最大似然例题及原理应用.doc

例7.1　设总体X的概率密度为

　　式中 >－1是未知参数， 是来自总体 的一个容量为 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求 的估计量。
　　分析　因为总体 的分布只含有一个未知参数，所以用矩估计法首先求出
　　解 　
　　由矩估计法知，令

　　得参数 的矩估计量    。
　　似然函数为

　　对 =1,2,…n，对 取对数，则有

　　令
　　 ，
　　所以参数 的最大似然估计量为

　　注　本题说明，对总体未知参数的估计，尽管利用同一样本值，但采用不同的估计方法，其结果未必相同。
　　[对应练习]　设总体X服从参数p的几何分布，其分布律为 ， 是总体X的一个简单随机样本，试求：
　　(1)　p的矩估计量；
　　(2)　p的最大似然估计量。
　　提示　因为总体分布中只含有一个参数p，所以求p的矩估计量关键是求出总体 的均值 。
　　例7.2　设某种元件的使用寿命 的概率密度为

　　式中 >0为未知参数，又设 是 的一组样本观察值，求参数 的最大似然估计值。
　　解　似然函数

　　对于 ， =1,2,…,n， ( )>0，取自然对数，则有

　　从而　　
　　所以　　 在 ， =1,2,…,n时单调增加。
　　取 时，对 ， ， =1,2,…,n成立。 取到最大值，故 的最大似然估计值为

　　注　本题虽然能给出似然方程，但似然方程无解，故不存在驻点，应在边界点上考虑函数最大值。
　　[对应练习]　设 为总体 的一个样本，已知总体 的密度函数为

　　式中 >0, , 是未知参数，求 , 的矩估计量和最大似然估计量。
　　提示　因为总体 的分布中含有两个未知参数，用矩法估计时，首先求出 和 ，令 ， ，可求得 , 的矩估计量。
　　例7.3　某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量(单位g)分虽为1 001,1 004,1 003,1 000,997,999,1 004,1 000,996,1 002,998,999。
　　(1)　求平均袋重 的点估计值；
　　(2)　求方差 的点估计值；
　　(3)　求 的置信度为95%的置信区间；
　　(4)　求 的置信度为95%的置信区间；
　　(5)　若已知 ＝9，求 的95%的置信区间。
　　解　
　　(1)　
　　(2)　
　　(3)　 未知，则 的置信度为1－ 的置信区间为

　　依题意：

　　故 的置信度为95%的区间估计为(998.577,1 001.923)。
　　(4)　 未知， 的置信度为95%的置信区间为

　　查表 

　　故 的置信度为95%的区间估计为(3.479,19.982)。
　　(5)　当 ＝9为已知时，关于 的置信度为95%的置信区间为
　　 。
　　查表 
　　故 的置信度为95%的区间估计为(998.553,1 001.14)。
　　[对应练习]　设两总体 相互独立， ， ，从 中分别抽取容量为n1=85， n2=60的样本，且算得 ＝82， ＝76，求 的置信度为95%的置信区