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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,导数与微分,一、导数概念,1.自变量增量：,2.函数增量：,3.导数定义：,第1页,导数与微分,即导数为函数增量与自变量增量比极限,第2页,导数与微分,第3页,导数与微分,二、导数物理和几何意义,1.物理意义：表示运动物体瞬时速度即：,2.几何意义：表示曲线yf(x)在x,0,处切线斜率即,若切点为 则曲线在,切线方程为：,法线方程为：,第4页,导数与微分,第5页,导数与微分,三、基本求导公式：,第6页,导数与微分,第7页,导数与微分,第8页,导数与微分,四、求导法则,若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则,第9页,导数与微分,1.求以下函数导数,第10页,导数与微分,第11页,导数与微分,第12页,导数与微分,2.复合函数求导,第13页,导数与微分,注：复合函数求导法则关键在于：,（1)将复合函数分解成若干个基本初等函数；,（2)分别求出这些函数导数并相乘；,（3)将所设中间变量还原,第14页,导数与微分,第15页,导数与微分,第16页,导数与微分,第17页,导数与微分,第18页,导数与微分,第19页,导数与微分,第20页,导数与微分,例5：证实：偶函数导数是奇函数。,证：设f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x),u=-x,第21页,导数与微分,3.隐函数求导法则：,隐函数：由含x，y方程F(x,y）0给出函数称,为隐函数。有些方程，能够从中解出y，将y表示成,x显函数形式。如：,有些方程则不能解出y，如 等，,对于这么隐函数可无须解出y，而是将y作为x,函数隐藏在方程中利用隐函数求导法则求出其导数,第22页,导数与微分,隐函数求导法则：,将y作为x函数，yy(x)，于是F(x，y(x)）0,对方程两边x求导，遇y时，将y作为中间变量，,利用复合函数求导法则对y求导再乘 得到一个含方程，最终从新方程中解出,第23页,导数与微分,例6：求以下函数导数,第24页,导数与微分,第25页,导数与微分,第26页,导数与微分,第27页,导数与微分,第28页,导数与微分,第29页,导数与微分,第30页,导数与微分,注：对一些较复杂乘积，商或根式函数求导时，可利用先取对数后求导方法计算,第31页,导数与微分,5.参数方程求导法则,第32页,导数与微分,第33页,导数与微分,五、函数微分,1.微分定义:设函数y=f(x)在点x,0,处可导,是自变量x增量,则称 为函数f(x)在x,0,处关于,x微分.记为:,即,2.函数可微条件:,定理:函数y=f(x)在x点可微充分必要条件是y=f(x)在x点处可导.,即：函数可微 存在,则函数可导且 ,反之,函数可导,既 存在,则 从而函数可微.,第34页,导数与微分,第35页,导数与微分,第36页,导数与微分,第37页,导数与微分,第38页,导数与微分,3.微分公式,第39页,导数与微分,第40页,导数与微分,4.微分法则,第41页,导数与微分,例10 求以下函数微分：,第42页,导数与微分,第43页,导数与微分,5.一阶微分形式不变性：,若u为自变量,yf(u),则,若u为中间变量,从而不论u是自变量还是中间变量其微分形式不变,皆为dy=f(x)du.,我们将微分这一性质称为一阶微分形式不变性,利用一阶微分形式不变性能够方便求出复合函,数和隐函数微分和导数。,第44页,导数与微分,第45页,导数与微分,第46页,导数与微分,第47页,导数与微分,例12 求以下隐函数微分和导数,第48页,导数与微分,第49页,导数与微分,第50页,导数与微分,6.微分在近似计算中应用,第51页,导数与微分,第52页,导数与微分,第53页,
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