南京市2016届上学期高三学情调研考试数学试卷及答案.doc

南京市2016届高三学情调研考试
数 学 2015.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则A∩B＝．
2．已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．
3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．
4．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且 a∥(2a＋b)，则实数m的值为．
6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．
开始
k←1
S←0
S＜20
k←k＋1
S←S＋2k
Y
N
输出k
结束
（第6题图）

－1
3
3
－3
x
O
y
（第7题图）

7．如图，它是函数f(x)＝Asin(wx＋j)(A＞0，w＞0，jÎ[0，2p) )图象的一部分，则f (0)的值为．
8．已知双曲线－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为．
9．直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1－B1C1E的体积
为
10．对于直线l，m，平面α，mÌα，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．
11．已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为．
12．已知平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°．若E为DC中点，且·＝1，则·的值为．
13．已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为．
14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长
为．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝bcosA．
（1）求的值；
（2）若sinA＝，求sin(C－)的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
P
A
B
C
D
E
（第16题图）
（1）求证：PC // 平面BDE；
（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

17．（本小题满分14分）
某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5．已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．
（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；
（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3．问：P能否大于，说明理由．

18．（本小题满分16分）
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数．
x
y
O

P
Q
A
（第18题图）

19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．
（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；
（2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；
（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1．若存在x1，x2[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．

20．（本小题满分16分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）设Tn＝(－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．

南京市2016届高三学情调研考试
数学附加题 2015.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．
A
B
C
D
E
O
·
（第21题（A）图）

B．选修4－2：矩阵与变换
已知点P(3，1)在矩阵A＝变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵A．

C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数，m为常数）．以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)=．若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围．

D．选修4－5：不等式选讲
设实数x，y，z满足x＋5y＋z＝9，求x＋y＋z的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
假定某射手射击一次命中目标的概率为．现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：
（1）X的概率分布；
（2）数学期望E(X)．

23．（本小题满分10分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．
（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；
A
B
C
D
E
F
（第23题图）
（2）求二面角A－DF－B的大小．

南京市2016届高三学情调研考试
数学参考答案及评分标准 2015.09
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{2} 2． 3．0.032 4． 5．2
6．5 7． 8． 9． 10．必要不充分
11．(，4) 12．3 13．2＋3 14．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15．解：（1）由acosB＝bcosA，得sinAcosB＝sinBcosA， …………………………………3分
即sin(A－B)＝0．
因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝0，
所以a＝b，即＝1． ………………………………………………………………………6分
（2）因为sinA＝，且A为锐角，所以cosA＝． ………………………………………8分
所以sinC＝sin(π－2A)＝sin2A＝2sinAcosA＝， ………………………………………10分
cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin2A＝－．…………………………………………12分
所以sin(C－)＝sinCcos－cosCsin＝．……………………………………………14分
16．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．…………………………………………………2分
因为 E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…………………………………………………4分
因为PC平面BDE，OEÌ平面BDE，所以PC // 平面BDE．……………………………6分
（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．………………………………………8分
因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．
P
A
B
C
D
E
O
因为OEÌ平面BDE，DEÌ平面BDE，OE∩DE＝E，
所以PA⊥平面BDE．………………………………12分
因为PAÌ平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．
………………………………14分

17．解：（1）依题意得 y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*． …………………………………………4分
（2）方法一 依题意x＝0.2a． ……………………………………………………6分
所以P＝＝＝＝ …………………………………………8分
≤＝≤＝＜． ……………………………………13分
答：P不可能大于． ……………………………………………………14分
方法二 依题意x＝0.2a． ……………………………………………………6分
所以P＝＝＝＝．…………………………………………8分
假设P＞，得ka2－20a＋25k＜0． …………………………………………10分
因为k≥3，所以△＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解．……………………13分
答：P不可能大于． ……………………………………………………14分
18．解： ⑴因为＝， = 2，
所以a＝，c＝1，所以b＝＝１．
故椭圆的方程为＋y2＝1． ………………………………………………4分
⑵解法一 设P点坐标为(x1，y1)，则Q点坐标为(x1， – y1)．
因为kAP＝＝，所以直线AP的方程为y＝x＋1．
令y = 0，解得m＝－. ………………………………………………8分
因为kAQ＝＝－，所以直线AQ的方程为y＝－x＋1．
令y＝0，解得n＝． ………………………………………………12分
所以mn＝´ ＝． ………………………………………………14分
又因为(x1，y1)在椭圆+ y2 = 1上，所以 + y= 1，即1－y= ，
所以＝2，即mn＝2．
所以mn为常数，且常数为2． ………………………………………………16分
解法二 设直线AP的斜率为k(k≠0)，则AP的方程为y = kx +1，
令y = 0，得m＝－． ………………………………………………6分
联立方程组
消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP =－， ………………………8分
所以yP＝k×xP＋1＝，
则Q点的坐标为(－，－)． ………………………………………………10分
所以kAQ＝＝，故直线AQ的方程为y＝x＋1．
令y＝0，得n＝－2k， ………………………………………………14分
所以mn＝(－)´(－2k)＝2．
所以mn为常数，常数为2． ………………………………………………16分
19．解：(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，
所以et＝1，且et＝t－b，
解得b＝－1． …………………………………………………2分
（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．
当a≥0时，T′(x)＞0恒成立． ………………………………………………4分
当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)． ………………………………………………6分
所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)． ……………………………8分
（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝
当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；
当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex，
因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；
因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．
……………………………10分
① 当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．
由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0． ……………………………12分
②当0＜b＜时，
因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，
因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．
由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．
因为0＜b＜，所以0＜b＜． ……………………………14分
③当≤b＜1时，
同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．
所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．
因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．
综上，b的取值范围为(－∞，)． ………………………………………16分
20．解：(1)设数列{an}的公差为d．
因为2a5－a3＝13，S4＝16，
所以解得a1＝1，d＝2，……………………………………………2分
所以an＝2n－1，Sn ＝n2． ……………………………………………4分
(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，
则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k． ……………………………………………5分
代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·2k＜4k，从而λ＜．
设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝．
因为k∈N*，所以f(k＋1)－f(k)＞0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，
所以λ＜2． ……………………………………………7分
②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，
则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k． ……………………………………………8分
代入不等式λTn＜[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1 ，得λ·(1－2k)＜(2k－1)4k，
从而λ＞－4k．
因为k∈N*，所以－4k的最大值为－4，所以λ＞－4．
综上，λ的取值范围为－4＜λ＜2． ……………………………………………10分
(3)假设存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，
则(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，
所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12， ……………………………………………12分
即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12． ……………………………………………14分
因为n＞m＞2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15．
因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，
故不存在正整数m，n(n＞m＞2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列． ………………16分

南京市2016届高三学情调研考试
数学附加题参考答案及评分标准 2015.09
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连接BD，
因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD＝∠ABD．……………………………………………4分
又因为AB∥CD， 所以∠BAD＝∠ADE，
所以△EAD∽△DBA． …………………………………………………………8分
从而＝，所以AD2＝AB·ED． …………………………………………………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：依题意得 ＝＝，……………………………………………………2分
所以解得
所以A＝． ……………………………………………………6分
因为det(A)＝＝1×(－1)－0×2＝－1，………………………………………………8分
所以A＝． …………………………………………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4． …………………………………………………………2分
直线l的极坐标方程化为ρ (cosθ＋sinθ)＝，
即x＋y＝，化简得x＋y－2＝0． ………………………………………………………4分
因为圆C的圆心为C(m，0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，
所以d＝＜2， …………………………………………………………8分
解得2－2＜m＜2＋2． ………………………………………………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
解：由柯西不等式得(x＋y＋z)(12＋52＋12)≥(1·x＋5·y＋1·z)2． ……………………………6分
因为x＋5y＋z＝9，所以x＋y＋z≥3， …………………………………………………8分
当且仅当x＝，y＝，z＝时取等号．
所以x＋y＋z的最小值为3． …………………………………………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．
22．解：耗用子弹数X的所有可能取值为1，2，3，4．
当X＝1时，表示射击一次，命中目标，则P(X＝1)＝；
当X＝2时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则P(X＝2)＝(1－)×＝；………2分
当X＝3时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则P(X＝3)＝(1－)×(1－)×
＝； ……………………………………4分
当X＝4时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，
则P(X＝4)＝(1－)×(1－)×(1－)×＋(1－)×(1－)×(1－)×(1－)＝．
X
1
2
3
4
P

X的概率分布为

…………………………………………………………6分
(2)E(X)＝1×＋2×＋3×+4×＝． …………………………………………………10分
23．解：⑴以{，，}为正交基底，建立如图空间直角坐标系C－xyz，
则D(，0，0)，F(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，
所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，………………2分
A
B
C
D
E
F

y
x
z
从而cos<，>＝＝－． ……………………4分
所以直线DF与BE所成角的余弦值为．…………………5分
(2)平面ADF的法向量为m＝＝ (，0，0).……………6分
设面BDF的法向量为n = (x，y，z)．又＝(，0，1)．
由n·＝0，n·＝0，
得y＋z＝0，x＋z＝0，
取x＝1，则y＝1，z＝–，所以n = (1，1，－)，………………………………………8分
所以cos<m，n>＝＝．
又因为<m，n>∈[0，p]，所以<m，n>＝．
所以二面角A – DF – B的大小为． …………………………………………………………10分

高三数学试卷第15页（共4页）