利用传递矩阵法和Riccati传递矩阵法分析转子临界转速.doc

利用传递矩阵法和Riccati传递矩阵法分析转子临界转速

一、 所需求解转子参数
将转子简化为如下所示：

三个盘的参数为：
另，阶梯轴的三段轴的截面惯性矩分别为：
三段轴的单位长度轴段的质量分别为：
二、 试算转轴的传递矩阵
取试算转速 ;
则，各轴段的传递矩阵分别为：
第1段

第2段

第3段

第4段

第5段

第6段

此6段传递矩阵均采用MATLAB编程求解，MATLAB的源文件为H.m

三、 采用传递矩阵法进行各段轴的状态参数的传递
初始参数列阵为:
令，则初始矩阵可化为：

以初始矩阵乘第一轴段的传递矩阵，则可得第一段轴的终端状态参数：

由于考虑支座的支撑刚度系数变化从，先取，那么，此处，则可得支座A后第2段的起始端参数阵为：

用第2段的传递矩阵乘此矩阵，可得第2段终端参数：

用中间圆盘的传递矩阵乘第2段终端参数阵，即可得第3段起始端参数：

用第3段传递矩阵乘其始端参数矩阵：

用上式乘以支座刚度矩阵，得其终端参数：

则，根据可得： ,则可得支座B后第4段的起始端参数阵为：

同上，用此段轴的传递函数乘其起始端的状态参数，可得：

则，根据可得： 则，可得第5段的起始参数矩阵：

其中，为铰链处的转角。
用第5段的传递矩阵乘此参数矩阵，即得第5段的终端参数：

用上式乘以支座刚度矩阵可得第6段的初始状态参数阵：

则，用第6段的传递矩阵乘此状态参数即可得其终端的参数阵：

根据最右边盘得传递矩阵，可得转子终端的状态参数：

则根据终端的自由状态，则应该;
通过令解出，并将其带入到的表达式中，可得：
；
此处使用的MATLAB源程序为calculate.m
在MATLAB中使用线性插值法寻找最佳p值使得逼近于0。其程序为rotor.m
经计算，考虑支撑刚度变化之间时，取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
因此随着刚度的增加，一阶临界转速的值越来越大，而当不考虑支座的刚度变化，假设为完全刚性的话，一阶临界转速值为，因此当取时一阶临界转速值已相当接近完全刚性的情况。

四、 采用Riccati传递矩阵法进行各段轴的状态参数的传递
根据Riccati传递矩阵法的原理，只需在传递矩阵法的基础之上求得各截面的Riccati传递矩阵。
将转子截面的状态参数分组：,
因为左端和右端均为自由端，故，；，;
所以，我们可得到左端截面的Riccati传递矩阵；
根据第i+1截面、之间的Riccati变换公式：

可得（同样，试算转速选为）：
左盘右边截面的Riccati传递矩阵：；
第1轴段末的Riccati传递矩阵：；
刚性支承在此处的处理因为涉及到刚度，取的情况，所以在获取其支承左边的Riccati传递矩阵后，需将转换为(即第二类Riccati变换)，然后再代入到普通传递矩阵的式子：

;
可得：。
最终可得：,即;此处的即为刚性支承右端截面的第二类Riccati传递矩阵。
则，第2段轴段末的Riccati传递矩阵：

可得：
通过中间圆盘后，可得圆盘右边的Riccati传递矩阵：
;
则，第3轴段右边的Riccati传递矩阵为：
;
到达第二个刚性支承处，同样采用第二类Riccati变换，并带入Riccati传递矩阵公式：

即可得：
继续进行传递，第4轴段末的Riccati传递矩阵为：

可得：
由于，第4轴段末是球头联轴器，故，在此也要进行另外的推导，由于球头联轴器的力矩刚性系数趋近于0，则在此利用弹性铰链的传递矩阵：

；；
把带入上式中，可得：

则，可得：
再根据第5轴段的传递矩阵，可得第5轴段末的Riccati传递矩阵：

第5轴段末为一刚性支承，则同样采用第二种Riccati变换，可得刚性支承右端的Riccati传递矩阵：

同样，根据第6轴段的传递矩阵，可得第6轴段末的Riccati传递矩阵：

最后，通过最后一个圆盘的传递，可以得到转子最右端的Riccati传递矩阵：

即，最右边截面上应该满足：；又，由于；所以，只有当时，才能取到的值，所以只有临界转速值p才能使尽量接近于0。
此处；
此处的算法MATLAB程序为calculate2.m
利用线性插值法来求取最终的临界转速值p，只需将第一次求解的rotor.m的程序中的算法程序calculate.m改为calculate2.m即可。
考虑支撑刚度变化之间时，取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
取时，一阶临界转速值为
因此随着刚度的增加，一阶临界转速的值越来越大，而当不考虑支座的刚度变化，假设为完全刚性的话，一阶临界转速值为，因此当取时一阶临界转速值已相当接近完全刚性的情况。

附录：
H.m
function output = H(in1,in2,in3,in4)
% in1=l in2=J in3=m in4=p
syms S T U V k a E J m p l;
E=2e11;
l=in1;
J=in2;
m=in3;
p=in4;
k=l*(m*(p^2)/(E*J))^0.25;
S=0.5*(0.5*(exp(k)+exp(-k))+cos(k));
T=0.5*(0.5*(exp(k)-exp(-k))+sin(k));
U=0.5*(0.5*(exp(k)+exp(-k))-cos(k));
V=0.5*(0.5*(exp(k)-exp(-k))-sin(k));
a=k/l;
output=[S T/a U/(a^2*E*J) V/(a^3*E*J);a*V S T/(a*E*J) U/(a^2*E*J);a^2*E*J*U a*E*J*V S T/a;a^3*E*J*T a^2*E*J*U a*V S];
Calculate.m
function output=calculate(in)
syms p a b
p=in;
H1=H(0.06,1.7e-8,2.45,p);
H2=H(0.15,3.2e-8,3.063,p);
H3=H(0.05,3.2e-8,3.063,p);
H4=H(0.03,3.2e-8,3.063,p);
H5=H(0.1,0.9e-8,1.587,p);
H6=H(0.06,0.9e-8,1.587,p);
o1=[1 a -(1-0.016/0.012)*0.012*p^2*a 3.5*p^2]';
o1=H1*o1;
KK=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;-10^8 0 0 1];
o2=KK*o1;
o2=H2*o2;
K1=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0.025*p^2 1 0;7*p^2 0 0 1];
o3=K1*o2;
o3=H3*o3;
o4=KK*o3;
o4=H4*o4;
d=solve(o4(3));
o5=subs(o4,'a',d);
o5(2)=o5(2)+b;
o5=H5*o5;
o6=KK*o5;
o6=H6*o6;
K2=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p^2 1 0;3*p^2 0 0 1];
oo=K2*o6;
RC=solve(oo(4));
ee=subs(oo(3),'b',RC);
output=double(ee);
ee=vpa(ee);

Calculate2.m
function output=calculate2(in)
syms p k;
p=in;
H1=H(0.06,1.7e-8,2.45,p);
H2=H(0.15,3.2e-8,3.063,p);
H3=H(0.05,3.2e-8,3.063,p);
H4=H(0.03,3.2e-8,3.063,p);
H5=H(0.1,0.9e-8,1.587,p);
H6=H(0.06,0.9e-8,1.587,p);
S=[0 0;0 0];
K1=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p^2 1 0;3.5*p^2 0 0 1];
T22=[K1(1,1:2);K1(2,1:2)];
T21=[K1(1,3:4);K1(2,3:4)];
T12=[K1(3,1:2);K1(4,1:2)];
T11=[K1(3,3:4);K1(4,3:4)];
S1=(T11*S+T12)*inv(T21*S+T22);
T22=[H1(1,1:2);H1(2,1:2)];
T21=[H1(1,3:4);H1(2,3:4)];
T12=[H1(3,1:2);H1(4,1:2)];
T11=[H1(3,3:4);H1(4,3:4)];
S2=(T11*S1+T12)*inv(T21*S1+T22);
iS2=inv(S2);
KK=[0 0;-10^5 0];
I=eye(2);
iS3=iS2*inv(I+KK*iS2);
T11=[H2(1,1:2);H2(2,1:2)];
T12=[H2(1,3:4);H2(2,3:4)];
T21=[H2(3,1:2);H2(4,1:2)];
T22=[H2(3,3:4);H2(4,3:4)];
S4=(T21*iS3+T22)*inv(T11*iS3+T12);
K2=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0.025*p^2 1 0;7*p^2 0 0 1];
T22=[K2(1,1:2);K2(2,1:2)];
T21=[K2(1,3:4);K2(2,3:4)];
T12=[K2(3,1:2);K2(4,1:2)];
T11=[K2(3,3:4);K2(4,3:4)];
S5=(T11*S4+T12)*inv(T21*S4+T22);
T22=[H3(1,1:2);H3(2,1:2)];
T21=[H3(1,3:4);H3(2,3:4)];
T12=[H3(3,1:2);H3(4,1:2)];
T11=[H3(3,3:4);H3(4,3:4)];
S6=(T11*S5+T12)*inv(T21*S5+T22);
iS6=inv(S6);
iS7=iS6*inv(I+KK*iS6);
T11=[H4(1,1:2);H4(2,1:2)];
T12=[H4(1,3:4);H4(2,3:4)];
T21=[H4(3,1:2);H4(4,1:2)];
T22=[H4(3,3:4);H4(4,3:4)];
S8=(T21*iS7+T22)*inv(T11*iS7+T12);
KKK=[0 0;1/k 0];
S9=S8*inv(I+KKK*S8);
S9=limit(S9,k,0);
T22=[H5(1,1:2);H5(2,1:2)];
T21=[H5(1,3:4);H5(2,3:4)];
T12=[H5(3,1:2);H5(4,1:2)];
T11=[H5(3,3:4);H5(4,3:4)];
S10=(T11*S9+T12)*inv(T21*S9+T22);
iS10=inv(S10);
iS11=iS10*inv(I+KK*iS10);
T11=[H6(1,1:2);H6(2,1:2)];
T12=[H6(1,3:4);H6(2,3:4)];
T21=[H6(3,1:2);H6(4,1:2)];
T22=[H6(3,3:4);H6(4,3:4)];
S12=(T21*iS11+T22)*inv(T11*iS11+T12);
K3=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p^2 1 0;3*p^2 0 0 1];
T22=[K3(1,1:2);K3(2,1:2)];
T21=[K3(1,3:4);K3(2,3:4)];
T12=[K3(3,1:2);K3(4,1:2)];
T11=[K3(3,3:4);K3(4,3:4)];
S13=(T11*S12+T12)*inv(T21*S12+T22);
ee=det(S13);
output=double(ee);

rotor.m
syms a b;
a=1200;
b=2300;
a1=a+0.5*(b-a);
f1=calculate(a);
f2=calculate(b);
fa=calculate(a1);
for i=1:10000
if abs(fa)<1e-2
disp('the critical speed is');
disp(a1);
break;
else if f1*fa<0
f2=fa;
b=a1;
a1=a+0.5*(b-a);
fa=calculate(a1);
else if f2*fa<0
f1=fa;
a=a1;
a1=a+0.5*(b-a);
fa=calculate(a1);
end
end
end
end