2015高考数学二轮复习热点题型专题十一 函数的图象.doc

专题十一 函数的图象
【高频考点解读】
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数．　
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质．
【热点题型】
题型一 函数的图象的画法
【例1】分别画出下列函数的图象．
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2.

【提分秘籍】
画函数图象的一般方法
(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【举一反三】
已知函数f(x)＝
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间．

【热点题型】
题型二 函数的图象的识别
【例2】　(1)函数y＝的图象大致是(　　)

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

解法二　利用特殊点确定图象．
当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，
－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项，可知应选B.
【答案】(1)C　(2)B
【提分秘籍】 识图的要点及方法
(1)识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y轴的交点，最高、最低点等)．
(2)识图的方法
①定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
②定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
③排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．
【举一反三】
函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为(　　)

【热点题型】
题型三 函数的图象的应用
【例3】　已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】　先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．

根据绝对值的意义，y＝＝
在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．
【答案】　(0,1)∪(1,4)
【提分秘籍】
函数的图象常应用于以下几点
(1)研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
(2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解决；
(3)方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决.
【举一反三】
已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
【热点题型】
题型四 数形结合思想在函数图象交点问题中的应用
例4、若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”有________个．

【答案】2
【提分秘籍】
“以形助数”是研究两函数图象交点问题常用到的方法，近几年来高考在此处不断创新命题，着重考查应用图象解决问题的能力．解决此类问题的关键在于准确作出已知函数的图象，并标清一些关键点，作图的规范性与准确性及识图用图的能力，是此类问题考查的核心．
【举一反三】
函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．2　　　　　　 B．4
C．6 D．8
解析：如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共有8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.

答案：D
【高考风向标】
1．（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　)

2．（2014·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.

观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.
3．（2014·山东卷）已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A. B. C. (1，2) D. (2，＋∞)
【答案】B　【解析】 画出函数f(x)的图像，如图所示．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数，则函数f(x)，g(x)有两个交点，则k＞，且k＜1.故选B.

4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是(　　)

　 　　A　　　　　　　　　　　　B

　 　　C　　　　　　　　　　　　D
图1­2
5．（2013·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图像大致是(　　)

6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
【随堂巩固】
1．函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 (　　)．

2．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有 (　　)．
A．2对 B．5对 C．6对 D．无数对
解析　显然f(x)＝－1为偶函数．其图象如图所示．

f(x)＝ 要使值域y∈[0,1]，且a，b∈Z，则a＝－2，b＝0,1,2；a＝－1，b＝2；a＝0，b＝2，∴共有5对．
答案　B
3．已知函数f(x)＝x－tan x，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)的值 (　　)．
A．大于1 B．大于0 C．小于0 D．不大于0
4．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是 (　　)．

解析　当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢．故选C.
答案　C
5．函数＝ln的大致图象为(如图所示) (　　)．

6．如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为 (　　)．

解析　(1)当0<x<时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，

7．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________．
8．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
解析　函数y＝＝和y＝2sin πx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝与y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，由对称性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.

答案　8
9．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．

答案　(－1,0)
10．讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．

11．已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．
12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．

13．设函数f(x)＝x＋(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C1，C1关于点A(2,1)的对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；
(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．