资源描述
第,*,页,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第四十讲二项式定理,1/91,走进高考第一关,基础关教 材 回 归,2/91,1.二项式定理公式(a+b),n,=,_,(nN*)所表示定理,叫做二项式定理,右边多项式叫做(a+b),n,_,.,二项展开式,3/91,2.二项式定理特征(1)项数:二项展开式共有,_,项.(2)通项公式:(a+b),n,二项展开式中,_,叫做二项展开式通项,用,_,表示,则有,_,.(3)二项式系数:二项展开式第r+1项二项式系数为,_,.,n+1,T,r+1,4/91,3.二项式系数性质(1)对称性:在二项展开式中,首末两端,_,两个二项式系数相等,即,“等距离”,5/91,(2)增减性与最大值:二项式系数 时,二项式系数是,_,;当 时,二项式系数是,_,.当n是偶数时,_,取得最大值.当n是奇数时,中间两项,_,和,_,相等,且同时取得最大值.,递增,递减,6/91,(3)各二项式系数和(a+b),n,展开式各个二项式系数和等于,_,即 =,_,.(4)二项展开式中,偶数项二项式系数和等于,_,即 +=,_,.,奇数项二项式系数和,7/91,考 点 陪 练,8/91,1.二项式(a+2b),n,展开式中第二项系数是8,则它第三项二项式系数为(,)A.24B.18C.16D.6,答案:D,9/91,2.展开式中含x正整数指数幂项数是(,)A.0B.2C.4D.6,答案:B,10/91,3.展开式中常数项是(,),答案:B,11/91,4.展开式中,x偶次项系数之和是(,)A.-2048B.-1023C.-1024D.1024,答案:C,12/91,5.展开式中有理项个数为(,)A.4B.5C.6D.7,答案:A,13/91,解读高考第二关,热点关,14/91,类型一:求展开式中指定项和特定项解题准备:利用展开式中T,r+1,可求以下问题:,(1)求指定项.(2)求特定项,如常数项,即字母次数为0.(3)求指定项、特定项系数.,15/91,典例1已知在 展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x,2,项系数;(3)求展开式中全部有理项.,16/91,分析,利用通项确定n,进而依据指定项特征求解,通项公式为,17/91,rZ,k应为偶数,k=2,0,-2,即r=2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为405x,2,-61236,295245x,-2,.,18/91,评析,(1)本题是先求二项式指数,再求与通项相关其它问题.普通地,解这类问题能够分两步完成:第一步是依据所给出条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r均为非负整数,且nr隐含条件);第二步是依据所求指数,再求所求解项.另外,解本题时,为降低计算中错误,宜把根式化为分数指数幂.,19/91,(2)题设展开式中有常数项条件,实际上隐含了未知数零次项存在,所以n-2r=0,所以,由有常数项条件可求得n.反之,若已知n,求展开式中常数项时,可先假设展开式第r+1项为常数项,合并通项中同一字母指数得f(r),然后令f(r)=0,从中求得r非负整数值,即得所求项.,20/91,(3)求二项展开式中有理项,普通是依据通项公式所得到项,其全部未知数指数恰好都是整数项.解这类型问题必须合并通项公式中同一字母指数,依据详细要求,令其属于整数,再依据数整除性来求解.若求二项展开式中整式项,则其通项公式中同一字母指数应是非负整数.求解方式与求有理项一致.,21/91,类型二:二项式系数性质解题准备:求二项式系数最大项:假如n是偶数,则中间一项第()项二项式系数最大;假如n是奇数,则中间两项第 项与第 项二项式系数相等且最大;,22/91,求展开式系数最大项:如求(a+bx),n,(a,bR)展开式中系数最大项,普通是采取待定系数法.设展开式各项系数分别为A,1,A,2,A,n+1,且第r+1项系数最大,应用解出r来,即得系数最大项.,23/91,典例2已知 展开式二项式系数和比(3x-1),n,展开式二项式系数和大992,求 展开式中.(1)二项式系数最大项;(2)系数绝对值最大项.,分析,依据二项系数性质,列方程求解n,系数绝对值最大问题需要列不等式组求解.,24/91,25/91,(2)设第r+1项系数绝对值最大,26/91,评析,在利用二项式定理时不能忽略展开式中系数正负符号.当然还需考虑二项式系数与展开式某项系数之间差异:二项式系数只与二项式指数和项数相关,与二项式无关;而项系数不但与二项式指数和项数相关,还与二项式相关.值得注意是,本例中是求“系数绝对值最大项”,若改为“系数最大项”又该怎样处理?因为第4项系数为负值,所以系数最大项必是第3项或第5项中某一项.比较这两项系数 大小即可.,27/91,类型三:求展开式中各项系数和解题准备:1.对形如(ax+b),n,(ax,2,+bx+c),m,(a、b、cR)式子求其展开式各项系数之和,惯用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by),n,(a,bR)式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.,28/91,2.普通地,若 ,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为 偶数项系数之和为,29/91,30/91,解,所求结果与各项系数相关,能够考虑用“特殊值”法,整体处理.,31/91,32/91,类型四:二项式定理应用,解题准备:新课程标准要求能用二项式定理证实一些简单问题,在一些综合性试题中,尤其是与数列,不等式相关一些问题中,用二项式定理证实不等式有时显得简便,灵活,也能突出表达新课标高考“能力立意”高考动向.,33/91,典例4(1)求证:1+2+2,2,+2,5n-1,(nN*)能被31整除.(2)求 除以9余数.,分析,将已知式子适当整理化简,再依据题目要求选择适当二次展开式求解.,34/91,35/91,36/91,评析,利用二项式定理处理整除性问题时,关键是巧妙地结构二项式,其基本思绪是:要证实一个式子能被另一个式子整除,只要证实这个式子按二项式定理展开后各项均能被另一个式子整除即可.所以,普通将被除式化为含有相关除式二项式,然后再展开,此时常采取“配凑法”、“消去法”配合整除相关知识来处理.,37/91,笑对高考第三关,成熟关名 师 纠 错,38/91,误区一:了解概念失误,典例1求2,100,除以9余数.,显然,2,100,除以9余数为-2.,39/91,剖析,错解中了解概念失误,误认为-2就是余数,其实不然,余数一定是正整数,于是,对结果要进行转化,由 能够看出,除以9余数为7.误区二:混同项系数与二项式系数,40/91,典例2将二项式 展开式按x降幂排列,若前三项系数成等差数列,求展开式中含x项.,41/91,剖析,错解中混同了项系数与二项式系数,其实,题目要求是项系数,而错解中用是二项式系数.,42/91,误区三:混同第r项与第r+1项,典例3设 试问 展开式中第几项最大?,错解,设通项为T,r+1,项最大,43/91,剖析,二项展开式通项公式 是第r+1项,而不是第r项;错解就误认为是第r项,其实,应该是展开式中第30项最大.,44/91,解 题 策 略,45/91,依据历年来高考命题在本部分考查及纲领要求,本单元命题特点应保持稳定,所以二项式定理仍为必考内容,其中考查通项相关知识点可能性较大,所以学习时宜采取以下策略:,46/91,1.利用二项式定理一定要切记通项 ,注意 即使相同,但详细到它们展开式某一项时是不相同,我们一定要注意次序问题,另外二项展开式二项式系数与该项(字母)系数是两个不一样概念,前者只指 ,而后者是除字母外部分.,47/91,2.对于二项式系数问题,应注意以下几点:,(1)求二项式全部项系数和,可采取“特殊值取代法”,通常令字母变量值为1;(2)关于组合恒等式证实,常采取“结构法”结构函数或结构同一问题两种算法;(3)证实不等式时,应注意利用放缩法.,48/91,3.求二项展开式中指定项,通常是先依据已知条件求r,再求T,r+1,有时还需先求n,再求r,才能求出T,r+1,.4.有些三项式展开式问题能够经过变形变成二项式问题加以处理;有时也能够经过组合处理,但要注意分类清楚、不重不漏.,5.对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数性质,其次要掌握赋值法,赋值法是处理二项式系数问题一个主要伎俩.6.近似计算要首先观察准确度,然后选取展开式中若干项.,49/91,7.用二项式定理证实整除问题,普通将被除式变为相关除式二项式形式再展开,常采取“配凑法”配合整除相关知识来处理.,50/91,快 速 解 题,51/91,分析,第(1)小题可先求出a,0,+a,1,+a,7,再求a,0,+a,2,+a,4,+a,6,和a,1,+a,3,+a,5,+a,7,;第(2)小题可使两项结合,使之含有二项式形式,然后依通项公式求出r可得.,52/91,53/91,54/91,55/91,方法与步骤,第(1)小题详解虽不简便,但给出了怎样求奇数项与偶数项系数和方法.第(2)小题将x与 结合后展开,因为项数不多,展开后反而易算.快解第(1)小题更简便,看作(1+2x),7,系数即可.第(2)小题利用通项公式,依然是考虑 偶次幂.,56/91,得分主要步骤,详解中第(1)小题要算出四式来,还要说明a,1,、a,3,、a,5,、a,7,都小于零,第(2)小题要说明常数在 偶次幂展开中出现,结果便不难得到.,易丢分原因,相关二项式题目,只要符号不错,普通都能做对.易丢分在利用通项公式求r时,r值与r对应项,一些同学可能会求错.,57/91,教 师 备 选,58/91,三项展开式例谈经过学习二项式定理,对这类问题已比较熟悉,但对相关三项式问题,可能感到困难,下面以一道题为例,浅析三项展开式解答策略.,59/91,典例 展开式中常数项为,_,.,一、利用二项展开式先把三项式中某两项视为一项,用二项式定理展开,然后利用二项展开式求解.,60/91,61/91,二、转化为二项式常见能转化为二项式三项式两种形式:一是三项式恰好是二项式平方;二是三项式可分解因式.,所以本题可转化为二项式问题,把所求问题转化为求分,子 中含x,5,项系数.,62/91,63/91,三,利用组合思想利用组合思想,能够简捷地求一些三项式系数问题.,解法3:把 看成五个 之积,则要得,到常数项,有三种情况:,64/91,(1)五个因式都取(2)五个因式中,三个取 一个取 一个取,(3)五个因式中,一个取 两个取 两个取由此得到所求式常数项为,65/91,66/91,课时作业四十,二项式定理,67/91,一,选择题,1.(能力题,中)若对于任意实数x,有x,3,=a,0,+a,1,(x-2)+a,2,(x-2),2,+a,3,(x-2),3,则a,2,值为(,),A.3B.6C.9D.12,解析:设x-2=t,则x=t+2,原式化为(2+t),3,=a,0,+a,1,t+a,2,t,2,+a,3,t,3,a,2,=2=6,故选B.,答案:B,68/91,2.(新创题,易)在 展开式中,整式项共有(,)A.130项B.133项C.项D.项,答案:B,69/91,70/91,3.(基础题,易)(1-x),9,展开式中,系数最大项为(,)A.第3项B.第4项C.第5项D.第5项或第6项,答案:C,71/91,4.(能力题,中)若(1+x),2n,=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+a,2n,x,2n,令f(n)=a,0,+a,2,+a,4,+a,2n,则f(1)+f(2)+f(n)等于(,),答案:D,72/91,73/91,5.(能力题,中)若多项式x,2,+x,10,=a,0,+a,1,(x+1)+a,9,(x+1),9,+a,10,(x+1),10,则a,9,=(,),A.9 B.10C.-9D.-10,答案:D,74/91,6.(能力题,中)在(x,2,+3x+2),5,展开式中x系数为(,)A.160B.240C.360D.800,答案:B,75/91,76/91,二,填空题,7.(能力题,中)设(x+1),4,(x+2),5,=a,0,+a,1,(x+3)+a,2,(x+3),2,+a,9,(x+3),9,则(a,0,+a,2,+a,4,+a,6,+a,8,),2,-(a,1,+a,3,+a,5,+a,7,+a,9,),2,=,_,.,答案:0,77/91,解析:令x=-2,a,0,+a,1,+a,2,+a,9,=(-2+1),4,(-2+2),5,=0,(a,0,+a,2,+a,4,+a,6,+a,8,),2,-(a,1,+a,3,+a,5,+a,7,+a,9,),2,=(a,0,+a,1,+a,2,+a,8,+a,9,),(a,0,-a,1,+a,2,-a,3,+a,8,-a,9,)=0.,78/91,评析:解答该题关键是将求解式子进行合理转化及把x赋特殊值-2,要含有较强观察力以及整体思维能力,而这些需利用主要数学思想方法.分析问题、处理问题能力正是数学高考中要考查.,79/91,8.(应用题,中)今天是星期一,3,1000,天后是星期,_,.,答案:五,80/91,9.(能力题,中)91,92,除以100余数是,_,.,答案:81,81/91,82/91,评析:转化为二项展开式来求.,83/91,三,解答题10.(基础题,易)已知(a,2,+1),n,展开式中各项系数之和等于 展开式常数项,而(a,2,+1),n,展开式二项式系数最大项等于54,求a值.,84/91,85/91,11.(基础题,易)在二项式 展开式中,最终三项系数绝对值成等差数列.(1)求展开式第四项;(2)求展开式常数项;(3)求展开式各项系数和.,分析:依据最终三项系数绝对值成等差数列,列出关于n方程,求出n.,86/91,87/91,88/91,12.(综合题,中)已知(1)若展开式中第5项,第6项与第7项二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项系数;(2)若展开式前三项二项式系数和等于79,求展开式中系数最大项.,89/91,90/91,91/91,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
