概率统计习题册答案.doc

一、概率公式的题目

1、已知 求
解：

2、已知 求
解：。

3、已知随机变量，即有概率分布律，
并记事件。 求：（1）； （2） ； （3） 。解：（1）；
（2）
（3）

4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？
解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”，
=

5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统，每种系统单独使用时，其有效的概率系统为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求：
（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）失灵的条件下，有效的概率。
解：设“系统有效”, “系统有效”,
,

6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为，刮风（记作事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为，求。
解：；

。

二、已知密度（函数）求概率的题目

1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ，
任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。

解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则.故有

2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为，
若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？
解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以
。

3、某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度
，
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于
1500小时的概率是多少？
解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，

4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X。多数情况下，可以认为X服从指数分布。设它的概率密度函数为：
（的单位为月）
（1）从一批产品中抽取样品，测得有50％的样品有效期大于３4个月，求参数的值。
（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？
解：指数分布的分布函数为
（１）
（２）

5、设K在（-1，5）上服从均匀分布，求的方程有实根的概率。
解：要想有实根，则则，
又因为，所以。

三、分布函数、密度函数的题目
1、设随机变量X的分布函数为，
(1) 求系数A ，B； (2) 求； (3) 求X的分布密度。
解：（1）由F(x)在处的右连续性知 解之得
（2）
（3）因为，则

2、设随机变量的分布函数为 ，
求：（1）常数； （2）； （3）的密度函数。
解：（1）由分布函数的右连续性知：
，所以；
（2）；
（3） 。

3、设随机变量的分布函数为 ，
求：常数； ； 的密度函数。

解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以；
（2）；
（3） 。

4、设随机变量的分布函数为
求：（1）系数； （2）； （3）的密度函数。

解： (1) 由于在内连续，
又 故
(2) ==
(3) 的密度函数为

5、设连续性随机变量的分布函数为 　，
求：(1)常数A，B； (2)； (3) 的密度函数。
解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：
，所以；
（2）；
（3） 。

6、设随机变量X的概率密度函数为 ，
(1) 求常数A； (2) 求； (3) 求X的分布函数。
解： (1) 所以
(2)
（3）

所以

7、设连续型随机变量的密度函数为，
求：系数； 的分布函数； 。
解：（1）由，；
（2）；
（3）

8、设随机变量的密度函数为 ，
求：（1）常数； （2）； （3）的分布函数。
解：（1）由，；
（2）；
（3）

9、设随机变量的密度函数为 ，求
（1）常数； （2）； （3）的分布函数。
解：（1）由，；
（2）；
（3）

四、变一般正态为标准正态分布求概率

1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分，
96分以上的占考生总数的2.3% 。试求：
（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率；
（2）该地外语考试的及格率；
（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ ， ）
解：依题意，

(1)
(2)
(3)设全班人数为n， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则，则不及格人数为

2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。
解：依题意，，85分以上学生为优秀，则
　所以优秀学生为2.28%。

3、设某工程队完成某项工程所需时间X（天）近似服从。工程队上级规定：若工程在100天内完工，可获得奖金7万元；在100~115天内完工可获得奖金3万元；超过115天完工，罚款4万元。求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。
（参考数据：）
解：设所获奖金为Y万元，Y是X的函数，可取值为　－4，3，7

Y
-4
3
7
P
0.0013
0.4987
0.5000

所以，可获奖金Y 的分布律为 ：

4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？（）
解：设车门的高度为厘米，则
，
所以。即车门的高度至少要厘米。

5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？()
解：设车门的高度为厘米，则
，
所以。即车门的高度至少要厘米。

6、某地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg计）服从，在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求：（1）P (X≤105)；（2）P (100<X ≤120)。（，）

解：
(2)

五、数学期望、方差的题目

1、 设随机变量的概率密度为：，
求：

解：　

所以　

2、一工厂生产的某种设备的寿命(以年计) 服从指数分布,
的密度函数为
工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

解：设表示厂方出售一台设备净赢利,有

所以每台的净赢利的数学期望为元

3、假设有10只同种电器元件，其中有两只废品，从这批元件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。

解：设为取到正品之前已取出的废品数，则的分布为

故

4、一袋中有张卡片，分别记为，从中有放回的抽取张来，以表示取出的张卡片的号码之和，求。
解：设表示第次取出的号码，则的分布律为
，
所以，，
则

5、已知随机变量的密度函数为，
对独立观察3次，用表示观察值大于的次数。求：（1）的分布律； （2）的分布函数； （3）

解：令
（1）的分布律为：（2） ；
（3）

6、某车间生产的圆盘直径在区间服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解：设为圆的直径，为圆的面积，则 ，因为所以 的密度函数为
所以

7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量（吨）服从区间[ 0 ，5 ]上的均匀分布．这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元．如果产量小于需求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 应该定为多少吨？

解：因为～，的概率密度为 。
设为该厂每月获得的利润（单位：万元），根据题意
。
该厂平均每月利润为：
＝
。
由 可解得 （吨）。

可见，要使得每月的平均利润达到最大，月产量应定为吨。

8、设随机变量的概率密度为　　
已知
求：（1）的值； （2）随机变量的数学期望。
解：（1）

，
解方程组 ；
（2）

9、设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润万元，发生一次故障可获利润万元，发生两次故障获利万元，发生三次或三次以上故障则亏损万元，求一周内的利润期望。

解：设一周5个工作日内发生故障的天数为，则，设为一周内获得的利润，则为离散型随机变量，其所有可能取

值为（万元）其分布律为：

即可获利润T 的分布律为 ：

T
-2
0
5
10
P
0.057
0.205
0.410
0.328

。

六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目
1、设总体概率密度为：，其中参数且未知，设为总体的一个样本, 是样本值，求的矩估计量和极大似然估计量。
2、已知随机变量的密度函数为，
其中为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量。
3、设总体概率密度为，其中为未知参数，为总体的一个样本, 是样本值，求参数的矩估计量和极大似然估计量。
X
1
2
3

4、设总体X具有分布律 ：

其中为未知参数，已知取得了样本值。
试求的矩估计值和极大似然估计值。
5、设总体的密度函数为：，其中为未知参数,
是来自总体的样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量。
6、设为总体的一个样本, 的密度函数（其中未知参数），是样本值，求参数的矩估计量和最大似然估计量。
7、设为总体的一个样本, 的密度函数，
其中未知参数，是样本值，求参数的矩估计量和最大似然估计量。
8、已知随机变量的密度函数为 ，
其中为未知参数，设为总体的一个样本, 是样本值，求参数的矩估计量和极大似然估计量
七、区间估计
1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值为,样本标准差为。假定胆固醇水平,与均未知,求总体标准差的置信度为90%的置信区间。（ ， ）
2、设某异常区磁场强度服从正态分布，现对该地区进行磁测，今抽测16个点，算得样本均值样本方差，求出的置信度为的置信区间。参考数据：
3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了天，得，求职工每天医疗费均值的置信水平为的置信区间。
（）
4、某超市抽查80人，调查他们每月在酱菜上的平均花87费，发现平均值为元，样本标准差元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费的置信度为 的区间估计。
（，）
5、随机地取某种炮弹发做试验，测得炮口速度的样本标准差，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为的置信区间。

6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。假定发票金额服从正态分布,求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%的置信区间。

八、假设检验
1、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为=66分，标准差20分，问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分？并给出检验过程。（参考数据：，）

2、机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，要求每袋盐的标准重量为500克。某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得样本均值样本方差. 问这天自动包装机工作是否正常（）？（参考数据：）
3、设有正态分布总体的容量为100的样本，样本均值均未知，而，在水平下，是否可以认为总体方差为？

4、设总体服从正态分布,从中抽取一个容量为的样本，测得样本标准差，取显著性水平，是否可以认为总体方差为?
（；；；）
5、设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为 分，样本标准差为分，问在显著性水平下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。
6、某百货商场的日销售额服从正态分布，去年的日均销售额为53.6万元，方差为36.今年随机抽查了10个日销售额，算得样本均值万元，根据经验，今年日销售额的方差没有变化。问：今年的日平均销售额与去年相比有无显著性变化（）？
（）
7、某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告，它的广告是针对平均年龄为21岁的年轻
人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布，现随机抽取400位听众进行调查，得岁，，以显著性水平判断广告公司的广告策划是否符合实际？ 检验假设 ()
六、点估计（矩估计、极大似然估计）的答案
1、解：,
令,得的矩估计量
似然函数为
.由
得的极大似然估计量 。
2、解：
故 的矩估计量为
似然函数, 故

3、解：
令,得的矩估计量为 。
似然函数为
.由
得的极大似然估计量为 。
4、解 ：
令，所以为的矩估计量，矩估计值为。

，令，得。
5、解： 由,令,得的矩估计量为。
先写出似然函数 ,
取对数得 . 似然方程为
解得的极大似然估计值为； 的极大似然估计量为。
6、解： 令 故 的矩估计量为
似然函数

7、解： 令 故 的矩估计量为

似然函数

8、解：
故 的矩估计量为
似然函数, 故

七、区间估计的答案
1、解：由公式知的置信度为的置信区间为 .
而，，,
，代入可得的置信区间为(9.74,15.80).
2、解：的置信区间为

3、解：已知，，所以的置信度为95%的双侧置信区间为：

4、解：样本容量,属大样本,则近似服从,按照正态分布均值的
置信区间的求法, 而, ,,可以类似得到酱菜平均花费的
置信度为的置信区间是
5、解：已知，，，，所以的95%的置信区间为：
。
6、解 ：设总体为,因未知,则发票平均金额的置信度为的
置信区间是,
将,代入得到的置信区间为(71.8,85.2)。

八、假设检验的答案
1、解：
由于
所以接受，即在显著水平0.05下，可以认为这次考试全体学生的平均成绩为71分。
2、解： . 若成立, 统计量
. 。
故接受.认为这天自动包装机正常。
3、解： ，

由于, <<
所以接受，即在显著水平0.05下，认为总方差为2.5。
4、解：
由于，因为，

所以接受，即在显著水平0.05下，可以认为总体方差为80。
5、解：
由于
所以接受，即在显著水平0.1下，可以认为这次考试全体学生的平均成绩为70分。
6、解：今年日销售额总体，其中已知.
建立假设
当真时，检验统计量为. 拒绝域为
由于. 查表得，代入得，故拒绝原假设，即认为今年的日平均销售额与去年相比有显著性变化。
7、解：建立假设
当真时，检验统计量拒绝域为.
查表得，由于，故拒绝原假设，