过渡配合中过盈.doc

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高 教 论 坛

过渡配合中过盈、间隙配合出现概率的计算
宋国岩
摘 要：本文介绍设计过程中选用过渡配合时，应用概率统计理论，精确设计过渡配合中需要出现过盈、间隙配合概率的方法。在选用过渡配合时，准确计算出现过盈、间隙配合的概率。并介绍了大批量生产及中小批量生产时出现过盈、间隙配合概率的计算方法，为要求较严格配合公差时的过渡配合公差选用提供了计算方法，使过渡配合公差选择具有较高的精确度和理论依据。
关键词：概率；正态分布；概率密度：f（x）；数学期望：μ；方差：σ

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1、引言

作者简介：宋国岩（1964—），辽宁黑山县人，硕士，教授，高级工程师，两项自治区级科研
课题主持人，在国家核心期刊发表多篇论文，从事机械电子工程及实践教学。

机械产品质量一定程度上取决于各类公差选用的准确性，但目前“国标”公差的理论资料对过渡配合阐述较少，使用它只能计算出过渡配合时的最大过盈量和最大间隙量，而出现过盈、间隙配合的概率则无法确定，这给准确选用过渡配合带来了一定困难。《概率论与数理统计》为解决这个概率的问题提供了理论依据：“大子样分布属正态分布”，可推得批量生产（大子样）的零件尺寸应符合正态分布，利用正态分布的概率密度公式，配合《标准正态分布表》就能够准确地计算出过渡配合时出现过盈、间隙配合件的概率。提高了过渡配合公差选用的准确度，最终达到提高了产品质量的目的。
2、概率计算的理论推导及依据

因为批量生产的零件尺寸分布属正态分布，且尺寸不能超差，所以其正态分布的方差 σ应取零件的公差带的六分之一①；数学期望 μ应等于基本尺寸与公差带的平均值的和。过渡配合的孔、轴类零件符合批量生产，它们的尺寸分布密度应呈正态分布，所以符合正态分布概率密度公式：

由此可以得出孔、轴类零件尺寸分布密度公式：（参见下图)
孔类件尺寸分布密度公式为：

轴类件尺寸分布密度公式:

并有方差应等于分布区间(既公差带) 的六分之一，所以：
σ1 = T1/6 σ2 =T2 /6
孔、轴公差带中值：
E M = （ES－EI）/2 em=(es－ei)/2

基本尺寸 轴类件尺寸正态分布密度图

基本尺寸 孔类件尺寸正态分布密度图

Fig. 1 Density normal distribution of parts with holes and axles 按概率论正态分布状态理论，它的数学期望应等于分布区间值的中值，即：
μ1 =H +EM μ2 = h + em
这是大批量使用专用机床和专用不刃磨刀具生产时，或说是理论状态下的结论。但在实际中、小批量机械加工中，在使用通用机床和刃磨刀具时存在着“大轴、小孔”的现象：“轴的平均尺寸靠近上极限尺寸；孔的平均尺寸靠近下极限尺寸”，使得零件尺寸正态分布的数学期望偏离平均尺寸，出现孔类件的数学期望偏向于下极限尺寸；轴类件的数学期望偏向上极限尺寸，笔者自1994年起在定点实习基地海拉尔机床厂和牧业机械厂，对ZJA3725型摇臂钻床的主轴轴套内、外径、变速齿轮内孔径、变速箱的孔径；牧业机械厂生产的9GZ－2.1机引割草机的刀片（类轴件）、护刃器（类孔件）、各种齿轮的孔径、各种轴的外径15万余件零件的检测结果进行了数理统计分析，得出凡采用通用设备、需刃磨刀具加工的孔类件、轴类件存在着大轴小孔的现象，孔类件轴类件的数学期望为：
μ1≈H + EM－0.1013T1 μ2≈H+ em+0.1024T2
这个结果与参考文献①②的结论相符，而使用专用机床专用非刃磨刀具生产的零件尺寸符合标准正态分布。所以零件尺寸分布有两种情况，第一种理想状态：使用数控或专用机床、成型非刃磨刀具时：零件尺寸分布符合正态分布，数学期望等于平均尺寸；第二种非理想状态：使用通用机床需刃磨刀具、采用试切法加工时：零件尺寸分布符合数学期望偏离0.1T平均尺寸正态分布（见下图）。即理想状态下加工的孔、轴类件的数学期望不变，非理想状态加工的孔、轴数学期望分别为：μ1= EM－0.1T1 μ2 = em＋0.1T2

轴的理想非理想状态密度分布图

Fig. 2 Axles, ideal and non- ideal density distribution

故理想状态方差依然为公差的T /6。过渡配合件的尺寸属正态分布，依据《概率论及数理统计》可知：配合后间隙、过盈配合件的概率密度亦应属正态分布。
令间隙量为Z： Z = D - d 所以过盈、间隙配合件的概率密度公式应为：

其数学期望：μ=μ1 -μ2
而配合后的方差用概率法求出，故有的方差为： σ=
当取 z= 0 时求 z－μ值，再查标准正态分布表，就可以得到过渡配合中的过盈配合件出现的概率 p ( y )，间隙配合事件出现的概率 p ( x ) = 1－p ( y )
3、过渡配合的孔、轴配合时参数的求法
当采用不同的加工工艺时，会出现孔、轴的尺寸分布密度概率呈理想状态或非理想状态。配合有四种情况：理想孔、轴配合；非理想孔、轴配合；理想的孔、非理想的轴配合；非理想的孔、理想的轴配合，但是另一个参数数学期望确有四种情况：
①理想孔、轴配合时数学期望：
μ= EM－em
②非理想孔、轴配合时数学期望：
μ= EM－em－0.1T1－0.1T2
③理想的孔、非理想的轴配合时数学期望：
μ= EM －em－0.1T2
④非理想的孔、理想的轴配合时数学期望、方差分别为：
μ= EM－0.1T1－em
采用不同的加工工艺会得到不同的配合参数，因此使用过渡配合时一定要注意孔、轴类件的加工工艺，分清其属性，才能得到准确计算。
4、实例计算方法步骤及演示
以例①φ45 、例②φ55 、例③φ60 三种配合为例，求

配合时出现过盈、间隙配合的概率。
4.1查公差计算公差带极限及方差（单位μm)
例① ES=25 EI=0 es = 18 ei =2
EM =12.5 em=10
例② ES =14 EI = －32 es = 0
ei =－30 EM =－9 em=－15
例③ ES =0 I =－30 es = －10
ei =－29 EM =－15 em=－19.5
4.2数学期望及方差的计算（见表1）

表1 计 算 表

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Tab.1 Caculating table
项目

例
各种配合的数学期望 μ和方差σ
理想的孔轴配合
非理想孔、轴配合
理想孔非理想轴
非理想孔理想轴
μ
σ
μ
σ
μ
σ
μ
σ
φ45
2.5
4.947
－1.6
4.947
0.0
4.801
0.9
4.947
φ55
6.0
9.153
－1.6
9.153
3.0
9.153
1.4
9.153
φ60
4.5
5.918
－0.4
5.918
2.6
5.918
1.5
5.918

4.3、 求t 值及计算过盈间隙配合的概率：
因为 z =D - d =0 时为过盈、间隙配合的分界线，求出z=0时的t值
①在 ① φ45 中，四种不同情况下的 t = 值计算及过盈配合件概率
p (y )、间隙配合件概率p(x)的查表：
a、理想的孔、轴配合时： t = -0.505 p (y ) =0.3067 p (x) =0.6933
b、非理想孔、轴配合：t =0.323
p (y) =0.6266 p (x) = 0.3734
c、理想的孔、非理想的轴配合：
t = 0.00 p (y)=0.500 p (x)=0.500
d、非理想的孔、理想的轴配合
t = -0.182 p (y) =0.4278 p (x) =0.5722
②在例② φ55 中，四种不同情况下的 t 值计算及过盈配合件概率p (y )、间隙
配合件概率p(x)的查表：
a、理想的孔、轴配合时： t = -0.656
p (y ) =0.2559 p (x) =0.7441
b、非理想孔、轴配合： t= 0.175
p (y) =0. 5708 p (x) = 0.4292
c、理想的孔、非理想的轴配合：
t =-0.328 p (y)=0.3715 p (x)=0.6285
d、非理想的孔、理想的轴配合：
t = -0.153 p (y)=0.4392 p (x)=0.5608
③在例③ φ60 中，四种不同情况下的 t 值计算及过盈配合件概率p (y)、
间隙配合件概率p(x)的查表：
a、理想的孔、轴配合时： t = -0.760
p (y ) =0.2236 p (x) =0.7764
b、非理想孔、轴配合： t=0.071
p (y ) =0.5283 p (x) = 0.4717
c、理想的孔、非理想的轴配合：
t = -0.439 p (y)=0.3307 p (x)=0.6693
d、非理想的孔、理想的轴配合：
t = -0.253 p (y) =0.4001 p (x)=0.5999 5、计算时应注意的问题
5.1无论过渡配合的公差设计还是计算过渡配合时的过盈、间隙配合的概率，必需了解所用配合件的生产工艺，否则会出现较大的误差。
5.2相同的公差配合种类，如果基本尺寸或精度等级不同，则出现配合概率也不同。换言之就是公差配合的三个参数基本尺寸、配合种类、精度等级只要有一个变化，它的配合概率就会变化，不可因一种配合中有两个参数相同就认定其配合概率相同。
5.3在采用分组选配法时，对标准正态分布，采用等分分组法；对非标准正态分布则应采用非等分分组法。其配合的概率总体变化不大，但每组变化较大，甚至个别组变为过盈或间隙配合，这种计算较复杂，在要求不严的地方可以用整体计算法，在要求较严格的地方则必须进行分组计算。
注释：
① 参考书2，118页：“对于正态随机变量，它的值落在〔μ－3σ，μ＋3σ〕内几乎是肯定的事”。
② 参考书1，32页：Zm（Nm）=EM-em-0.1(t1 + t2)
参考文献：
[1]П.Ф.杜纳也夫〔苏〕公差与配合选择的依据〔M〕.北京：中国计量出版社，1996。
[2]浙江大学高等数学教研组.概率论与数理统〔M〕.北京：高等教育出版社，1998。
[3]沈鸿.机械工程手册〔M〕.北京：机械工程出版社，1983。

（上接101页）实现预定的目的的心理过程。在露天开采生产中作业人员应该具备的基本的意志品质是作业中的自觉性、坚韧性、果断性和自制力。这种要求也决定了与其他行业的区别。不过目前的各露天矿的总体情况与目标要求还有不小的差距。在日常运行管理当中，对大多数的有意违章事故处理都是作业人员意志品质差或者达不到作业要求时发生的。这就要求安全规程的另一部份——作业纪律来保障。
五、结束语
对露天开采作业的规程的细致划分目的是通过把握各规程的如何生成、执行和发展的，利于科学、有效地设计、制定规程，在运行中利于安全、高效作业。但是在实际作业人员操作中，这三项规程最好根据需要融合在一起，不可单独划分，循序执行。
通过对露天开采作业的规程的细致划分，三项规程又是不断发展的。这种发展由以下决定:⑴人机、环境系统升级。⑵事故的源动力发生变化。⑶作业的管理技术升级。⑷国家、行业标准升级。
参考文献：
[1]王继成编著，产品设计中的人机工程学[M]，高等学校教材，化学工业出版社出版，2004年8月。
[2] 国家煤矿安全监察局事故调查司组织编写，露天煤矿挖掘机司机[M]，中国矿业大学出版社，2007年4月。