全国自考2007年4月《复积》试题答案.doc

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全国2007年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（　C　　）
A.Re z<-1 B.Re z<0
C.Re z<1 D.Im z<0
2.设v(x,y)=eaxsiny是调和函数，则常数a=（　　B　）

A.0 B.1
C.2 D.3
3.设f(z)=z3+8iz+4i，则f′(1-i)=（　　B　）

A.-2i B.2i
C.-2 D.2
4.设C为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分=（　D　　）

A. B.
C. D.
5.设C为正向圆周|z-1|=1，则（　　A　）
A.0 B.πi
C.2πi D.6πi
6.f(z)=在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（　　C　）
A. B.1
C. D.
7.下列级数中绝对收敛的是（　A　　）
A. B.
C. D.

8.可以使f(z)=在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（　A　　）
A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞
C. 0<|z-2|<2 D. 0<|z-2|<+∞
9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin的（　D　　）
A.可去奇点 B.二阶极点
C.五阶零点 D.本性奇点
10.设C为正向圆周|z|=1，则（　　B　）
[用留数计算积分，z=0为C内唯一的孤立奇点，且为一级极点]
A.-2πi B. 2πi
C. -2π D. 2π

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.arg (-1+3i)= .
12.已知f(z)=u+iv是解析函数，其中u=,则.
13.设C为正向圆周|z|=1,则 0 .
14.z=0是f(z)=的奇点，其类型为 可去奇点 .【注：常见的可去的还有sinz/z】
15. f(z)=在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为
.
16.设f(z)=,则Res[f(z),1]= -1 .

三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题6分）求z=（-1+i）6 的共轭复数及共轭复数的模||.

18．(本题6分) 设t为实参数，求曲线z=reit+3 (0≤t＜2π的直角坐标方程.

19．(本题6分) 设C为正向圆周|z|=1，求I=.
20．(本题6分) 求在z=0处的泰勒展开式.

21．(本题7分) 求方程sin z+cos z=0 的全部根.

22．(本题7分) 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).
(0,0)
(x,y)

法一（公式法）：

法二：

法三：

23．(本题7分) 设C为正向圆周|z-i|=,求I=.

24．(本题7分)设C为正向圆周|z|=1，求I=.

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）
25．（1）求f(z)=在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； ，一级极点；
（2）求f(z)eiz在以上奇点的留数；

（3）利用以上结果，求I=.
.
26．设D为Z平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：
（1）w1=f1(z)把D映射成W1平面的上半单位圆盘D1；
（2）w=f2(w1)把D1映射成W平面的第一象限；

（3）w=f(z)把D映射成W平面的第一象限.
27．求函数3f(t)+2sint的付氏变换，
其中 f(t)= .
解：（p156）

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