matlab柔性杆仿真.docx

武汉理工大学毕业设计（论文）
目录
摘要 I
Abstract II
1 绪论 1
1.1 柔性机械臂的发展历史 1
1. 2 国内外研究现状 1
1.2.1 建模 1
1.2.2 数值仿真 2
1.2.3 控制方法 2
1.3 研究目的意义 2
2 柔性臂动力学建模 4
2.1 柔性臂的建模理论 4
2.2 柔性体变形的描述 5
2.3 建立动力学方程的方法 6
2.3.1 Newton-Euler公式 6
2.3.2 基于Lagrange方程的动力学建模 6
2.3.3 Kane方法和虚功原理： 7
2.4 模态分析 7
2.5 近似分析 8
2.6 逆运动学与逆动力学 8
2.7 刚-柔双连杆机械臂的动力学方程 10
2.7.1 系统的能量 10
2.7.2 横向运动的模态分析 12
2.7.3 拉格朗日法求动力学方程 13
3 动态仿真 15
3.1.1 给定运动轨迹 15
3.1.2 运用龙格-库塔法解动力学方程 16
3.1.3 刚——柔双连杆的动态建模 16
3.1.4 给定另一运动轨迹 17
3.1.5不同轨迹的振动 18
3.1.6 45°运动 19
3.1.7 180°运动 21
4 振动抑制及其仿真 23
4.1 抑制振动的基本方法 23
4.1.1 主动控制 23
4.1.2 被动控制 24
4.2 采用N-M算法优化轨迹 24
4.2.1 N-M优化算法 24
4.2.2N-M算法获得轨迹 26
4.2.3优化轨迹的仿真 27
4.2.4振动分析 27
5 总结与展望 29
参考文献 30
致谢 31

摘要
这篇论文的研究对象是刚——柔双连杆机械臂模型，研究希望通过优化运动轨迹的方法达到抑制振动的目的。首先，通过假设模态法和Lagrange原理建立刚——柔双连杆机械臂的动力学方程，然后运用四阶龙科库塔公式解出该动力学方程组，并且用matlab进行动态仿真。
通过输入不同的运动轨迹，比较柔性机械臂末端的振动量，可以得出：在不同运动轨迹中，柔性机械臂的末端振动量是不同的。所以得出猜测：可以通过控制刚——柔双连杆机械臂的运动轨迹来抑制振动。
最后运用N-M优化算法，使得运动结束后机械臂系统的能量达到最小值，计算出此时的运动轨迹，最后输入到刚——柔双连杆机械臂系统中，通过matlab验证了这种抑制振动的方法是有效果的。
本文的特色在于：建立的刚柔双连杆机械臂模型既体现了刚性运动，又充分表现出了柔性连杆的运动特点。最后用一种优化算法成功抑制了柔性连杆末端振动，达到预期效果。
关键字：柔性机械臂；动态仿真；振动抑制；轨迹设计；N-M算法

Abstract
In this paper, a two-link rigid-flexible manipulator is modeled, hoping that trajectory vibration can be suppressed by an optimal trajectory planning technique. First of all, the dynamic equations of motion of the manipulator are derived by the assumed modal method and Lagrange approach, and using the fourth order Runge-Kutta formula work out the dynamics equations, then dynamic simulation in matlab.
By inputting different trajectories, we compare the vibration of the ends of the flexible manipulator, knowing that: In different trajectories the vibration of the ends of the flexible manipulator is different. So we guess: By controlling trajectory of the two-link rigid-flexible manipulator can suppress vibration.
Finally we use the N-M optimization algorithm to calculate the reasonable trajectory, and then control the trajectory of two-link rigid-flexible manipulator, successfully suppressing the vibration of the flexible manipulator. At last, by matlab to verify the method is effective.
Features: the two-link rigid-flexible manipulator modeled reflects not only the rigid motion, but also the movement characteristics of the flexible manipulator. Finally an optimization algorithm is used to suppress the flexible vibration successfully, achieving the desired effect.
Keywords：Flexible manipulator；Dynamic simulation；Vibration suppression； Trajectory plan；N-M algorithm

II
1 绪论
1.1 柔性机械臂的发展历史
由于空间技术和机器人技术的发展，柔性多体系统的研究受到了很大的关注。柔性多体系统动力学相对来说是一门新兴的交叉学科，它是刚体力学、分析力学、弹性力学、矩阵理论、图论、计算数学和自动控制理论等多学科相结合的产物，被人们认为是应用力学最活跃的领域之一。它研究起源于20 世纪70 年代，迄今为止不足40 年的发展历史，但却得到了迅猛的发展。
究其原因，一方面是由于它对机械、车辆、军械、机器人、航空、航天等工程领域有重要的实用价值。它能够代替人类完成许多单调、重复的作业，甚至危险、恶劣环境下的作业，对人类的作用越来越重要。从近年来机器人的发展趋势看，无论是工业机器人、服务机器人，还是空间机器人，都朝着智能化、模块化和系统化的方向发展。作为机器人的重要组成部分，机械臂的发展趋势呈现高速、高精度、高可靠性，便于操作和维修的特点。另一方面，在理论和学术上也很有意义，推动了许多学科的进一步发展和多学科的相互渗透。其中柔性机械臂作为典型的柔性结构已吸引了国内外大量学者在这一领域内进行了深入的研究。其研究内容主要分为四个方面：一是关于柔性机械臂动力学模型的建立；二是关于柔性机械臂数值仿真的实验研究；三是关于柔性机械臂控制方法的研究及控制器的实现；四是关于柔性机械臂控制的优化设计问题[1]。
1. 2 国内外研究现状
1.2.1 建模
关于柔性机械臂动力学模型的建立问题，早期的文献，人们一般忽略刚体运动与梁的挠曲运动耦合产生的影响，采用线性化的模型。由于这种模型在物理概念上有明显的错误，当刚体运动速度超过一定的界限时，会导致较大的误差；随后人们又提出了考虑刚柔耦合影响的动力学模型，即simple-flexure model。但经过深入的理论分析和数值计算，人们发现这种模型在关节转角速度超过结构的一阶固有频率时，会出现发散现象；于是人们又建立了考虑动力刚化影响的柔性机械臂完备的动力学方程。但是，从工程实际的应用和控制器的设计角度来说，人们往往希望得到一个简单的并且适合柔性机械臂大范围快速运动的有限维动力学模型，因此，对计及动力刚化项的柔性机械臂系统模型的简化问题仍有许多工作有待开展。
1.2.2 数值仿真
关于柔性机械臂数值仿真的实验研究，最困难的问题是评价分析模型预测的可靠性。影响可靠性的因素很多，其中实际模型抽象成分析模型的可靠性、分析模型的数值离散、计算机执行数值计算的精度限制成为主要的影响因素。
1.2.3 控制方法
关于柔性机械臂控制方法的研究及控制器的实现问题，目前控制研究的方法有很多，为了使机械臂较快地运动到目标，并趋于稳定，一般都分两个阶段进行控制，即在开始阶段可以采用一个与转动角度、转动角速度有关的简单控制规律，使机械臂迅速运动到目标附近，然后再采用比较精确的控制规律，使机械臂最终达到目标并较快的稳定下来。一般都是先建立控制方程，然后通过计算机模拟验证控制方法和控制方程的有效性。但是模拟中数值不稳定现象时常发生，根据以往的分析，原因很复杂，而且工程上来说，总是希望在较短的时间内使机械臂达到目标并尽快趋于稳定，但这样会使刚体模态弹性模拟产生严重耦合，在控制方法和控制策略研究中必须注意这一矛盾的解决。在模拟中要求对刚性方程求解时要具有较好的数值方法和数值收敛性，同时要特别注意刚性比，否则将有可能出现数值不稳定。
1.3 研究目的意义
近年来，随着对柔性多体系统动力学研究的深入和工程实际应用的需求，人们开始对系统的研究越发感兴趣。柔性机械臂作为柔性多体系统动力学分析与控制理论研究最直接的应用对象，由于其具有简明的物理模型以及易于计算机和实物模型试验实现的特点，已成为发展新一代机器人和航空航天技术的关键性课题。对机器人柔性臂的研究主要包括动力学模型的研究以及柔性机械臂控制策略的研究两大方面。并将其研究结果广泛的应用到航天，精密机械及其自动化控制。同时，这种先进的和精密的构造形式与控制方法也开始渗透到结构工程领域，特别是在对于大型结构及构件的隔震与抗震研究中，广泛地应用了这种控制技术。柔性机械臂是一个强耦合、强非线性的时变结构，相对于刚性机械臂来说具有高效、低耗、灵活方便及具有更大的工作空间等优点。但是，由于弹性变形而严重地影响了其工作状态，阻碍了工程中的广泛应用。因此，必须开展对柔性机械臂结构设计和控制方法的研究。也就是说，如何从结构设计、运动学、动力学和控制方面考虑避免、减小和消除弹性变形和弹性振动的影响是一个急待解决的问题。而柔性机械臂系统的系统动力学响应是比较复杂的，尤其反映在弹性运动中，只有很好的研究它，才能保证柔性机械臂在实际操作中具有较高的精度和可靠度，为真正实现机械臂的实时控制创造条件。这些研究将为航天、机械及结构中的振动控制方面研究提供理论参考。柔性机械臂是集动力学基本理论研究、机电一体化、计算机软件的开发与应用、优化控制理论研究于一身，具有科技含量高，应用前景广的巨大优势，对于航空航天、机器人研究与应用、精密机械制造与控制等领域有着广大的应用空间；同时还可应用到其它领域，如可将对该系统的分析理论和方法应用于各种结构的控制，如飞机机翼的振动控制，转动轴的振动，工程结构中板、梁等的振动控制，其前景十分可观，将会带来明显的社会效益、经济效益和环境效益[2]。
本研究课题——柔性机械臂动态建模与仿真，旨在通过动态建模仿真分析，找出最佳轨迹，为控制系统描述及控制器设计提供依据。这样获得的最佳轨迹满足了最小的振动状态。然后通过建立数值仿真可以证明所提出的轨迹设计的有效性。从而消除系统的振动，能够使柔性构件代替刚性构件，最终降低设备重量，缩小设备体积，优化工业结构。

2 柔性臂动力学建模
柔性机械臂的柔性主要表现为关节的柔性和连杆的柔性，关节柔性是指机械臂传动机构和关节转轴的扭曲变形，通常用集中参数模型描述；连杆柔性则指机械臂连杆的弹性变形、剪切变形等，通常需用偏微分方程所代表的分布参数模型加以描述。此外，还要考虑柔性关节与柔性连杆之间的耦合作用。
从本质上来说，柔性机械臂（尤其是柔性连杆机械臂）必须用无穷维分布参数模型来描述，而实际上对分布参数系统的控制又往往只能基于有限维模型进行设计，这就存在一个模型复杂性与系统控制性能之间进行折衷考虑的问题。因此，如何建立恰当的、有效的动力学模型，并据此设计高性能控制器以有效地控制所论柔性机械臂的行为，乃是广大从事机械臂研究和应用的专家、学者必须面对和解决的问题之一[3]。
2.1 柔性臂的建模理论
关于柔性机械臂动力学模型的建立问题，早期的文献，人们一般忽略刚体运动与梁的挠曲运动耦合产生的影响，采用线性化的模型。由于这种模型在物理概念上有明显的错误，当刚体运动速度超过一定的界限时，会导致较大的误差；随后人们又提出了考虑刚柔耦合影响的动力学模型，即simple-flexure model。但经过深入的理论分析和数值计算，人们发现这种模型在关节转角速度超过结构的一阶固有频率时，会出现发散现象；于是人们又建立了考虑动力刚化影响的柔性机械臂完备的动力学方程。但是，从工程实际的应用和控制器的设计角度来说，人们往往希望得到一个简单的并且适合柔性机械臂大范围快速运动的有限维动力学模型。
经过近十多年的发展，柔性连杆机械臂的动力学建模的方法趋于成熟。一般说来，因为柔性机械臂会在运行过程中产生挠曲变形、轴向变形和剪切变形，因而从动力学角度看，每根柔性连杆都可视为一段Timoshenko梁，考虑到机械臂连杆的长度总比其截面尺寸大得多，运行过程中所产生的轴向变形和剪切变形相对于挠曲变形而言非常小，因而在动力学模型过程中常常可忽略二者的影响，将每根柔性连杆简化为Euler-Bernoulli梁处理。柔性连杆机械臂是典型的动力学系统，因而其建模首先应满足Lagrange方程，当机械臂终端执行器运动受限时，为了考虑约束表面方程的影响，则须应用Hamilton原理所得到的模型往往是一组高度非线惟的积分——微分方程，求解十分困难可见在柔性臂建模上，关键是对分布柔性的有限维近似在近似方法中，有当作分布参数系统来处理的Ritz法、Galerkin法、假设模态法、线性化法等，这些方法把相对密度、质量比较均匀的系统作为研究对象来处理另一类是当作集中参数系统来处理的有限元法、有限段法等，不仅适用于密度、质量比较均匀的物体，对不均匀的物体也很有效此外，还有利于建立控制方程的旋转代数法和奇异摄动法等；另一方面，还可以完全抛开经典分析力学的思想，利用人工神经网络或系统辩识的方法来模拟柔性臂的运动特征，从而得到柔性机械臂的动力学模型。
2.2 柔性体变形的描述
在柔性多体系统理论建模中，离散方法可以分为两类：即对物理模型的离散和对数学模型的离散。物理模型的离散主要解决把实际的工程柔性多体系统离散为可进行理论研究的物理模型，把系统各部件所受外力、连接刚度、界面摩擦、界面间隙等理想化，并用合适的模型模拟。通常在弹性分析中，将柔性杆视为梁，它一个方向上的长度远大于其它方向的长度。平面梁则是梁内点的运动只与梁轴向和垂直于轴向的方向上的坐标有关。为了表示梁内点的位移并进行分析，必须对梁内点的运动和应力状态给出假设，这些假设基于通过实验观察证实的推测。对运动的假设称为运动学假设，而对应力场的假设称为动力学假设。主要的运动学假设是与垂直于梁的中性面的点的运动相关的，通常中性面是过梁的横截面形心的曲面。此处有以下几个问题需仔细考虑：一是系统中物体或部件的简化；二是连接方式的简化；三是实际系统连接中出现的柔性、阻尼的模拟简化。
一定条件下，柔性机械臂连杆可以简化为梁模型来研究。常用的柔性操作臂连杆模型有以下几种模式：Euler-Bernoulli 梁，Timoshenko 梁。如何选择模型，取决于剪切和旋转对梁的横向变形的影响。Timoshenko 梁同时考虑了梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，较适合于机械臂粗短的情况，实际上接近刚性臂。Euler-Bernoulli 梁则忽略梁的剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响，适于细长臂且横截面可以变化的情况。这里选择的是柔性机械手的研究中用的较多的 Euler-Bernoulli 梁，只计及连杆的横向弯曲变形，这种模型更适合于空间柔性机械臂的实际情况。数学模型的离散主要是如何选择合适的表达式来描述柔性多体系统中物体的柔性变形。对多柔体系统来说，设柔性体的变形始终处于弹性范围内，简单弹性体的自由度很少，可以用分布参数列式来求解。但对于具有无限多自由度的柔性体，动力学问题的精确解是没法得到的。因此，可以将其离散成为有限自由度，作为近似的分析模型。对常见的弹性变形广义坐标有以下离散化方法：
1）有限元法：解决复杂结构问题的一种数值解法。其实质就是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。其特点是采用弹性单元、刚性结点、载荷向结点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。采用有限元法所得动力学方程较为复杂，动态响应求解运算量也较大，其边界条件和几何物理特性可以直接描述。
2）有限段法：适合于含有细长零件的系统。将细长杆分为有限刚段，将柔性引入到系统的各接点中，即把柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧和阻尼器的接点相联。它与有限元法在拓扑结构上存在着本质的区别。就整个系统而言，有限段方法描述的多体系统是时变的，而有限元分析中其结构的平衡位置木随时间变化，就单元特征而言，有限段法只应满足小应变假设，即允许柔性体产生几何非线性变形，而有限元法是建立在小变形假设基础之上，将变形线性化，就微分单元而言，有限段中微分梁段的长度相当于弧微分，而有限元法是对坐标的微分。
3）模态综合法：通过求解自由振动的特征值即可得到动态模态，此方法也是以Rayleigh-Ritz法为基础，采用模态截断技术，利用系统中各个子结构的模态，综合出系统的整个模态。采用模态截断的方法来描述连杆变形．该方法具有计算量相对少，方法简单，具有系统性和效率高的特点．Theodore R.J.，Ghosal A.对柔性机械臂的两种离散模型：假设模态法和有限元法做了比较分析。以便更加有效的描述柔性机械臂的连杆的柔性。其利用Lagrange方程和计算机算法得出了闭环运动方程，从中可以看到，利用有限元的方法比假设模态法要计算简便。然而由于有限元法的状态方程的数量比假设模态法更多，因此，利用有限元法进行数字仿真的时候需要的时间会更长些。在利用有限元的方法来逼近连杆柔性时，会使对连杆刚性的估计值增大，通过分析可以表明，在利用基于模型的控制策略时，对刚性的估计值增大就会引起闭环系统不稳定。利用假设模态法建立的时变频率方程，比有限元法复杂。
4）集中质量法：用若干离散结点上的集中质量代替原来系统中的分布质量，即全部质量都集中到各节点上，杆系结构的离散化刚度矩阵能够直接得出，整个动力方程都能直接通过对质量的近似离散化处理得到[4]。
2.3 建立动力学方程的方法
无论是连续或离散的动力学模型，其建模方法主要基于两类基本方法——矢量力学法和分析力学法。应用较广泛同对也是比较成熟的是Newton-Euler公式、Lagrange方程、变分原理、虚位移原理和Kane方程。
2.3.1 Newton-Euler公式
应用质心动量矩定理写出隔离体的动力学方程，在动力学方程中出现相临体间的内力项，其物理意义明确，并且表达了系统完整的受力关系；但是这种方法也存在着方程数量大、计算效率低等缺点。不过许多模型的规范化形式最终都是以该种模型出现，并且该方法也是目前动力学分析用于实时控制的主要手段。
利用Newton-Euler公式对柔性梁进行建模时，首先假定：
(1)性梁的变形和柔性梁的长度比较起来非常小；
(2)假设梁是具有均匀截面和稳定性质的Euler-Bernoulli梁；
(3)梁的转动惯量和剪切变形忽略不记；
(4)空气阻力和梁的内阻尼忽略不记。
2.3.2 基于Lagrange方程的动力学建模
由Lagrange方程或Hamilton原理出发，求出能量函数或Hamilton因数，以能量方式建模，可以避免方程中出现内力项。适用于比较简单的柔性体动力学方程．而对复杂结构，Lagrange函数和Hamilton函数的微分运算将变得非常繁琐，但是变分原理又有其特点，由于它是将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数或泛函的极值条件，并利用此条件确定系统的运动，因此这种方法可结合控制系统的优化进行综合分析，便于动力学分析向控制模型的转化。
Lagrange方程是建立柔性连杆机械臂的动力学模型的理论基础。一般说来，根据Lagrange方程建模的步骤大致是：
(1)选定广义坐标，建立有限维模型，一般选择关节变量和柔性连杆的模态坐标为广义坐标；
(2)建立动能、势能和虚功表达式；
(3)对Lagrange方程进行必要的推导和整理。
在Lagrange方程的基础上分别采用有限元法、假设模态法、奇异摄动法等可以得出形式不同的动力学方程。采用有限元法可推导出线性和非线性的动力学方程，采用假设模态法可推导出高度非线性的积分——微分方程，采用奇异摄动法则可导出双时标的动力学模型，有利于控制方法的实现。有限元法将复杂结构划分为由有限个单元在有限个结点处对接而成的组合结构，每个单元的位移用结点位移的插值函数表示。求出各个单元的动力学方程后，再用矩阵集合起来，就可以得到整个系统的动力学方程。
2.3.3 Kane方法和虚功原理：
Kane方法较其它方法在进行动力学分析时有以下特点：
(1)Kane方法一般不考虑理想约束力，因为它对广义主动力并无贡献。
(2)Kane方法综合了分析力学与向量力学两方面的优点，着眼于广义速率、偏速度、偏角速度的确定，而着手于广义主动力、广义惯性力的向量计算，且步骤基本上是程式化的，尤其易于计算机来完成。
(3)Kane方法可避免寻求系统以各种形式表示的动力学函数及它们的导数。所得方程可化为XU=Y的标准形式，不含待定乘子，可方便地在计算机上求解，且在计算机器人动力学问题时效率较高。据文献介绍：用拉格朗日方程解题，需用乘法2195次，加法1719次，而用Kane方程解同样问题，只需乘646次，加法394次。因此，Kane方法是一种新颖实用有效的工程方法。
2.4 模态分析
在对弹性连杆的离散和自由度缩减时，经常采用模态分析和截断技术。
由于弹性连杆在空间中经历大范围的移动和转动，转动角速度又是不断随时间变化的，而且连杆两端的边界条件也是不定的。因此，严格来说，这样一个非线性问题是不存在一般意义下的模态概念。用部件静止情况下，即结构动力学的模态综合技术中所提出的假设模态集，只能看作是一种近似Ritz基函数法。
关于在获取弹性连杆的模态信息，用有限元方法时采用集中质量还是一致质量的问题，早已在结构动力学中得到结论，亦即一致质量的方法的精度一般情况下并不会提高，有时可能会导致相反的结果。
此外，柔性臂系统由于其变结构特性，无法描述其“精确”的模态特性，只能采取瞬时刚化的办法，作为近似分析的依据。
2.5 近似分析
柔性机械臂在空间中运动的特点是弹性连杆的刚性整体移动和转动与变形的互相影响、强烈藕合以及其高度非线性，近似分析主要是抓住问题的主要矛盾，根据问题性质人为地进行解耦和线性化，以利于工程应用的控制方案的实现，
在不计阻尼的情况下柔性臂系统动力学控制方程的矩阵形式为[5]
Mq+Kq=Q (2-1)
式中q=qrTqfTT为刚性和原性变形运动的广义坐标，M、K、Q分别为广义质量、刚度和力阵。
若忽略弹性变形对刚性运动的影响，上式可近似为[6]
Mqf+Kqf=Q-Mqr (2-2)
即把系统的运动视为外力和刚性运动引起的惯性力激励下的振动。这就是机构动力学中所谓的运动弹性动力分析KEN(Kineto-Elasto-dynamic Analysis)方法。
再进一步近似，可将动力学问题归结为静力学方程来对待，即
Kqf=Q-Mqr (2-3)
即把刚性运动引起的惯性力和外力作为静载荷，这事实上又忽略了弹性变形引起的惯性力的影响，使问题得到一个准静态响应。这就是机构动力学所谓的运动弹性静力分析KES(Kineto-Elasto-static Analysis)方法或准静态分析。
近似分析的程度取决于问题的性质、精度经济性、效率、实时性及工程应用的可能性等。由于柔性臂系统缺乏计算模型的可靠性评价，因此，需要慎重对待。
2.6 逆运动学与逆动力学
柔性机械臂系统的逆问题本来包含参数和系统识别等问题，这里我们要讨论的是指给定机械臂末端操作器的轨迹(可以由轨迹规划来确定)要求关节角的变化规律和所需的关节驱动力矩这类逆问题。与刚性臂存在逆运动学的确定关系不同，柔性臂具有无穷多自由度，即使通过离散化、自由度减缩，仍有大量弹性变形自由度存在，它们是无法通过运动几何学建立系统位形空间与操作空间之间一一对应关系的。因此，在柔性臂情况下所谓的逆运动学问题的提法是不确切的，各运动学变量间的关系只有通过与动力学方程的联立才能确定，从这个意义上讲，它是高冗余度的系统。
逆动力学分析是对柔性机械臂实施控制的。已知末端轨迹由刚体逆运动学求得关节变量驱动力矩的一次近似，弹性变形广义坐标，驱动力矩关节角的二次近似的迭代。这是逆动力学三阶段迭代格式框图的主要内容，由于逆运动学的不确定性以及运动量间的耦合，使逆动力学分析更为困难，只能通过一定的近似处理，才有可能得到比较实用的结果。
为了提高精度要求，采用迭代格式，即对所建的“精确”的两组运动方程。

图2.1逆运动学迭代框图
第一步：以虚刚体模型由逆运动学求得关节角，再求此情况下的驱动力矩；
第二步：以此驱动力矩求得弹性连杆的变形；
第三步：再代入“精确”方程求出考虑变形情况下的关节角和驱动力矩。
如此反复迭代以达到精度要求，如图1的框图所示。
进一步解耦、线性化方法，基于KED和KES方法以及用Taylor级数展开取一阶项的方法等等。在线性化前提下也有用频率域法和时变谱法，即将动力学方程变到频域或谱域来计算驱动力矩，再反变换到时域等等。
柔性臂的逆动力学研究还很不成熟，特别是既满足高的精度要求又符合实时需要的逆动力学分析方法尚待探索。
2.7 刚-柔双连杆机械臂的动力学方程
由于本文的研究模型比较简单，所以采用了运用朗格朗日方程的方法得到刚柔双连杆的动力学方程。在对刚-柔双连杆机械臂进行动力学建模之前，作如下假设[7]：
(1)只考虑柔性机械臂的横向振动，忽略其轴向变形和剪切变形；
(2)柔性机械臂横向变形为小变形；
(3)柔性机械臂的长度远大于其截面尺寸。
2.7.1 系统的能量
在水平面内作回转运动的刚——柔性机械臂系统如图1所示。

图2.2 刚——柔双连杆模型
图2中，杆1为刚性杆，杆2为柔性杆；关节O1、O2均为转动副。在t瞬时，柔性杆上任意一点P 的横变形用w表示，则w是点P的坐标和时间t的函数，可记μ=(t , s)，设笛卡尔坐标系O-XY为该机械臂系统的固定坐标系，坐标系O1-XY为该系统上固定在杆2上的动坐标系。τ1、τ2分别为关节O1、O2处加载电机的驱动力矩，M 是O1 处电机的集中质量，L1、L2分别为刚-柔性机械臂系统上杆1和杆2的长度，h 1、h2 分别为杆1和杆2的截面高度，b1 、b2分别为杆l和杆2的截面宽度，A=h2b2，ρ1、ρ2分别为杆1和杆2的密度，ρ=ρ2，θ1、θ2分别为杆1和杆2的关节转角。
则此刻P点坐标可以表示为
r=rxry=L1cosθ1+s·cosθ1+θ2-w·sinθ1+θ2L1sinθ1+s·sinθ1+θ2+w·cosθ1+θ2 （2-4）
将r对t求导，可以得到r关于t的函数，表示P点的瞬时速度。
r=rxry=-L1sinθ1θ1-ssinθ1+θ2θ1+θ2-wsinθ1+θ2-wcosθ1+θ2θ1+θ2L1cosθ1θ1+scosθ1+θ2θ1+θ2+wcosθ1+θ2-wsinθ1+θ2θ1+θ2
（2-5）
刚-柔双连杆系统的动能表示为：
E=12Jθ12+ML12θ12+ρA0L2rTrds （2-6）
柔性杆中性轴的曲率K，由文献[8]可以知道：
K=∂2w∂s21-∂w∂s2 （2-7）
将曲率K近似，
K2≈∂2w∂s221+∂w∂s2+⋯ （2-8）
所以，系统的势能可以表示为：
P=EI20L2K2ds=EI20L2∂2w∂s221+∂w∂s2ds≈EI20L2∂2w∂s22ds （2-9）
这里，没有考虑曲率的非线性，是为了在计算中减少运算。所以在下文的建模中会有一定的误差。
2.7.2 横向运动的模态分析
根据机械振动原理，均匀材料等截面梁弯曲自由振动微分方程[9]为：
ρA∂2ws,t∂t2+EI∂4ws,t∂s4=0 2-10
上式中：ρ为柔性杆的材料密度；A为横截面积；E为材料的弹性模量；I为横截面惯性矩。
式(1)的解可表达为：
ws,t=i=1∞Φis·Wit 2-11
式中：Φis为柔性杆2的第i阶振型函数；Wit为与振型函数相对应的模态坐标。
柔性连杆的边界坐标为：
w0,t=0∂w0,t∂s=0EI∂2wL2,t∂s2=0EI∂3wL2,t∂s3=0 2-12
9式边界条件可以得到系统的频率方程：
cospL2∙coshpL2=-1 2-13
由频率方程式(10)可得：
p1=1.875L2
p1=4.694L2
p1=7.855L2
pj=2j-1π2L2，j=4，5，⋯
各阶固有频率为：
ωi=pi2EIρA 2-14
式中：i=1，2，3，…。
将柔性杆的边界条件(2-12)代入式(2-10)，得到振型函数：
ε=-(sinh(pL2)-sin(pL2))/(cosh(pL2)+cos(pL2))
Φi=cosh(ps)-cos(ps)+ε(sinh(ps)-sin(ps))
取二阶模态，可以得到振动的模型：
ws,t=Φ1·W1t+Φ2·W2t （2-15）
2.7.3 拉格朗日法求动力学方程
由拉格朗日方程有：
ddt∂E∂θ1-∂E∂θ1=τ1 ddt∂E∂θ2-∂E∂θ2=τ2 （2-16）
ddt∂φ∂W1-∂φ∂W1=0 ddt∂φ∂W2-∂φ∂W2=0 （2-17）
将E、P带入可以得到动力学方程：
Jθ1+ML12θ1+12ρA2L12L2θ1+23L23θ1+θ2+2θ1+θ2α1W12+2α2W1W2+α3W22+2θ1+θ22α1W1W1+2α2W1W2+W1W2+2α3W2W2+2L1L22θ1+θ2cosθ2-θ1+θ2θ2sinθ2-2L1θ2sinθ2α4W1+α5W2+2L1cosθ2α4W1+α5W2-2L1cosθ2θ22θ1+θ2+sinθ22θ1+θ2α4W1+α5W2-2L1sinθ22θ1+θ2α4W1+α5W2+2α6W1+α7W2=τ1 (2-18)

12ρA23L23θ1+θ2+2θ1+θ2α1W12+2α2W1W2+α3W22+4θ1+θ2α1W1W1+α2W1W2+α2W1W2+α3W2W2+2L1L22θ1+θ2cosθ2-θ1+θ2θ2sinθ2-2L1θ1sinθ2α4W1+α5W2+θ1sinθ2α4W1+α5W2+θ1θ2sinθ2α4W1+α5W2+2α6W1+α7W2+L1L22θ2θ1+θ22sinθ2+2L1θ1θ2sinθ2α4W1+α5W2+2L1θ1θ2θ1+θ2cosθ2α4W1+α5W2=τ2 (2-19)

α1ρAW1+α2ρAW2+β1EI-α1ρAθ1+θ22W1+β2EI-α2ρAθ1+θ22W2+α6ρAθ1+θ2-α4L1ρAθ1cosθ2+α4L1ρAθ1θ1+θ2sinθ2=0 ( 2-20)

α2ρAW1+α3ρAW2+β2EI-α2ρAθ1+θ22W1+β3EI-α3ρAθ1+θ22W2+α7ρAθ1+θ2-α5L1ρAθ1cosθ2+α5L1ρAθ1θ1+θ2sinθ2=0 (2-21)
以上各式中，
α1=0L2∅1s2ds，α2=0L2∅1s∅2sds，α3=0L2∅2s2ds，
α4=0L2∅1sds，α5=0L2∅2sds，
α6=0L2s·∅1sds，α7=0L2s·∅2sds，
β1=0L2∅1''s2ds,β2=0L2∅1''s∅2''sds,β3=0L2∅2''s2ds,
其中
∅s=coshps-cosps+εsinhps-sinps，
ε=-sinhpL2-sinpL2coshpL2+cospL2,∅1s、∅2s对应于p=1.875L2、p=4.694L2时的∅s

3 动态仿真