信号与系统课后习题与解答第一章.doc

1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？

解 信号分类如下：
图1-1所示信号分别为
（a）连续信号（模拟信号）；
（b）连续（量化）信号；
（c）离散信号，数字信号；
（d）离散信号；
（e）离散信号，数字信号；
（f）离散信号，数字信号。

1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问）
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
解
由1-1题的分析可知：
（1）连续信号；
（2）离散信号；
（3）离散信号，数字信号；
（4）离散信号；
（5）离散信号。

1-3 分别求下列各周期信号的周期T：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos(10t)其周期；对于分量cos(30t)，其周期。由于为的最小公倍数，所以此信号的周期。
（2）由欧拉公式
即
得周期。
（3）因为
所以周期。
（4）由于
原函数 n为正整数
其图形如图1-3所示，所以周期为2T。

1-4对于教材例1-1所示信号，由f(t)求f(-3t-2)，但改变运算顺序，先求f(3t)或先求f(-t)，
讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解 原信号参见例1-1，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f(t)的波形求得f(-3t-2)的波形。
两种方法分别示于图1-4和图1-5中。

1-5 已知f(t)，为求应按下列那种运算求得正确结果（式中都为正值）？
（1）左移；
（2）右移；
（3）左移；
（4）右移。
解 （1）因为左移，得到的是，所以采用此种运算不行。
（2）因为右移，得到的是，所以采用此运算不行。
（3）因为左移，得到的是，所以采用此运算不行。
（4）因为右移，得到的是，所以采用此运算不行。

1-6 绘出下列各信号的波形：
（1）；
（2）。
解 （1）波形如图1-6所示（图中）。
（2）波形如图所示1-7（图中）。

1-7 绘出下列各信号的波形：
（1）；
（2）。
解 的周期为。
（1）波形如图1-8（a）所示（图中）。在区间，内，包含有的两个周期。

（2）波形如图1-8（b）所示（图中）。在区间内是，相当于将倒像。

1-8 试将教材中描述图1-15波形的表达式（1-16）和（1-17）改用阶越信号表示。
解 表达式（1-16）为

这是一个分段函数。若借助阶越信号，则可将其表示为
]
表达式（1-17）为

借助阶越信号，可将其表示为

1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 （1）信号波形如图1-9（a）所示。
（2）信号波形如图1-9（b）所示。
（3）信号波形如图1-9（c）所示。
（4）信号波形如图1-9（d）所示。在区间[1，2]包含的5个周期。

1-10 写出如图所示各波形的函数式。

解 （a）由图1-10（a）可写出

于是
（b）由图1-10（b）可写出

于是
实际上，可看作三个阶越信号的叠加，见图1-11，因而可直接写出其函数表达式为

（c）由图1-10（a）可写出

于是

1-11绘出下列各时间函数的波形图：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
解 （1）信号波形如图1-12(a)所示，图中。

（2）信号波形如图1-12(b)所示，图中。
（3）信号波形如图1-12(c)所示，图中。
（4）信号波形如图1-12(d)所示，图中。
（5）信号波形如图1-12(e)所示，图中,信号关于 偶对称。
（6）因为

所以该信号是衰减正弦波。其波形如图1-12(f)所示，图中。

1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）。
解 （1）信号波形如图1-13(a)所示，图中。

（2）信号波形如图1-13(b)所示，图中。
（3）信号波形如图1-13(c)所示，图中。
（4）信号波形如图1-13(d)所示，图中。
（5）信号波形如图1-13(e)所示，图中。
（6）信号波形如图1-13(f)所示，图中。
（7）信号波形如图1-13(g)所示，图中。

1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 （1）信号波形如图1-14(a)所示。

（2）信号波形如图1-14(b)所示。
（3）信号波形如图1-14(c)所示。
（4）信号波形如图1-14(d)所示。

1-14 应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）。
解 有冲激信号的抽样特性得
（1）
（2）
（3）设，则
（4）设，则
（5）
（6）
（7）
此题的（3）、（4）两小题还可用另一种方法求解：
（3）冲激位于处，阶越信号始于，因而

则 原式=
（4）冲激仍位于，而始于，也就是说在处，，因而
则 原式=

1-15 电容和串联，以阶越电压源串联接入，试分别写出回路中的电流，每个电容两端电压的表达式。

解 由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分别为，则回路电流
其中，为、的串联等效电容值。
再由电容的电流和电压关系，有

1-16 电感与并联，以阶越电流源并联接入，试分别写出电感两端电压、每个电感支路电流的表示式。
解 由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电感支路的电流分别为和，则电感两端电压

其中为、的并联等效电感值。
再由电感的电流和电压关系，有

1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少？
（1）全波整流；
（2）；
（3）；
（4）升余弦。
解 （1）的周期为，的周期为，因而的直流分量

（2）由于在一个周期内的平均值为0，因而的直流分量。
（3）的两个分量和的周期均为，因而的周期也为。 但由于和在一个周期内的均值都为0，所以的直流分量。
（4）与（2）中类似，所以，理由同（2）。

1-18 粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量。

解 （a）信号的反褶及其偶、奇分量、如图1-18（a）、（b）、（c）所示。

（b）因为是偶函数，所以只包含偶分量，没有奇分量，即
，
（c）信号的反褶及其偶、奇分量、如图1-19（a）、（b）、（c）所示。
（d）信号的反褶及其偶、奇分量、如图1-20（a）、（b）、（c）所示。

1-19 绘出下列系统的仿真框图：
（1）；
（2）。
解 （1）选取中间变量，使之与激励满足关系：
①
将此式改写成，易画出如图1-21（a）所示的方框图。再将①代入原微分方程，有
对比两边，可以得到与之间的关系式：

将此关系式在图1-21（a）中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21（b）所示。

（2）方法同（1）。先取中间变量，使与满足：
②
将②式代入原微分方程后，易看出与满足：
③
将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图。

1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）。
解 （1）由于

而
所以系统是线性的。
当，而激励为时，响应为

所以系统是时不变的。
由可知，响应只与此时的输入有关，与这之前或之后的输入都无关，所以系统是因果的。
（2）由于

而
所以系统是线性的。
由于当时，
而时，，
即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。
由可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。
（3）由于

而

所以系统是非线性的。
当激励为时，响应所以系统是时变的。
由可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。
（4）由于

而

所以系统是线性的。
由于当时，
而当时，
所以系统是时变的。
令中，则有，说明响应取决于将来值（0时刻输出取决于1时刻输入），所以系统是非因果的。
（5）由于

而

所以系统是线性的
由于当时，
而当
所以系统是时变的。
对于，令，有，即响应先发生，激励后出现，所以系统是非因果的。
（6）由于

而

所以系统是非线性的。
由于

所以系统是时不变的。
由知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。
（7）由于

而
所以系统是线性的。
由于
所以系统是时不变的。
由可知，t时刻的输出只与t时刻以及t时刻之前的输入有关，所以系统是因果的。
（8）由于

而
所以系统是线性的。
由于
所以系统是时变的
对于，令，有
即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。

1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生系统输出的两个输入信号。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解 （1）该系统可逆，且其逆系统为
（2）该系统不可逆，因为当，（且均为常数）时，，即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。
（3）该系统可逆。因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为。
（4）该系统可逆，且其逆系统为。

1-22 若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分：
（1）；（2）；（3）直流。
请你分别设计相应的系统（尽可能简单的）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。
解 （1）若系统的输入、输出具有约数关系
则当此系统的输入信号为时，输出信号中会包含。
（2）若系统的输入、输出具有约数关系
则当此系统的输入信号为时，输出信号中会包含。
（3）若系统的输入、输出具有约数关系 （为非零常数）
则当此系统的输入信号为时，输出信号中会包含直流成分。

三个小题中，输入信号均为，而输出信号中分别包含，和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号经系统传输后，产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。因此在设计系统中，要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。

1-23 有一线性时不变系统，当激励时，响应，试求当激励时，相应的响应表达式。（假定起始时刻系统无储能。）
解 因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。
有LTI系统的微分性质，即若当激励为时产生的响应为，则当激励为时产生的响应为，有