩阵确定的变换作用下得到的点为(x′，y′)，则→＝＝，即所以将其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所以直线y＝2x在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x－7y＝0.
5．切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成什么几何图形？
【解】　设P(x，y)在该变换下的象为P′(x′，y′)，则
＝＝＝，故所以切变变换矩阵把直线x＋y＝1变成与y轴平行的直线x＝1.
6．若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换成曲线x2－2y2＝1，求a、b的值．
【解】　设(x，y)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一点，其在矩阵M的作用下变换成点(x′，y′)，则(x′，y′)在曲线x2－2y2＝1上，＝＝，即将其代入x2－2y2＝1，并整理，得(1－2b2)x2＋(2a－4b)·xy＋(a2－2)y2＝1，比较系数得解得
7．点(2,2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y,4)，求x，y，m，n.
【解】　因为矩阵是旋转变换矩阵，
所以m＝－，n＝.
由题意知＝，
所以解得
8．二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)，(－2,1)均变为点(1,1)．
(1)求矩阵M；
(2)直线l：2x＋3y＋1＝0在变换T作用下得到什么图形？说明理由．
【解】　(1)设M＝，则由题设得
＝，且＝，
即解得
所以M＝.
(2)设P(x，y)是l：2x＋3y＋1＝0上任一点P′(x′，y′)是对应的点，则由
＝＝，
得即2x＋3y＝－x′＝－y′.
又2x＋3y＋1＝0，所以x′＝y′＝1.
故在l在变换T作用下变为点(1,1)．
9．求直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
【解】　＝.
设直线y＝－2x＋1上任意一点为(x0，y0)，其在旋转变换作用下得到点(x′0，y′0)，则＝，
即
解得
因为点(x0，y0)在直线y＝－2x＋1上，所以2x0＋y0－1＝0，所以2×(x′0＋y′0)－(x′0－y′0)－1＝0，整理得x′0＋y′0－1＝0.
所以直线y＝－2x＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是x＋y－1＝0.

10．如图所示的是一个含有60°角的菱形ABCD，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M.该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵．
【解】　由题设知AC∶BD＝∶1.若只变换A，C两个顶点，则应把A，C两个顶点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，于是变换矩阵为M＝；若只变换B，D两个顶点，则应把B，D两个顶点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M＝.所以满足条件的变换矩阵M为或.