平面解析几何2.doc

高中数学总复习数学教案
平面解析几何
教学目的：由于时间和内容的要求，这一部分内容比较细，逐条按照例题讲解是不现实的，所以先和大家一起把主要要点复习一下，完了再跟大家分享一些解平面解析几何用到的方式方法。
直线的倾斜角、斜率以及直线方程
考纲要求
1，理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率计算公式；
2，掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式，两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
一、要点精讲
2、 直线的倾斜角：
3、直线的斜率：
考点：
①在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k=tanα的单调性。当α由0增大到90°（α≠90°）时，k由0增大到＋∞；当α由90°（α不等于90°）增大到180°（α≠180°）时，k由－∞趋近于0.解决此类问题时，可采用数形结合思想，借助图形直观做出判断。
②求斜率的一般方法：a，已知直线上两点，根据斜率公式（）求斜率；b，已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数，根据k=tanα来求斜率。
③利用斜率证明三点共线的方法：已知A（x1，y1），B（x2，y2,），C（x3，y3），若x1=x2=x3或kAB=kAC，则有A、B、C三点共线。
3、 直线方程：
（1）点斜式： (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式： (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式： (，).
（4）截距式： （分别为轴轴上的截距，且）．
（5）一般式： (其中A、B不同时为0)．
考点：
①求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程，求直线方程的一般方法有：1,直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线的方程。2，待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后带入求出直线方程。
②利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。1，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。2，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
直线位置关系和距离
考纲要求：
1、 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
2、 能用解方程组方法求两条直线的交点坐标。
3、 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求平行线之间的距离。
一，要点精讲
1特殊情况下直线的平行与垂直
2斜率存在时两直线的平行与垂直
3、几种距离
（1） 平面间两点间的距离公式
（2） 点到直线的距离公式
（3） 平行直线间的距离公式
考点：
①判定两条直线相交的方法：1代数法，解两条直线所组成的方程组，利用解的个数来判断。2几何法，a利用斜率：若k1≠k2，则l1与l2相交。B利用系数比：若A1B2≠A2B1，则l1与l2相交。
②求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式。
③求两条平行线间的距离有两种思路：1利用“化归”法将两条平行线的距离转化成为一条直线上任意一点到另一条直线上的距离。2直接利用两条平行线间的距离公式。
④四种对称的求解方法：
⑴点P关于点C的对称点坐标为。
特别的：点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于原点的对称点为；关于的对称点为；关于的对称点为.
⑵直线关于点C对称的直线方程为.
求法：设所求直线上任意一点为P，则P关于C的对称点在直线上，即所求直线方程为
⑶点关于直线的对称点的坐标的求法：
设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上，且直线与直线的斜率互为负倒数，即，联立解出对称点。
⑷直线关于直线对称：
直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决，在上任取两点、，求出、关于的对称点、，再用两点式求出关于对称的直线的方程。
圆与方程
考纲要求
掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程。
一、 要点精讲
1、 圆的方程：
（1）圆的标准方程
（2）圆的一般方程．
（3）圆的直径式方程：
（4）一般方程的特点：
2、 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种

考点：
①确定圆的方程主要采用待定系数法，一句条件设出圆的方程，建立关于a，b，r或D、E、F的三元方程即可。
一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是袁尚若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合标准式。
②研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的兴致，利用数形结合求解，一般地，
1. 形如形式的最值问题时，可转化为动直线的斜率的最值问题；
2. 形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
3. 形如（x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题。
③求与圆有关的轨迹问题时，可以根据题设条件的不同采用以下四种方法
1. 直接法。直接根据题设条件列出方程；
2. 定义法。根据圆、直线等定义列出方程；
3. 几何法。利用圆与圆的几何性质列出方程；
代入法。由动点与已知点的关系，代入已知点满足的条件可得方程。
直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求：
1、 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
2、 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
3、 初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
一、 要点精讲
1、直线与圆的位置关系
2、 圆与圆的位置关系
考点：
①判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法。
②若两圆相交，则两圆公共弦所在的方程可由两圆的方程作差消去x2和y2项即可得到。
③有关圆的切线问题：
⑴已知圆．
①过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
②斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
③若已知切点在圆上，则只一条切线，方程为.
⑵已知圆．①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
几种常见的圆锥曲线
考纲要求：了解椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。
常规题型及解题的技巧方法
A:常规题型方面
（1）中点弦问题
典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题
典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；
（2）求的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

典型例题
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
（5）求曲线的方程问题
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：1.曲线的形状已知，可以用待定系数法。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
这种方法叫做直接法。

（6） 存在两点关于直线对称问题
典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

（7）两线段垂直问题
典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；
（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
B:解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：

一．充分利用几何图形
典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。
三. 充分利用曲线系方程
典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程
例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。
② 结合图形的特殊位置关系，减少运算
例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值
③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

小结：
课后作业：
1. 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．
2. 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

3. 如图，过点P（2,1）作直线l，分别交x，y轴正半轴于A、B两点。
（1） 当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
（2） 当PA·PB取最小值时，求直线的方程。
点拨： 设出直线方程（截距式或点斜式）
解答本题 建立关系式
由最值求直线方程

4.（安徽高考）过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）
A. x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0

5. P(x,y)是直线L：f(x,y)=0上的点，P(x ,y)是直线L外一点，则方程f(x,y)+f(x,y)+f(x ,y)=0所表示的直线（ ）
A 相交但不垂直 B 垂直 C 平行 D 重合
6.已知点P（2，-1）。
（！）求过点P且与原点距离为2的直线方程；
（2） 求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
（3） 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

点拨：设出直线方程 由点到直线距离求参数 判断何时取得最大值并求之
7.已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
8.已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点
，求的取值范围.

9.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的右焦点,而且与 轴垂直.又抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.
10. 双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.
高中数学必修2《解析几何》常用公式结论

1、直线的倾斜角与斜率：，当∈[0°,90°）时，斜率∈[0，+∞）；
当∈（90°,180°）时，斜率∈（－∞，0）。
过两点、的直线斜率公式：.
2、直线的五种方程：
⑴点斜式： (直线过点，且斜率为)．
⑵斜截式：(为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距).
⑶两点式： (且)(、 ).
⑷截距式：(分别为直线的横、纵截距，且)
⑸一般式：(其中A、B不同时为0).
3、两条直线平行和垂直的等价关系：
(1)若，，则①②；
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零；
①；②；
4、五种常用直线系方程：
⑴斜率为的直线系方程为：（为常数，为参数；）.
⑵过定点的直线系方程为：及
⑶与直线平行的直线系方程为：（）（为参数）
⑷与直线垂直的直线系方程为：（为参数）
⑸过直线和的交点的直线系的方程为：
（不含）（为参数）
5、两点间距离公式：（其中两点为、）
特别的：点到坐标原点的距离为：
6、点到直线的距离公式：(点，直线：).
7、两条平行直线间的距离公式：(直线：，：).
8、光的反射定律：当反射面是坐标轴时，入射光线与反射光线所在直线的斜率互为相反数，即：。
9、四种对称的求解方法：
⑴点P关于点C的对称点坐标为。
特别的：点关于轴的对称点为；关于轴的对称点为；关于原点的对称点为；关于的对称点为；关于的对称点为.
⑵直线关于点C对称的直线方程为.
求法：设所求直线上任意一点为P，则P关于C的对称点在直线上，即所求直线方程为
⑶点关于直线的对称点的坐标的求法：
设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上，且直线与直线的斜率互为负倒数，即，联立解出对称点。
⑷直线关于直线对称：
直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决，在上任取两点、，求出、关于的对称点、，再用两点式求出关于对称的直线的方程。
10、圆的两种方程：⑴圆的标准方程 （圆心为，半径为）.
⑵圆的一般方程 ().
（圆心为，半径为）
11、圆系方程：
⑴过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
⑵过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
⑶过两个相交圆公共点的直线方程的求法：只需将两圆的方程相减，消去，即可得到所求方程。
12、点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有三种，若，则
点在圆外；点在圆上；点在圆内.
13、直线与圆的三种位置关系：
直线：与圆的位置关系判断的两种方法（常用方法⑴）:
⑴设圆心到直线的距离，则
⑵将直线代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再利用判断：
即：
14、两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为，半径分别为，，则：
⑴；⑵;
⑶；⑷;
⑸
15、圆的切线方程：⑴已知圆．
①过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
②斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
③若已知切点在圆上，则只一条切线，方程为.
⑵已知圆．①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
16、空间两点间的距离公式：
（其中两点为、）
特别的：点到坐标原点的距离为：

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