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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,1/35,三、二重积分性质,第一节,一、引例,二、二重积分定义与可积性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分概念与性质,第十章,2/35,柱体体积,=,底面积,高,特点：平顶,.,曲顶,柱体体积,=,？,特点：曲顶,.,1,、曲顶柱体体积,一、引例,曲顶柱体,3/35,解法,:,类似定积分处理问题思想,:,1.,曲顶柱体体积,给定曲顶柱体,:,底：,xoy,面上闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：,以,D,边界为准线,母线平行于,z,轴柱面,问题,：求其体积,.,“,大化小,常代变,近似和,求极限,”,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体体积,先分割曲顶柱体底，取经典小区域，,4/35,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“,常代变”,在每个,3)“,近似和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/35,4)“,取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/35,2.,平面薄片质量,有一个平面薄片,在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片质量,M,.,度为,设,D,面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求极限”,处理.,1)“,大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,对应把薄片也分为小区域,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/35,2)“,常代变”,中,任取,一点,3)“,近似和”,4)“,取极限”,则第,k,小块质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取经典小块，将其近似看作均匀薄片，,8/35,两个问题,共性,：,(1),处理问题步骤相同,(2),所求量结构式相同,“,大化小,常代变,近似和,取极限,”,曲顶柱体体积:,平面薄片质量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,和极限,9/35,极限,有界函数,二、二重积分定义及可积性,定义,:,10/35,可积,积分和,积分域,被积函数,积分表示式,面积元素,记作,为函数,f,(,x,y,),在闭区域上 ，记作,二重积分,注意,：二重积分,仅与,被积函数,和,积分区域,相关,.,11/35,（,1,）,假如,f,(,x,y,),在有界闭区域,D,上,连续,，则,f,(,x,y,),在,D,上一定可积。（,二重积分存在定理）,（,2,）,假如,f,(,x,y,),在,D,上可积，则该积分与,D,所以，在直角坐标系中，用平行于,x,轴和,y,轴,两组直线分割,D,，,如图所表示,分法和分点,取法无关，,几点说明,12/35,（,3,）,几何意义,：,当,f,(,x,y,),0,时,，,二重积分表示,曲顶柱体体积,；,当,f,(,x,y,),0,时，,此时曲顶柱体位于,x,0,y,平面下方，且二重积分值也为负，故二重积分表示是曲顶柱体体积相反数。,当,f,(,x,y,),在,D,上有正有负,，此时将,x o y,面上方曲顶柱体体积取为正，,x o y,面下方曲顶柱体体积取为负，则,f,(,x,y,),在,D,上二重积分即为这些曲顶柱体体积代数和。,13/35,二重积分存在定理,:,定理,2,.,(,证实略,),限个点或有限个光滑曲线外都,连续,积.,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,（,4,）,二重积分物理意义,：,平面薄片质量,二重可积必要条件,:,设函数 在有界闭区域上可积，则该函数有界,14/35,性质,1,：,常数因子能够提到积分号外面，即,性质,2,：,和或差积分等于积分和或差，即,（,二重积分与定积分有类似性质,）,三、二重积分性质,15/35,性质,3,（可加性）,：假如积分区域,D,被,一曲线分成两部分,性质,4,：,假如在区域,D,上总有,，,f,(,x,y,),1,是,D,面积，则,和,几何：高为,1,平顶柱体体积数值上等于柱体底面积,16/35,性质,5,：,假如在,D,上总有,则有不等式,特殊地，因为,则有,但该结论逆命题不成立,17/35,解,18/35,例,2.,比较以下积分大小,:,其中,解,:,积分域,D,边界为圆周,它与,x,轴交于点,(1,0),而域,D,位,从而,于直线上方,故在,D,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/35,性质,6,：,设,M,、,m,分别是,f,(,x,y,),在,D,上最大值和最小值，,是,D,面积,，则,因为,所以由性质,5,有,由性质,1,有,由性质,4,有,（,二重积分估值不等式,）,20/35,解,21/35,解,22/35,例,5.,预计以下积分之值,解,:,D,面积为,因为,积分性质,5,即,:1.96,I 2,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23/35,性质,7,.(,二重积分中值定理,),证,:,由性质,6,可知,由连续函数介值定理,最少有一点,在闭区域,D,上,为,D,面积,则最少存在一点,使,使,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24/35,性质,8.,函数,D,位于,x,轴上方部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称,函数关于变量,x,有奇偶性时,仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果,.,在第一象限部分,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25/35,内容小结,1.,二重积分定义,2.,二重积分性质,(,与定积分性质相同,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,26/35,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,习题,10,1:,4,5,27/35,被积函数,相同,且,非负,思索与练习,解,:,由它们积分域范围可知,1.,比较以下积分值大小关系,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28/35,2.,设,D,是第二象限一个有界闭域,且,0,y,1,则,大小次序为,(),提醒,:,因,0,y,1,故,故在,D,上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29/35,3.,计算,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30/35,4,.,证实,:,其中,D,为,解,:,利用题中,x,y,位置对称性,有,又,D,面积为,1,故结论成立,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31/35,备用题,1.,预计,值,其中,D,为,解,:,被积函数,D,面积,最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32/35,2.,判断,正负,.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33/35,例,2.,判断积分,正负号,.,解,:,分积分域为,则,原式,=,猜测结果为负,但不好预计,.,舍去此项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34/35,邮箱地址,：,gaoshu_06,密 码,：,wuli06,35/35,
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