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实验三 傅里叶变换、系统的频域分析

一、 实验目的
1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换
2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性
3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应
二、实验原理
1．傅里叶变换的MATLAB求解
MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。
Fourier 变换的调用格式
F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。
F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即
Fourier逆变换的调用格式
f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是关于x的函数。
f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.
注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。
例4-1 求的傅立叶变换
解: 可用MATLAB解决上述问题：
syms t
Fw=fourier(exp(-2*abs(t)))

例4-2 求的逆变换f(t)
解： 可用MATLAB解决上述问题
syms t w
ft=ifourier(1/(1+w^2),t)

2．连续时间信号的频谱图
例4-3 求调制信号的频谱，式中

解：MATLAB程序如下所示
ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))');
Fw=simplify(fourier(ft))
subplot(121)
ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on
subplot(122)
ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid

用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是

当足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有
是频率取样点
时间信号取样间隔应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0为信号的带宽。

例4-4 用数值计算法求信号的傅里叶变换
解，信号频谱是，第一个过零点是，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50，据此确定取样间隔，
R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1);
W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N;
F=f*exp(-j*t'*W)*R;
F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];
F=[fliplr(F),F(2:501)];
subplot(2,1,1);plot(t,f);
xlabel('t');ylabel('f(t)');
title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)');
subplot(2,1,2);plot(W,F);
xlabel('w');ylabel('F(w)');
title('f(t)的付氏变换F(w)');

3．用MATLAB分析LTI系统的频率特性
当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有

MATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下
H=freqs(b,a,w)
其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。
例如，运行如下命令，计算0~2pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值
a=[1 2 1];
b=[0 1];
h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)

例 4-5 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为

试画出该系统的幅度响应和相位响应。
解 其MATLAB程序及响应的波形如下
w=0:0.025:5;
b=[1];a=[1,2,2,1];
H=freqs(b,a,w);
subplot(2,1,1);
plot(w,abs(H));grid;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('|H(j\omega)|');
title('H(jw)的幅频特性');
subplot(2,1,2);
plot(w,angle (H));grid;
xlabel('\omega(rad/s)');
ylabel('\phi(\omega)');
title('H(jw)的相频特性');

4．用MATLAB分析LTI系统的输出响应
例 4-6已知一RC电路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, 试求该系统的响应y(t)
-
+
-
+

f(t)
y(t)
R
C

解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为

由此可求出余弦信号通过LTI系统的响应为

计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下
RC=0.04;
t=linspace(-2,2,1024);
w1=5;w2=100;
H1=j*w1/(j*w1+1/RC);
H2=j*w2/(j*w2+1/RC);
f=cos(5*t)+cos(100*t);
y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));
subplot(2,1,1);
plot(t,f);
ylabel('f(t)');
xlabel('Time(s)');
subplot(2,1,2);
plot(t,y);
ylabel('y(t)');
xlabel('Time(s)');
三、 上机实验内容
1.验证实验原理中所述的相关程序；
2.试用MATLAB求单边指数数信号的傅立叶变换，并画出其波形；
3.设，试用MATLAB画出该系统的幅频特性和相频特性，并分析系统具有什么滤波特性。