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数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析)　

一．选择题（共12小题）
1．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（　　）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（　　）

A． B．2 C． D．10﹣5
7．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（　　）

A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7
8．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
9．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．4
10．如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．不能确定
11．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF
12．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab

二．填空题（共12小题）
13．点A（3，﹣4）到原点的距离为　　．
14．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　　．
15．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为　　．

16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=　　（提示：可过点A作BD的垂线）

17．一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，若AB=DE=8，则BE=　　（结果保留根号）

18．如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是　　 cm2．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　　．

20．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为　　．

21．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为　　．

22．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=4，BC=2，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是　　．

23．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为　　．

24．如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　　．

三．解答题（共16小题）
25．在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．

26．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

27．问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上　　；
（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为　　．
28．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP=2，求CQ的长．

29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，对角线AC⊥CD，点E在边BC上，且∠AEB=45°，CD=10．
（1）求AB的长；
（2）求EC的长．

30．如图，将线段AB放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B均落在格点上．
（1）AB的长等于　　；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画出点P，使AP=，并简要说明画图方法（不要求证明）　　．

31．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．
（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；
（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

32．定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；
（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如图，△ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：△ABC是勾股三角形．

33．如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直．长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离．（结果保留根号）

34．如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．
（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；
（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？

35．如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的长．

36．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　　
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、2、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

37．在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，且BD=，连接AD，求证：AD⊥AC．

38．如图，在△ABC中，AB=AC=28cm，BC=20cm，点D是AB边的中点，若有一动点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在CA边上由点C向A运动．
（1）P、Q两点的运动速度均为3cm/s，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等，说明理由
（2）若点P的运动速度为2.5cm/s，点Q的运动速度为3.5cm/s，是否存在某一时刻，使△BPD≌△CQP．

39．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

40．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过点A，问FH多少里？

数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析)　
参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．（2016•荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

2．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．
（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．
【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．

（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．

（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．

（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3．
综上，可得
面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．

3．（2016•东营）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（　　）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，
此时BC=BD+CD=8+2=10；
如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD==8，CD==2，此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6，
则BC的长为6或10．
故选C．

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

4．（2016•漳州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．

5．（2016•南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；
B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；
C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；
D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．

6．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（　　）

A． B．2 C． D．10﹣5
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．
【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，

在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2=AB2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2，
同理可得HE=2，
在RT△GHE中，GH===2，
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．

7．（2016•青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（　　）

A．（）6 B．（）7 C．（）6 D．（）7
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．
观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，
∴Sn=（）n﹣3．
当n=9时，S9=（）9﹣3=（）6，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=（）n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．

8．（2016•黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13 B．19 C．25 D．169
【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13﹣1=12，即2ab=12，
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故选C
【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

9．（2016•黄冈校级自主招生）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（　　）

A．3 B．4 C．2 D．4
【分析】在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，从而在Rt△ADO中利用勾股定理即可得出AD的长度．
【解答】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；
Rt△DOC中可得：DO2=DC2﹣CO2；
∴可得AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2=18，
即可得AD==3．
故选A．

【点评】此题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式．

10．（2016•雅安校级自主招生）如图：已知△ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，△ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（　　）

A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．不能确定
【分析】根据题给图形可知：S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC，S2=S△ABC，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2，继而即可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S1=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC=π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC=S△ABC，
S2=S△ABC．
∴S1=S2．
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意得出阴影部分的面积与直角三角形三条边的关系是解答此题的关键．

11．（2016•海淀区校级模拟）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　）

A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点评】考查了勾股定理逆定理的应用．

12．（2016•富顺县校级模拟）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab
【分析】先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b+a2
=b2+（b﹣a）2．
故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

二．填空题（共12小题）
13．（2016•淮阴区一模）点A（3，﹣4）到原点的距离为　5　．
【分析】易得点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：点A的坐标为（3，﹣4）到原点O的距离：OA==5，
故答案为：5．
【点评】本题主要利用了“平面内一点到原点的距离等于其横纵坐标的平方和的算术平方根”这一知识点．

14．（2016•道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　10或90　．
【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可．
【解答】解：由题意可作图．
如图1，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=1．
∴BC2=12+32=10．
如图2，AC=5，CD=3，CD⊥AB，根据勾股定理可知：AD==4，
∴BD=9，
∴BC2=92+32=90．
故答案是：10或90．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可．注意：需要分类讨论．

15．（2016•烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为　　．

【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．
【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC中，OC===，
∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM=OC=，
∴点M对应的数为．
故答案为．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了等腰三角形的性质．

16．（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE=　2　（提示：可过点A作BD的垂线）

【分析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可．
【解答】解：过A作AF⊥BD，交BD于点F，
∵AD=AB，∠DAB=90°，
∴AF为BD边上的中线，
∴AF=BD，
∵AB=AD=，
∴根据勾股定理得：BD==2，
∴AF=，
在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°，
∴EF=AE，
设EF=x，则有AE=2x，
根据勾股定理得：x2+3=4x2，
解得：x=1，
则AE=2．
故答案为：2

【点评】此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

17．（2016•徐州二模）一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，若AB=DE=8，则BE=　8﹣2　（结果保留根号）

【分析】过B作BG⊥FC，交FC于点G；由三角函数求出BC的长，由等腰直角三角形得性质和含30°角的直角三角形的性质得出BG=DG=BC=2，求出BD，即可得出BE的长．
【解答】解：过B作BG⊥FC，交FC于点G，如图所示：
∵AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AB=8，
∴∠ABC=∠BCG=30°，BC=AB′sin60°=AB=4，△EDF和△BGD都为等腰直角三角形，
∴BG=DG=BC=2，
∴BD=BG=2，
∴BE=DE﹣BD=8﹣2；
故答案为：8﹣2．

【点评】此题考查了勾股定理，平行线的性质，含30度直角三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

18．（2016•南京一模）如图，Rt△ABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则△ABC的面积是　5　 cm2．

【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理求得a2=c2+b2=25，据此可以求得a=5．又由Rt△ABC的周长为可以求得b+c=3，所以△ABC的面积=bc=[（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2．
【解答】解：如图，a2=c2+b2=25，则a=5．
又∵Rt△ABC的周长为，
∴a+b+c=5+3，
∴b+c=3（cm）．
∴△ABC的面积=bc=[（c+b）2﹣（c2+b2）]÷2=[（3）2﹣25]÷2=5（cm2）．
故答案是：5．

【点评】本题考查了勾股定理的应用．解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积．

19．（2016•黄冈模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是　1.5　．

【分析】连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CE=DE，由线段垂直平分线的性质得出CF=DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵AD=AC=3，AF⊥CD，
∴CE=DE，BD=AB﹣AD=2，
∴CF=DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF=∠ACF=90°，
∴∠BDF=90°，
设CF=DF=x，则BF=4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得：x=1.5；
∴CF=1.5；
故答案为：1.5．

【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．

20．（2016•江西三模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=5，BC=12，则AD的长为　　．

【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得AE=EC，然后在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得EC的长，然后证明△AOD≌△COE，即可求得．
【解答】解：连接AE．
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=EC．
设EC=x，则AE=EC=x，BE=BC﹣EC=12﹣x，
∵在直角△ABE中，AE2=AB2+BE2，
∴x2=52+（12﹣x）2，
解得：x=．
即EC=．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠OEC，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE，
∴AD=EC=．
故答案是：．

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确列方程求得EC的长是关键．

21．（2016•孝义市三模）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为　　．

【分析】根据题意结合等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD=DC=3，再利用相似三角形的判定与性质得出EN，BN的长，即可得出答案．
【解答】解：连接AD，过点E作EN⊥BC于点N，
∵AB=AC=5，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC=3，
∵AB=AC=5，
∴AD=4，
∵EN⊥BC，
∴AD∥EN，
∴△ABD∽△EBN，
∴==，
∴==，
解得：BN=4.5，EN=6，
∴DN=1.5，
∴DE===．
故答案为：．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，正确得出EN，DN的长是解题关键．

22．（2016•碑林区校级三模）如图，在 Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=4，BC=2，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是　≤x≤2　．

【分析】先根据勾股定理计算出AC=6，由于∠BQP=90°，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆⊙M上，而点Q在AC上，则有AC与⊙M相切于点Q，连结MQ，根据切线的性质得MQ⊥AC，MQ=BM=x，然后证明Rt△CMQ∽Rt△CAB，再利用相似比得到x：4=（2﹣x）：6，最后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=2，
∴AC==6，
∵∠BQP=90°，
∴点Q在以PB为直径的圆⊙M上，
∵点Q在AC上，
∴AC与⊙M相切于点Q，
连结MQ，如图，则MQ⊥AC，MQ=BM=x，
∵∠QCM=∠BCA，
∴Rt△CMQ∽Rt△CAB，
∴QM：AB=CM：AC，即x：4=（2﹣x）：6，
∴x=．
当P与C重合时，BP=2，
∴BP=x的取值范围是：≤x≤2，
故答案为：≤x≤2．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．

23．（2016•长春模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为　　．

【分析】连结BD，作辅助线构建直角三角形，根据勾股定理即可求出DM的最大值．
【解答】解：连结BD，
∵∠A=90°，AB=5，AD=3，
∴在Rt△ABD中，BD==，
即DM的最大值为，
故答案为：，

【点评】本题考查了勾股定理、关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

24．（2016•余干县二模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为　2或2　．

【分析】利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，易得∠PBA=30°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；情况二：利用锐角三角函数得AP的长；如图2，当∠BAP=90°时，如图3，利用锐角三角函数得AP的长．
【解答】解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴∠OAP=60°，
∴∠∠PBA=30°，
∴AP=AB=2；
情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠OBP=60°，
∴AP=AB•sin60°=4×=2；
当∠BAP=90°时，如图3，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴AP=OA•tan∠AOP=2×=2．
故答案为：2或2．

【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键．

三．解答题（共16小题）
25．（2016春•周口期末）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．

【分析】如图，连接BD，构建等边△ABD、直角△CDB．利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度．
【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．
则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．
又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．
设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6
所以BC=10，CD=6．

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知△CDB是解题关键．

26．（2016•高安市一模）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．

【分析】本题中得出直角三角形的方法如图：
如果设AE=x，BE=4﹣x，如果∠FEG=90°，△AFE∽△GBE，
AF•BG=AE•BE=x（4﹣x），
当x=1时，AF•BG=3，AF=1，BG=3或AF=3，BG=1，
当x=2时，AF•BG=4，AF=1，BG=4或AF=2，